Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng:  $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq\frac{1}{2}$

Ai giúp mình với mình đang cần lắm

Mình cảm ơn trước nhé

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(3a+b+3b+a)}}=\frac{1}{2}$

Biết $\sum x^{2}=3$

Chứng minh $\sum \frac{xy}{z}\geq 3$

Ở đây

Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$ 

                                 ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

Áp dụng kĩ thuật AM-GM ngược ta có:

$a-\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{ab^{2}-1}{b^{2}+1}\leq \frac{ab^{2}-1}{2b}=\frac{ab}{2}-\frac{1}{2b}$

$\Leftrightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}+\sum \frac{1}{2b}\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho a,b,c là các số dương.Tìm MAX của:

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}$

Khi thay $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (a,b,c)$ thì bài toán trên tương tự bài toán sau:

ai giải bài này đi

Bài 6 (Hong Kong TST). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$$

Không biết giải bài ở đây có vi phạm không anh nhỉ  
$VT=\sum \frac{a^3+1+1+6}{a^3(b+c)} \ge \sum \frac{3a+6}{a^3(b+c)}=\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)}$ 
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)} \ge \frac{27}{2}$ (*)
Chợt nhận thấy bài toán quen thuộc của IMO 1995  
Nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a^3(b+c)} \ge \frac{3}{2}$ 
Áp dụng suy ra $\frac{6}{a^3(b+c)} \ge 9$ 
Lại có $\sum \frac{3}{a^2(b+c)}=\sum \frac{3(bc)^2}{b+c} \ge \frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a}$ (1) 
Lại có $(\sum ab)^2 \ge 3.abc(a+b+c)$ nên từ (1) suy ra $\frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a} \ge \frac{9}{2}$ 
Cộng lại suy ra (*) được chứng minh 
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\frac{27}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách khác

Bài 3 (Korea Winter Program Practice Test). Cho ba số thực không âm $x,\,y,\,z$ thỏa mãn

\[(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27.\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x^4+y^4+z^4.$

Bài này đề gốc là tìm cả min cả max chứ anh?

Bài 32. (Kyiv Mathematical Festival)

1. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=2.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}+2(a+b+c) \geqslant 6.\]

2. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1} \geqslant \frac{3}{2}.\]

2. Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{(ab)^{2}}{abc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+ab+bc+ca}=\frac{3}{abc+1}\geq \frac{3}{2}$(vì $abc\leq 1$ theo AM-GM)

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

1. Tương tự câu 2 ta chứng minh được:

$\sum \frac{ab}{c+1}\geq 6-2\sqrt{6}$

Mà $2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{6}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm

Bài 8 (Selection Of Kiev To UMO). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng

\[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geqslant \frac{3}{2}.\]

Áp dụng AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{2}$

Tương tự cộng lại ta được:

$\sum \frac{a}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c})\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c).\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

8/     $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

$VT=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5$

$VP=5-(x+1)^{2}\leq 5$

$VT=VP\Leftrightarrow x=-1$

Bài 418, bài này mình đăng lên được 4 ngày nhưng không thấy ai giải mạn phép post vào đây

Đây là topic để mọi người cùng thảo luận, nếu có gì chưa biết thì bạn cứ thoải mái đăng lên đây, không phải "mạn phép" như vậy đâu 

Bài 438: Giải phương trình:$6\sqrt{x^2+5}+12\sqrt[3]{x^2+3x-2}=3x^2-x+32$

Ta có: $12\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}=\left ( x^{2}+5-6\sqrt{x^{2}+5}+9 \right )+2x^{2}-x+21> 0$

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}-x+32=2.3.\sqrt{x^{2}+5}+3.2.2.\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}\leq x^{2}+14+x^{2}+3x+14=2x^{2}+3x+28$

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x=2$

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Một cách làm khác cho bài toán này.

Với những hệ kiểu gần đối xứng thế này ta thường cộng 2 phương trình lại với nhau để phân tích thành tổng các bình phương.

$(x-2y)(3x+8y)+(y-4x)(3y+2x)-2(2x+3y)\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-16$

$\Leftrightarrow (2x+3y+\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-(2x+3y)$

Thay vào 2 phương trình ban đầu ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix} &(x-2y)(5x+4y)=6 \\ &(y-4x)(3y+2x)=10 \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp cơ bản. Đến đây xin nhường cho các bạn.

