1) Nên làm cách này:

PT tương đương với $x^2-6x+9+x+1-4\sqrt{x+1}+4=0$ hay $(x-3)^2+(\sqrt{x+1}-2)^2=0$. Từ đó tìm được $x=3$ là nghiệm duy nhất.

Đề thi thử Chuyên Lý Tự Trọng khối D năm 2012 có câu Giải PT này, mong ae giúp đỡ:
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2.\sqrt[3]{5x-x^3}.$$

Hàng loạt PT trong những kì thi đại học đây các bạn ơi:


6. $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$

Điều kiện $x\ge 2$
PT tương đương với $2(x-3)=3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}$

Với $x\ge 2$ thì $3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}>0$. Nhân đại lượng này (liên hợp vủa VP) vào 2 vế ta được pt tương đương:
$$2(x-3)(3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6})=8(x-3)$$
Từ đó suy ra pt tương đương với $x=3$ hoặc $3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4$.

Phương trình sau giải bằng cách bình phương 2 vế (2 vế cùng dương).

Hàng loạt PT trong những kì thi đại học đây các bạn ơi:

7. $x^{2}-3x-4=\sqrt{x-1}(x^2-4x-2)$

Điều kiện $x\ge 1$.

Pt tương đương với $(\sqrt{x-1}-1)(x^2-4x-2)=x-2$.

Nhân 2 vế của pt với $\sqrt{x-1}+1>0$ được $(x-2)(x^2-4x-2)=(x-2)(\sqrt{x-1}+1)$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x^2-4x-3=\sqrt{x-1}$.

Phương trình sau đặt $a=\sqrt{x-1}\ge 0$ đưa về $a^4-2a^2-a-6=0\Leftrightarrow (a-2)(a^3+2a^2+2a+3)=0$.

Đến đây OK rồi, chú ý là $a\ge 0$ nhé!

Giải phương trình: $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$.

Sử dụng liên hợp thôi! Sau khi mò được nghiệm $x=-1$ thì ta làm như sau:

 

PT tương đương với một trong các pt sau:

$$(x+1)+4(\sqrt{2-2x}-2)+2(\sqrt{x+2}-1)=0$$

$$(x+1)+4\dfrac{2-2x-4}{\sqrt{2-2x}+2}+2\dfrac{x+2-1}{\sqrt{x+2}+1}=0$$

$$(x+1)\left [1-\dfrac{8}{\sqrt{2-2x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+1}\right ]=0$$

 

Đến đây chứng minh được biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $-2\le x\le 1$.

Mình giải như thế này không biết có đúng không nữa

Điều kiện $x \ge -8$

Ta có:

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

$\Longleftrightarrow (x+1)\sqrt{x+8}-3(x+1)=x^2-2x+1$

$\Longleftrightarrow (x+1)(\sqrt{x+8}-3)=(x-1)^2$

Nhân lượng liên hợp của $\sqrt{x+8}-3$,ta được:

$\dfrac{(x+1)(x-1)}{\sqrt{x+8}+3}=(x-1)^2$

$\Longrightarrow x=1$ hoặc

$\dfrac{x+1}{\sqrt{x+8}+3}=x-1$

$\Longleftrightarrow x\sqrt{x+8}-\sqrt{x+8}=-2x+4$

Tới đây thì ta đặt $t=\sqrt{x+8}$,pttt:

$t^3+2t^2-9t-20=0$

Tới đây ta áp dụng CTTQ và tìm ra được $t$

$\Longrightarrow$ Tìm được $x$

Nếu làm theo cách này thì hơi phức tạp.

 

Từ đầu có thể đặt $t=\sqrt{x+8}$ thì được ngay pt

$$(t-3)(t^3+2t^2-9t-20)=0.$$

Liệu có cách nào khác mà không dùng đến công thức nghiệm pt bậc 3 không các bạn nhỉ?

