a) Rút gọn phân thức: $\frac{x^2+x-6}{x^3-4x^2-18x+9}$
b) Cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0(x,y,z\neq 0)$. Tính $\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}$
a ) $\frac{x^2 + x-6}{x^3 -4x^2-18x + 9 } = \frac{x^2 - 2x + 3x - 6}{x^3 + 3x^2 - 7x^2 - 21x + 3x + 9} = \frac{x(x-2)+3(x-2)}{x^2(x+3)- 7x(x+3) + 3(x+3)} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x^2 - 7x + 3)} = \frac{x-2}{x^2 - 7x + 3}$
b ) C/m 1 bài toán phụ
Cho $a + b + c = 0$ . CM : $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$
Ta có : $a + b + c = 0 \Leftrightarrow a + b = -c \Leftrightarrow (a+b)^3 = -c^3$
Lại có : $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 = -c^3 - 3ab . (-c) + c^3 = 3abc$
Theo GT : $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ , áp dụng từ bài toán phụ trên , ta có :
$\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} = \frac{3}{xyz}$
Ta lại có : $\frac{yz}{x^2} + \frac{xz}{y^2} + \frac{xy}{z^2} = \frac{xyz}{x^3} + \frac{xyz}{y^3} + \frac{xyz}{z^3} = xyz ( \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} ) = xyz . \frac{3}{xyz} = 3$