câu 5 : đpcm <=>$\prod \sqrt{x+y}(\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}) \geq 4(x+y+z)$

Ta có : $\prod \sqrt{x+y}(\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}) = \sum \frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}\geq \sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=\sum (y+z)+\sum \frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}=2(x+y+z)+\sum \frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}$

Để chứng minh hoàn tất ta chỉ ra : 

$\sum \frac{2yz}{x}\geq 2(x+y+z)$

Thật vậy : $\sum \frac{2yz}{x}\geq 2(x+y+z)$

<=>$\frac{2(\sum (yz)^{2})}{xyz}\geq 2(x+y+z)$

<=>$2(\sum (yz)^{2})\geq 2xyz(x+y+z) <=>\sum y^{2}z^{2}\geq xyz(x+y+z)$ (luôn đúng vì đây là bđt $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ trong đó a=xy,b=yz,c=xz)

câu 6 : $\sum \frac{\sqrt{3a^{2}+4ab+3b^{2}}}{ab}\geq \sum \frac{\sqrt{10ab}}{ab}=\sum \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{ab}}\geq \sum \frac{9\sqrt{10}}{\sum \sqrt{ab}}\geq \frac{9\sqrt{10}}{a+b+c}\geq \frac{9\sqrt{10}}{\sqrt{3(\sum a^{2})}}=3\sqrt{30}$

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây  

câu 2 : gs a lớn nhất a thuộc khoảng [1,2] . (1$\leq$ a $\leq$ 2 ) 

Ta có : $b^{3} + c^{3} \leq (b+c)^{3}$ = $(3-a)^{3}$

Ta có : $a^{3} + b^{3} + c^{3} \leq$ $a^{3} + (3-a)^3$ = 27-27a+$9a^{2} -a^{3} + a^{3}$=27-27a+$9a^{2}$

Ta chứng minh : 27-27a+$9a^{2}$ $\leq$ 9 

<=>$9a^{2} - 27a +18 \leq$ 0 

<=> 9($a^{2}$ -3a+2) $\leq$ 0 

<=> 9(a-1)(a-2) $\leq$ 0 (luôn đúng với mọi a thuộc khoảng [1,2]

dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2) và các hoán vị 

câu 3 đề là max hay min bạn với lại 3 hay $\sqrt{3}$

câu 3 bạn còn cần không để hôm nào mình gửi luôn cho 

câu 1 : @@ 

$ab^{2}c^{2} + a^{2}c + b = 3c^{2}$

<=> $ab^{2} + a^2/c + b/c^2 =3$

đặt a=x , b=y , $\frac{1}{c}$=z

=>$xy^{2} + x^{2}z + yz^{2} =3$

Ta có : $\frac{c^{4}}{1+c^{4}(a^{4}+b^{4})}$ 

= $\frac{1}{\frac{1}{c^{4}} + a^{4} + b^{4}}$ 

= $\frac{1}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$

Ta có : 

$x^{4} + y^{4} + y^{4} + 1 \geq 4xy^{2}$ (1)

$x^{4} + x^{4} + z^{4} + 1 \geq 4x^{2}z$ (2)

$z^{4} + z^{4} +y^{4} + 1 \geq 4z^{2}y$ (3)

(1),(2),(3) suy ra : 

$x^{4} + y^{4} + y^{4} + 1 +x^{4} + x^{4} + z^{4} + 1 + z^{4} + z^{4} +y^{4} + 1  \geq 4xy^{2} +4x^{2}z +4z^{2}y$

<=> 3($x^{4} + y^{4} + z^{4} ) + 3 \geq 4xy^{2} +4x^{2}z +4z^{2}y$

<=> 3($x^{4} + y^{4} + z^{4} ) +3 \geq 12$

<=>$x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq 3$

=> $\frac{1}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ $\leq$ $\frac{1}{3}$

Dấu = khi a=b=c=1

cậu trả lời luôn hộ mình đc ko ? nói ý chính thôi. ko cậu gửi link của đề thi ấy cho mình mượn. Cám ơn nhiều!!

