Bài toán: Cho phương trình ${x^4} - m{x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm lớn hơn $1$.

Luyện cách trình bày

Lời giải:
Xét $x=0$, ta thấy $1=0$ (vô lý) nên trường hợp này loại.
Xét $x \neq 0$, ta được:
${x^4} - m{x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + 1 = 0 \;\;\;(*)$
$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})^2-m(x-\frac{1}{x})-2m+1=0$
$\Leftrightarrow t^2-m t+1-2 m=0$ với $t= x-\frac{1}{x} \in R$

$t= x-\frac{1}{x}$ có nghiệm lớn hơn $1 \Leftrightarrow t \geq 0$.
Dễ thấy mỗi mỗi giá trị của $t \geq 0$ thì phương trình $ t= x-\frac{1}{x}$ có một nghiệm âm và một nghiệm dương...
$PT (*)$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$

$\Leftrightarrow t^2-m t+1-2 m=0$ có hai nghiệm phân biệt không âm
$\Leftrightarrow 4-8m-m^2 <0$ và $1-2m \geq 0$ và $m>0$
$\Leftrightarrow -4+2\sqrt{5} < m \leq \frac{1}{2}$
_______________________
Anh có thể post thêm vài (nhiều) bài của dạng này không. Em dám chắc phần lớn các bạn lớp 10 đang lúng túng về phần này...

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

 

Đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$
Cần chứng minh:
$$2(x+y+z)^2 \geq 3(x+y+z+xy+yz+zx)$$
Áp dụng $(x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx)$ và $x+y+z \geq 3$
Ta được đpcm

Tìm GTNN của A = $\sqrt{(6-x)(x+2)}-\sqrt{(3-x)(x+1)}$

 

Cho các số thực x,y thoả mãn 3y-2x $\geq$ 3. Chứng minh rằng $17x^{2}-66xy+72y^{2}\geq27$

 

$$17x^{2}-66xy+72y^{2}\\=17\, \left( x+{\frac {18}{17}}-{\frac {33}{17}}\,y \right) ^{2}+{\frac {135}{17}}\, \left( 1+y \right) ^{2}+27+18\, \left( 3\,y-2\,x-3 \right) \geq 27$$

Giải hệ pt sau :

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x-y=0 \\ 2y=2x^2-3x & \end{matrix}\right.$

Từ giả thiết ta có $x^2+y^2-2x-y+2y=2x^2-3x \Leftrightarrow (x+y)(y+1-x)=0$
Xét $x=-y$ thì ta được $y(1+2y)=0$
Xét $x=y+1$ thì ta được $(1+2y)(y-1)=0$

Giải bất phương trình sau
$\sqrt{2(a+24)}-\sqrt{a-7}\geq \sqrt{a+7}$

ĐKXĐ:...
Đặt $a=5^x$ ($a \in \{...\}$)
BPT tương đương với:
$\sqrt{2(a+24)}\geq \sqrt{a+7}+\sqrt{a-7}$
$\Leftrightarrow 24 \geq \sqrt{a^2-49}$
$\Leftrightarrow a^2-49 \leq 576$
$\Leftrightarrow 7 \leq a \leq 25$
Từ đó ta được nghiệm của BPT

Tìm m để $(x^2-2mx+1)(x^2+3x+1)+2(m+1)x^2=0$ có không ít hơn hai nghiệm dương.

