cách này ngắn gọn 

$y(x^2+x+1)=yx^2+xy+y=(xy-1)x+xy-1+x+y+1\Rightarrow x+y+1\geqslant xy-1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\leqslant 3$

Vì sao suy ra đc cái này, nói rõ hơn được ko?     

Tìm x,y $\epsilon$ N* để $x^{2}+x+1$ chia hết cho xy - 1

2 số nguyên tố cùng nhau chứ???     

Cho $a,b,c$ dương thoả $abc=1$. Tìm $Min$ của $A=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+c}+\frac{c^{2}}{1+a}.$

$A\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3+a+b+c}$

Đặt a + b+c = t, $t\geq 3$

$\frac{t^{2}}{3+t}\geq \frac{3t-3}{4}\Leftrightarrow (t-3)^{2}\geq 0 \Rightarrow A\geq \frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

có ở đây : http://diendantoanho...c1y2geqslant-9/

Áp dụng BĐT AM-GM :

$x^{2}y\leq \frac{x^{4}+y^{2}}{2}$

=> $\sum x^{2}(y+z)\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3+\sqrt{3\sum x^{4}}=6$

Vậy max P = 6 và đạt được khi x=y=z=1

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

BĐT Bunyakovsky đó ạ

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Cách này phải biết được M $\leq$ 10

PT $\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+4x+3+m)=0$

PT có 3 nghiệm phân biệt <=> PT $x^{2}+4x+3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Đặt y=x-2 => x = y+2. thay vào ta có pt $y^{2}+8y+15+m=0$ (*)

Ta phải có pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

hay $\Delta '>0\Leftrightarrow m<1$ và 15+m $\neq -15$

Vậy m < 1 và m khác -15

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim S_n

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$

Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$

2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$

Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$

Cho x,y không âm thỏa mãn x+y=4. Tìm GTNN và GTLN của : P= $x^{4}y+xy^{4}+x^{3}+y^{3}-5(x^{2}+y^{2})+14x^{2}y^{2}-58xy+6$

Bài này dễ sai lầm 

Cho a,b $\geq$ 0 và 2a+3b$\leq 6$ ; 2a+b$\leq$ 4. Tìm GTNN và GTLN của :

A=$a^{2}-2a-b$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^{3}+b^{3}+c^{3}-1=abc$, Tìm GTNN của: P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn :

$x^{3}+y^{3}-3xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}(x+y)-4x^{3}y^{3}=0$

Tìm GTNN của M=x+y

Tìm GTNN của biểu thức A = $\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}$ với 0 < x <1

Do 0 < x < 1 nên có 1 -x > 0, x > 0. Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có :

$A=\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}\geq \frac{(\sqrt{3}+2)^{2}}{1-x+x}=7+4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra <=> $\frac{\sqrt{3}}{1-x}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}+2}$

KL : ...

Tìm GTNN của $P=\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

THCS mà, ko  được dùng đạo hàm 

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}$

đặt $\frac{ab}{c}=x,\frac{bc}{a}=y,\frac{ca}{b}=z$

Ta có xy+yz+xz=1

P = x + y + z $\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$=$\sqrt{3}$

Lời giải.

Đặt

$$P=\frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}=\frac{2\left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left ( ab+1 \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )$$

$$\Leftrightarrow ab+1\leq \sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}$$

\begin{align*} \Rightarrow P &\leq \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+ab+bc+ca \right )\left ( b^{2}+ab+bc+ca \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\left ( a+b \right )\sqrt{\left ( c+a \right )\left ( b+c \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \end{align*}

Ta sẽ chứng minh $\frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$.

Đặt $\sqrt{c^{2}+1}=t>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\frac{2}{t}+\frac{t^{2}-2}{t^{2}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \left ( t-2 \right )^{2}\geq 0$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=2-\sqrt{3}$, $c=\sqrt{3}$.

Chỗ này là căn bậc 2 :v