Có thể đưa về hệ $$\begin{cases} x^3=2-xy\\ y^3=-3-3xy\end{cases}.$$

Nhân 2 phương trình theo vế, đặt $t=xy$ ta có

$$t^3=-6-3t+3t^2$$

tương đương

$$(t-1)^3=-7$$

hay $t=1-\sqrt[3]{7}$. Từ đó tìm được $x$, $y$.

 

Tính ra cách này cũng giống cách bạn 1110004 thôi.

Bạn Longqnh bị nhầm dấu 1 chút.

 

Có thể làm như sau nhé: Đặt $y=\sqrt{x-1}$ thì $y^2=x-1$. Ta có bpt

$$x^3-(3x^2-4y^2)y\le 0$$

hay $$x^3-3x^2y+4y^3\le 0.$$

Đây là bpt đẳng cấp bậc 3 hoặc gọi là bpt đồng bậc 3 gì đó...

Có thể bấm máy tính (nhập hệ số như bpt bậc 3 ẩn $x$ - cụ thể là 1, -3, 0, 4) để thấy nghiệm là $-1$ và $2$.

Thế thì có thể đoán $2$ là nghiệm kép (nhờ vào hệ số 4 cuối cùng) và  phân tích bpt thành

$$(x+y)(x-2y)^2\le 0.$$

Hoặc nếu là hs cấp 2 thì có thể phân tích thành

$$x^3+x^2y-4x^2y-4xy^2+4xy^2+4y^3\le 0$$

tương đương với

$$x^2(x+y)-4xy(x+y)+4y^2(x+y)\le 0,$$

đấy, có nhân tử chung là $(x+y)$ rồi.

Nếu được thì từ sau mình mong bạn

N H Tu prince

sẽ viết nhiều hơn 1 chút, cụ thể là giải thích cho mọi người tại sao lại tách được như vậy (ở câu 1)...

 

Thế thì lần sau mọi người mới có thể tự mày mò được nếu gặp bài tương tự chứ!

 

Cảm ơn bạn rất nhiều!

 

$$\begin{cases}x^3-y^3=9\\x^2+2y^2=x-4y\end{cases}$$

Hình như đề thiếu dấu bình phương ở mẫu vế trái phải không bạn? (Nếu không thì cần ngoặc làm gì??)

Mình đoán là nhân liên hợp ở vế trái...

Bạn giải thích dùm mình cái $\frac{log_{2}(x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0\Leftrightarrow \frac{ln(x+1)}{x-4}>0$?

Như thế này bạn ạ: ĐK: $x>-1, x\neq 4$. Khi đó vế trái bpt biến đổi thành

 

$$VT=\dfrac{\frac{2\ln (x+1)}{\ln 2}-\frac{3\ln (x+1)}{\ln 3}}{(x+1)(x-4)}$$

$$=\dfrac{\ln (x+1)}{x-4}.\dfrac{\frac{2}{\ln 2}-\frac{3}{\ln 3}}{x+1}.$$

 

Chú ý là $x+1>0$ và bấm máy tính để thấy dấu của $\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{3}{\ln 3}$.

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

$x^{2}-xy+2y^{2}=(x-\frac{y}{2})^2+\dfrac{7y^2}{4}=0$ khi $x=y=0$.

Có thể giải bằng cách xét hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$.
Dễ thấy $f(t)$ đồng biến với mọi $t$ thuộc tập xác định. Như vậy phương trình đầu của hệ chỉ xảy ra khi $x =y$.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ suy ra nghiệm $(x,y)$ như em huynhmylinh đã giải

Cách này không ổn, vì hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn TXD. Do đó không thể kết luận $x=y$ (có thể thấy rõ trên đồ thị hàm số này).

 

Ops! Post xong mới thấy bạn hungnp ở trên đã nói điều này rồi...

Câu b) ở đây nhé!

 

http://diendantoanho...i-học/?p=380020

 

Cảm ơn bạn MIM một lần nữa!

Có phải bị thiếu ngoặc ở 3 chố lô ga không bạn ơi?