Ta có $(x^2-2mx+1)(x^2+3x+1)+2(m+1)x^2=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^2(x^2-2mx+x+1)=0$
PT $(x^2-2mx+1)(x^2+3x+1)+2(m+1)x^2=0$ có không ít hơn hai nghiệm dương
$\Leftrightarrow PT \;\; x^2-2mx+x+1=0$ có hai nghiệm dương
$\Leftrightarrow 2m-1>0$
$\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}$

Giải hệ PT sau bằng $3$ cách:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+y^{2}=3(x-y) & \\ x^{2}+xy+y^{2}=7(x-y)^{3} & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn:
Cách 1: Hệ phương trình tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2-3(x-y)+xy=0 \\ -7(x-y)^3+(x-y)^2+3xy=0 \end{matrix}\right.$$
Đặt $S=x-y$ và $P=x y$, từ đó ta thay $P$ vào là ra phương trình đơn giản
Cách 2: Lấy Phương trình thứ 2 trừ đi 3 lần phương trình thứ nhất ta được:
$$(x-y)(x-y-1)(7x-7y+9)=0$$
Cách 3: Nếu $y=0$ thì $x=0$
Nếu $y \neq 0$ thì đặt $x=ky$
Từ PT(1) ta được $y=\frac{3(k-1)}{k^2-k+1}$
Từ PT(2) ta được $y=\frac{k^2+k+1}{7(k-1)^3}$
Từ đó ta giải phương trình $\frac{3(k-1)}{k^2-k+1}=\frac{k^2+k+1}{7(k-1)^3}$
Ta được $(k-2)(2k-1)(10k^2-17k+10)=0$
Suy ra ...

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}(x+y)(1+\frac{1}{xy}) = 6 \\\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1} =\frac{2}{3} \end{array}\right.$

Lời giải:
Ta thấy PT(2) viết lại thành: $\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+\frac{1}{y+\frac{1}{y}} =\frac{2}{3}$
PT(1) thì ta thấy: $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=6$
Từ đó ta được: $x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}=3$
Suy ra ...

Cho $x_i,y_i \; (i=\overline{1,n})$ là các số thực dương, chứng minh:
$$\frac{n}{2} \left [ \sum^n_{i=1} x_iy_i+\sqrt{\left ( \sum^n_{i=1}x_i^2 \right ) \left( \sum^n_{i=1}y_i^2 \right )} \right ] \geq \left ( \sum^n_{i=1}x_i \right ) \left( \sum^n_{i=1}y_i \right )$$

Cho các số thực x,y thoả mãn $49x^{2}+44xy+36y^{2}\leq20$. Chứng minh $3x+2y\leq2$

 

Ta có:
$$5(3x+2y)^2=-4\, \left( x-2\,y \right) ^{2}+ \left( 49\,{x}^{2}+44\,xy+36\,{y}^{2}-20 \right) +20 \leq 20$$

giải:
$2(x^{2}+x-1)^{2}+2x^{2}+2x=3+\sqrt{5+4x}$

Đặt $\sqrt{5+4x}=t \geq 0$
Suy ra $x=\dfrac{t^2-5}{4}$
Thay vào phương trình ban đầu ta được:
$${\frac {1}{128}}\,{t}^{8}-{\frac {3}{32}}\,{t}^{6}+{\frac {15}{64}}\,{
t}^{4}+{\frac {9}{32}}\,{t}^{2}-{\frac {183}{128}}-t
=0$$
$$\Leftrightarrow {\frac {1}{128}}\, \left( t-3 \right) \left( t+1 \right) \left( {t}^
{6}+2\,{t}^{5}-5\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}+7\,{t}^{2}+2\,t+61 \right) =0$$
Ta lại thấy rằng:
$t^6+2t^5-5t^4-4t^3+7t^2+2t+61=\dfrac{1}{3} (t^3+3t^2-5)^2+\dfrac{2}{3} (t^3-7t)^2+\dfrac{4}{3}(t^2-\dfrac{1}{4} t-6)^2+\dfrac{1}{4} (t-4)^2+\dfrac{2}{3}>0$
Suy ra ...

Giải phương trình:
$4\left ( \sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+14} \right )=x^{3}+12$

Hình như sai đề rồi chị ơi...

Giải HPT $\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=9 & \\ 5x^{2}+6y^{2}=9x+10y & \end{matrix}\right.$
Mình thấy trong các tài liệu có rất nhiều bài toán dạng này, mình thường thấy cách giải là cộng (trừ) 2 PT với nhau (sau khi đã nhân các PT đó với 1 số nào đó) sau đó sẽ biểu diễn x theo y, nhưng nói như vậy rất chung chung, ai có cách tìm ra số mà cần nhân hay ko?