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Bài 10* : Giải phương trình sau:

$$\sqrt{x^{3}-2x^{2}+x-2}+(x+1)\sqrt{x^{3}+x^{2}-x-2}=2(x^{2}+x-1)$$

Bài 378:Giải bất phương trình sau:$\sqrt{9x^{2}+3}+9x-1\geq \sqrt{9x^{2}+15}$

Bpt$\Leftrightarrow 9x-1\geq \sqrt{9x^{2}+15}-\sqrt{9x^{2}+3}$(ĐK: $x> \frac{1}{9}$)

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{9x^{2}+15}-(3x+3) \right ]-(\sqrt{9x^{2}+3}-2)\leq 9x-1-3x-3+2$

$\Leftrightarrow \frac{-6(3x-1)}{\sqrt{9x^{2}+15}+3x+3}-\frac{(3x-1)(3x+1)}{\sqrt{9x^{2}+3}+2}\leq 2(3x-1)$

$\Leftrightarrow (3x-1)(2+\frac{6}{\sqrt{9x^{2}+15}+3x+3}+\frac{3x+1}{\sqrt{9x^{2}+3}+2})\geq 0$

Vì phần trong ngoặc luôn dương với $x> \frac{1}{9}\Rightarrow x\geq \frac{1}{3}(TM)$

Bài 131: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}(1+\dfrac{1}{x+y})=2 & & \\ \sqrt{7y}(1-\dfrac{1}{x+y})=4\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y\geq 0$

+) $x=y=0$ ko là nghiệm của hệ

+) $x,y> 0$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} \\ &1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \\ &\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{x+y}=(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}$

$\Leftrightarrow (4x+7y)(6x-y)=0$

Mà $4x+7y> 0$(vì $x,y> 0$)$\Rightarrow 6x-y=0$

Đến đây dễ rồi

Bài 242 : Tuyển sinh chuyên Thái Bình 2013-2014 
Giải phương trình : 
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$ 

ĐK: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0, x\geq -2013, x\neq \pm \sqrt{2}$

Đặt $\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=a, \sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=b, \sqrt{x+2013}=c, \sqrt[3]{x+1}=d$ $\Rightarrow a^{2}+b^{3}=c^{2}+d^{3}\Leftrightarrow (a-c)(a+c)+(b-d)(b^{2}+bd+d^{2})$

Vì $a-b=c-d$(theo gt)$\Rightarrow a-c=b-d$

Mà $a+c+b^{2}+bd+d^{2}> 0\Rightarrow a-c=b-d=0$

Đến đây dễ rồi

P/s: I Love MC đánh lại STT bài đi em.

Bài 101: $\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

Đk: $x\geq 0$

Ta có:

$(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x})^{2}=(2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}})^{2}\leq (8+x+1)(\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1})=x+9$

$\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$(TM)

Bài 54: $\sqrt[3]{12x^{2}+46x-15}-\sqrt[3]{x^{3}-5x+1}= 2x+2$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

Bài 371: $\begin{cases} & (1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=x+2y+3xy \\ & \sqrt{y+1}+\sqrt{x^{2}+2y^{2}}= 2y-x \end{cases}$

ĐK: $y\geq -1$

Pt(1)$\Leftrightarrow x^{2}+2y^{2}+(1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=x^{2}+2y^{2}+x+2y+3xy$

$\Leftrightarrow x^{2}+2y^{2}+(1-y)\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=(x+2y)(x+y+1)$

Đặt $\sqrt{x^{2}+2y^{2}}=a, x+2y=b, x+y+1=c\Rightarrow 1-y=c-b$

Khi đó ta có: $a^{2}+a(c-b)=bc$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+c)=0$

...

Up lại 1 số bài chưa có lời giải trong box PT, HPT:

Bài 34: $\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}$ (Nidalee Teemo)

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 118: $\sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}=\frac{\sqrt{1+x^{2011}}-\sqrt{1-x^{2011}}}{\sqrt{1+x^{2011}}+\sqrt{1-x^{2011}}}$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 124: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1 \\ &y^{2}-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 139: $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}(a,b> 0)$(đã hoàn thành)

Bài 153: $\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-3y+1+\sqrt{y-1}=x^{2}+\sqrt{x}+xy \\ &\sqrt{2x+y}-\sqrt{-3x+2y+4}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 159: $x+\sqrt{x-1}=3+\sqrt{2x^{2}-10x+16}$(đã hoàn thành)

Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$ 

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 162: $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{xy}(2x+3y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-15xy \\ &\frac{1}{12x\sqrt{y}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{10}{3}-2\sqrt{xy}-18y\sqrt{x} \end{matrix}\right.$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$ 

Bài 165: $\sqrt{x^{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\frac{2}{3}}}=x$(đã hoàn thành)

Bài 167: $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\geq \frac{35}{12}$(đã hoàn thành)

Bài 168: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9 \\ &\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 169: $\left\{\begin{matrix} &abc=1 \\ &\sum \sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

Bài 182: $\sqrt[3]{7x-1}-\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+\sqrt[3]{x^{2}-8x+1}=2$(đã hoàn thành)