Nên làm cách này: Nhận xét $x\neq 0$, chia 2 vế cho $x^2$, đặt $t=\dfrac{x^2+x+4}{x}$ thì được ngay pt bậc 2 ẩn $t$, đó là $t^2+3t+3=0$.

 

Còn nếu thành thạo rồi thì nên tách thành tích ngay cho nhanh.

 

 

Tóm lại, pt đẳng cấp $ma^2+n(ab)+pb^2=0$ có thế giải bằng cách chia 2 vế cho $a^2$ hoặc $b^2$ rồi đặt $t=\dfrac{a}{b}$ hoặc $t=\dfrac{b}{a}$ (thường dùng cho Cấp 2).

 

Với Cấp 3 thì nên bấm máy tính (nhập hệ số lần lượt là $m$, $n$, $p$ như khi giải 1 pt bậc hai), máy cho ra 2 nghiệm là $k$ và $h$ thì tách ngay pt thành $m(a-kb)(a-hb)=0$ do đó $a=kb$ hoặc $a=hb$.

 

 

Phương trình có dạng ma^2+nab+pb^2=0 được gọi là đẳng cấp (hoặc thuần nhất, hay đồng bậc), vì bậc của mỗi số hạng vế trái đều bằng 2 bạn ạ!

 

Ở bài toán trên nếu đặt $a=x^2+x+4$ thì trở thành đồng bậc với $a$ và $x$.

Từ hệ suy ra phương trình đồng bậc $4$ là

$$(x^3+8y^3-4xy^2)(2x+y)=1.(2x^4+y^4)$$

tương đương với

$$y(x^3-8x^2y+12xy^2+7y^3)=0.$$

Đến đây mình không có máy tính nên không biết pt bậc 3 kia có nghiệm là gì...

Giải các phương trình:

3) $2(x^2+2x+3)=5\sqrt{x^3+3x^2+3x+2}$

Pt tương đương với

$$2(x^2+x+1)+2(x+2)=5\sqrt{(x+2)(x^2+x+1)}.$$

Đặt (cho dễ nhìn) $a=\sqrt{x^2+x+1}$, $b=\sqrt{x+2}$ thì pt trở thành

$$2a^2-5ab+2b^2=0$$

tương đương $$(a-2b)(2a-b)=0.$$

Do đó $a=2b$ hoặc $b=2a$. Đến đây dễ rồi.

Đoạn này hình như bị sai bạn ạ. Nhầm $xy^2$ thành $x^2y$ phải không nhỉ?

Lấy (2) trừ (1) theo vế được

$$x^2+(2y+1)x+4y-2=0.$$

 

(Đoạn này nháp: Coi đây là pt bậc hai với $x$ là ẩn, $y$ là tham số. Tính được $\Delta =(2y-3)^2$, từ đó theo công thức nghiệm tìm được $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$)

 

Khi đó pt tương đương với $(x+2)(x+2y-1)=0$ hay $x=-2$ hoặc $x=-2y+1$.

 

Thay vào một trong hai pt ban đầu, tìm được nghiệm của hệ.

Bài này nên chia 2 vế cho $x$, rồi đặt $t=\sqrt{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ thì dễ hơn.

 

Tuy nhiên, làm cách này thì cần xét 2 trường hợp $x>0$ và $x<0$ nhé!

Nếu học lớp 12 rồi thì có thể làm bằng pp hàm số:

PT tương đương với $(2x)^3+(2x)=(\sqrt{2x+1})^3+\sqrt{2x+1}$.

 

Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ thấy đồng biến trên $\mathbb{R}$, mà $f(2x)=f(\sqrt{2x+1})$ nên $2x=\sqrt{2x+1}$.

 

Đến đây dễ rồi. @@

 

 

Nếu chưa học về đạo hàm cũng không sao. Biến đổi như trên rồi đặt $a=2x$, $b=\sqrt{2x+1}$, pt trở thành

$$a^3+a=b^3+b$$

tương đương với

$$(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$$

tương đương $a=b$ do $a^2+ab+b^2+1>0$ với mọi $a, b$.