Hình như bạn chép sai đề rồi, xem lại nhé ! (theo wolfram)
$(x,y)=(1,2)$ và $...$

Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-2xy+x-2y+3=0 & & \\ y^{2}-x^{2}+2xy+2x-2=0 & & \end{matrix}\right.$

Cách dài: $2\text{x}(1)+(2)=(x-y+2)^2=0$ suy ra ...

Xét các số thực thay đổi $x,Y$ thoả điều kiện : $x^2-xy+y^2=3$
a/Tìm giá trị lớn nhất của: $T = x^2y-xy^2$
b/Tìm tất cả các cặp $(x ; y)$ để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất .
___
Nhanh Lên Thôi

1. Ta thay $$y^2=3+xy-x^2$$
2. Ta được $$T=x^3-3x$$
3. Elip $$x^2-xy+y^2=3$$ nằm gọn trong hình vuông ngăn bởi các đường thằng: $$x=1,x=-1,y=1,y=-1$$
4. Suy ra $$-2 \leq x \leq 2$$
5. Xét hàm số $$f(x)=x^3-3x$$
6. $$f'(x)=3(x^2-1)$$
7. Suy ra $$T_{\min}=\min \{ f(-2),(f(-1),f(1),f(2)\}\\
T_{\max}=\max \{ f(-2),(f(-1),f(1),f(2)\}$$
8. Xong 2 câu

Tìm m để PT sau có nghiệm thỏa mãn $x\in [-2;5]$
$x^2+2(m+1)x+m-2=0$

$f(x)=x^2+2(m+1)x+m-2=0$ có nghiệm thỏa mãn $x\in [-2;5]$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
f(-2)f(5)\le 0\\
\left\{\begin{matrix}
f(-2)f(5)> 0\\
-2 \leq -2(m+1) \leq 5
\end{matrix}\right.
\end{bmatrix}
\Leftrightarrow
\begin{bmatrix}
m\le-3\\
m\ge \dfrac{-2}{3}\\
\left\{\begin{matrix}
-3 <m<\dfrac{-2}{3}\\
\dfrac{-7}{2} \leq m \leq0
\end{matrix}\right.
\end{bmatrix}
\Leftrightarrow
\begin{bmatrix}
m\le-3\\
m\ge \dfrac{-2}{3}\\

-3 <m<\dfrac{-2}{3}


\end{bmatrix}
$
Luôn đúng.
Vậy với mọi $m$ thì PT luôn có nghiệm thỏa mãn đề bài

Định $m$ để phương trình sau vô nghiệm: $$\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2m=0$$

Đầu tiên, ta sẽ tìm $m$ để phương trình này luôn có nghiệm:
Hay tìm $m$ để phương trình $t^2-2mt+2m-2=0$ có nghiệm $|t| \geq 2$
Xét $f(t)=t^2-2mt+2m-2=0$
$f(t)=0$ có nghiệm $|t| \geq 2$
$\Leftrightarrow f(2)(f(-2) \leq 0$
$\Leftrightarrow m \geq 1$ hoặc $m \leq -\frac{1}{3}$
_________________
Từ đó ta được $\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2m=0$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow -\frac{1}{3}<m<1$

Giải phương trình:

a/$(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

b/$1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^{2}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

Để ý rằng:
a) $2x^{2}+2x+1-(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=(2\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}-2x+1)=0$
b) $1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^{2}}- \sqrt{x}- \sqrt{1-x}= \left( \sqrt {1-x}+\sqrt {x}-2 \right) \left( \dfrac{1}{3}\sqrt {1-x}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\sqrt {x} \right) $

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}+3y(x+1)+6y^{3} =12y^{2}& & \\ 3y^{2}+5y=3(x+1) & & \end{matrix}\right.$