Bạn cần gấp không @@ giờ mình bận quá trưa mai mình gửi cho bạn @@ 

Mình mới thấy phép thế ravi trong tam giác vậy trong tứ giác thì làm cách nào bạn có thể suy luận ra cách đặt như thế

bài 1 bạn sử dụng schwarz cũng được, chứng minh được mẫu dương 

$\lceil\,\,3\,\,\rfloor$ Viết lại bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất :

$\frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{b} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{b}+ \mathit{c} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{c}+ \mathit{a} \right )^{\,\mathit{3}}}\geqq \frac{\mathit{a}}{\mathit{b}+ \mathit{c}}+ \frac{\mathit{b}}{\mathit{c}+ \mathit{a}}+ \frac{\mathit{c}}{\mathit{a}+ \mathit{b}}$

Nếu viết lại bất đẳng thức trên theo kiểu $\mathit{3}\,\mathit{u}= \mathit{a}+ \mathit{b}+ \mathit{c},\,\mathit{3}\,\mathit{v}^{\,\mathit{2}}= \mathit{ab}+ \mathit{bc}+ \mathit{ca},\,\mathit{w}^{\,\mathit{3}}= abc$ , hiển nhiên trong chứng minh uvw thì thường dùng nhiều $\mathit{u}> \mathit{v}> \mathit{w}$ , do đó hệ số của $\mathit{abc}$ luôn âm , bài toán này bị ngược dấu !

Spoiler

Ta có : ${\mathit{F}}'\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right )$ giảm nên giá trị của $\mathit{F}\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right ) \min$ khi $\mathit{w}^{\,\mathit{3}}$ đạt cực đại ( với $\mathit{F}$ là hàm số tuyến tính ) , trong trường hợp này hai biến bằng nhau : $\lceil$ https://math.stackex...m/tags/uvw/info $\rfloor$

Do bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát , giả sử $\mathit{b}= \mathit{c}= 1$ . Khi đó :

$- \left ( \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{b} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{b}+ \mathit{c} \right )^{\,\mathit{3}}}+ \frac{\mathit{4}\,\mathit{abc}}{\left ( \mathit{c}+ \mathit{a} \right )^{\,\mathit{3}}} \right )+ \frac{\mathit{a}}{\mathit{b}+ \mathit{c}}+ \frac{\mathit{b}}{\mathit{c}+ \mathit{a}}+ \frac{\mathit{c}}{\mathit{a}+ \mathit{b}}= \frac{\mathit{2}\left ( \mathit{a}- \mathit{1} \right )^{\,\mathit{2}}}{\left ( \mathit{a}+ \mathit{1} \right )^{\,\mathit{3}}}\geqq \mathit{0}$

Spoiler

Xem thêm về ví dụ uvw tại đây : $\lceil$ https://diendantoanh...ca/#entry714538 $\rfloor$

anh cho e xin ít tài liệu về uvw được không ạ @@ e chưa hiểu phương pháp này lắm 

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 

bài 2 thay 1=$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ rồi schwarz ngược lại là ra thì phải 

câu 2 holder . còn câu 4,6 chuẩn hóa rồi uct thì phải 

Cho mình xin lời giải bài 3 với ạ cảm ơn bạn 

mình sửa rồi ấy bạn

Bạn có thể viết ra chụp lại cho mình coi được không? Hoặc bạn gõ 1 mình phần giữa bị lỗi đó cũng được, hộ mình tí nhé

khúc giữa mình không gõ latex được xin lỗi bạn

$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} = \frac{ab+2c^{2}}{\sqrt{(ab+2c^{2})(1+ab-c^{2})}} =\frac{2(ab+2c^{2})}{2\sqrt{(ab+2c^{2})(1+ab-c^{2})}} \geq \frac{2(ab+2c^{2})}{1+ab-c^{2}+ab+2c^{2}} = \frac{2(ab+2c^{2})}{1+2ab+c^{2}}=\frac{2(ab+c^{2})}{a^{2}+2ab+b^{2}+c^{2}+c^{2}}=\frac{2(ab+c^{2})}{(a+b)^{2}+2c^{2}} \geqslant \frac{2(ab+c^{2})}{2(a^{2}+b^{2})+2c^{2}}=\frac{ab+c^{2}}{a^2+b^{2}+c^{2}}=ab+c^{2}$

tương tự nữa là xong

câu 6 mình nghĩ là thế này : 

Xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình 

Xét y$\neq$0 ta có : $\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(x+y)=4y(1) & \\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y(2) & \end{matrix}\right.$

PT (1) tương đương : $x^{2}+1 + y(x+y-2)=2y$ 

<=> $\frac{x^{2}+1}{y}+ (x+y-2) = 2$ 

PT (2) tương đương : $\frac{x^2+1}{y}(x+y-2)=1$

Đặt a= $\frac{x^{2}+1}{y}$ , b = x+y-2 , ta đưa về hệ : 

$\left\{\begin{matrix} a+b=2 & \\ ab=1& \end{matrix}\right.$.

Khúc sau không khó lắm bạn hãy thử giải ^^ 

sao nó bị lỗi hoài nhỉ

Câu 7 : pt đầu <=> $x^{2}$ - $y^{2}$ + x-y = 0 

<=> (x-y)(x+y) + (x-y) = 0 

<=> (x-y)(x+y+1) = 0 

<=> x=y hoặc x+y+1 = 0 

Sau đó bạn thế x theo y vào pt thứ 2 rồi giải phương trình bậc 2 theo ẩn y là được thì phải @@ 

bạn cần câu nào ạ 

câu 1 : $x^{2}$ + $y^{2}$ + xy = 1 

           <=> (x-y)($x^{2}$+$y^{2}$ + xy) = 1.(x-y) ( bạn xét trường hợp x=y trước rồi xét x$\neq$y rồi mới nhân (x-y) vào hai vế được )  

            <=> $x^{3}$ -$y^{3}$ = x-y

Ta có hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=x-y & \\ x^{3}+y{3}=x+3y& \end{matrix}\right.$ 

<=>$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=x-y & \\ x^{3}-y{3}+x^{3}+y^{3}=x-y+x+3y& \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=x-y & \\ 2x^{3}=2(x+y)& \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x+y-y^{3}=x-y& \\ x^{3}=x+y & \end{matrix}\right.$.

Bạn tính được y và thay vào là ra x 

câu 1 đề đúng như vậy không bạn @@ 

Bạn bỏ câu nào vậy hình năm nay dễ thở

Ta có : a/(a+bc) + b/(b+ca) + c/(c+ab)
= a^2/(a^2+abc) + b^2/(b^2+abc) + c^2/(c^2+abc)
= a^2/(a^2+1) + b^2/(b^2+1) + c^2/(c^2+1) (vì abc=1)
= 1 - 1/(a^2+1) +1 - 1/(b^2+1) +1 - 1/(c^2+1)
= 3 - [ 1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) + 1/(c^2+1) ]
》 3 - ( 1/2a + 1/2b + 1/2c ) (Bất đẳng thức Côsi)
= 3 -[ ( ab + bc + ca )/2abc ]
= 3 - [ (ab + bc + ca )/2 ] ( vì abc=1) ☺
Lại có : (a+b+c)^2 》 3(ab+bc+ca)=3(1/a + 1/b +1/c) ( vì abc =1)
》27/(a+b+c) (vì 1/a +1/b +1/c 》9/a+b+c )
Suy ra : (a+b+c)^3》27 -> (a+b+c)》3 -> (ab+bc+ca)《(a+b+c)^2/3 = 3^2/3 =3
Do đó : ☺ 》 3 - 3/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Mình nghĩ bài mình còn hơi dài . Bạn hãy dựa vào bài làm này để nghĩ thêm cách khác ngắn gọn hơn nhé . Đây là lần đầu tiên mình trả lời câu hỏi trên DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC có sai sót gì mong mọi người thông cảm .

bài của bạn làm sai rồi ngay khúc ab+bc+ac <= 3 là sai rồi