Cách 1: Từ $PT(2)$ ta được $x+1=\frac{3y^2+5y}{3}$
Thế vào $PT(1)$ ta được: $y^4+\frac{37}{3} y^3-\frac{38}{9}y^2=0$
Từ đó ta được các nghiệm:
$\{x = -1, y = 0\}, \{x = \frac{415}{3}, y = -\frac{38}{3}\}, \{x = -\frac{1}{3}, y = \frac{1}{3}\}$

Giải phương trình cần giúp?
$\sqrt[3]{x^2-1}+ \sqrt{3x^3-2}=3x-2$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}+ \sqrt{3x^3-2}-3x+2$
$f'(x)=\dfrac{2x}{3 \sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\dfrac{9x^2}{2 \sqrt{3x^3-2}}-3>0$
(do $\dfrac{9x^2}{2 \sqrt{3x^3-2}}-3>0$)
Suy ra $f(x)=0$ tối đa chỉ có một nghiệm.
Dễ thấy $x=1$ thỏa mãn đề bài, suy ra $x=1$ là nghiệm của phương trình

Giải hệ phương trình
$\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{y}+\dfrac{y^2-1}{x}=3\\x^2-y^2=3\end{cases}$

Từ giả thiết ta có:
${\frac {{x}^{2}-1}{y}}+{\frac {{y}^{2}-1}{x}}-3+{\frac { \left( {x}^{2
}-{y}^{2}-3 \right) \left( x+1+y \right) }{yx}}=0$
Suy ra ${\frac { \left( x+1 \right) \left( x+1+y \right) \left( 2\,x-3-y
\right) }{yx}}=0$
Đến đây dễ rồi

Can expand: Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\[x - \sqrt {{x^2} + 1} = (x+m).\sqrt {{x^2} + 1} - 3\]

I don't think so !
_____________________
Từ giả thiết ta được: $$m=-{\dfrac {-x+\sqrt {{x}^{2}+1}+\sqrt {{x}^{2}+1}x-3}{\sqrt {{x}^{2}+1}}
}
$$
Tương tự bài trên, xét hàm số $$f(x)=-{\dfrac {-x+\sqrt {{x}^{2}+1}+\sqrt {{x}^{2}+1}x-3}{\sqrt {{x}^{2}+1}}
}$$
$$f'(x)=-\dfrac{1+3x+\sqrt{(x^2+1)^3}}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=t=\dfrac{1-k}{3}$
Với $k$ là nghiệm duy nhất của phương trình $x^5+x^4+x^3-x^2-10x-10=0$
Hay $k=1,740699254$ và $t=-1,424792579$
$\lim_{x \to +\infty } f(x)=-\infty $
$\lim_{x \to -\infty } f(x)=+\infty $
Vẽ bảng biến thiên cho 3 khoảng của $x$, ta được kết quả là:
$m>f(0)$ hoặc $m<f(t)$

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\[x - \sqrt {{x^2} + 1} = 2m\sqrt {{x^2} + 1} - 3\]


P/s: Nêu cách giải tổng quát bài dạng này cho mình với

\[x - \sqrt {{x^2} + 1} = 2m\sqrt {{x^2} + 1} - 3\]
$$\Leftrightarrow m=\dfrac{x+3-\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}}$$
Xét hàm số $$f(x)=\dfrac{x+3-\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}}$$
$$f'(x)=\dfrac{1-3x}{2 \sqrt{(x^2+1)^3}}$$
Vẽ bảng biến thiên ta được:
$x >\dfrac{1}{3}$ thì nghịch biến.
$x <\dfrac{1}{3}$ thì đồng biến.
Giờ ta tìm giới hạn:
$$\lim_{x \to+\infty }\dfrac{x+3-\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}}=0\\
\lim_{x \to-\infty }\dfrac{x+3-\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}}=-1$$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
$-1<m\leq0$ hoặc $m=\dfrac{\sqrt{10}-1}{2}$