Tìm các số tự nhiên m,n và số nguyên tố p thỏa mãn: p^m +pⁿ =  p^m.n

Dễ thấy nếu m hoặc n bằng 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Xét $m,n\neq 0$

$=>m,n\geq 1 <=>p^m+p^n\vdots 2<=>p^{mn}\vdots 2<=>p\vdots 2<=>p=2$(Vì p là số nguyên tố)

Ko mất tính TQ, giả sử $m\geq n\geq 1$

=> Pt ban đầu $<=>2^n(1+2^{m-n})=2^{mn}<=>1+2^{m-n}$ là một lũy thừa của 2 

$<=>2^{m-n}=1<=>m=n=>2^m+2^m=2^{m+1}=2^{m^2}$

$<=>m^2=m+1$ ---> Ko có nghiệm nguyên m

Vậy, pt vô nghiệm

cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa $\sqrt{a+b-c}$ + $\sqrt{b+c-a}$ + $\sqrt{c+a-b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$. Tính độ dài các đường cao của tam giác đã cho theo a

Ta có:

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}\leq \sqrt{2((a+b-c)+(b+c-a))}=2\sqrt{a}($ Do $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=>x+y\leq\begin{vmatrix}x+y\end{vmatrix}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\forall x,y\in \mathbb{R})$

CMTT

$=>\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq 2\sqrt{c};\sqrt{c+a-b}+\sqrt{a+b-c}\leq 2\sqrt{a}$

$<=>\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Vì dấu $"="$ phải xảy ra (Theo giả thiết)

$=>\sqrt{a+b-c}=\sqrt{b+c-a}=\sqrt{c+a-b}$

$<=>a=b=c<=>$Tam giác đã cho là tam giác đều

$<=>$Đường cao của tam giác đó có độ dài là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

cho P=$\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$

biết    $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

ĐKXĐ:$a^3-4a^2+5a-2\neq 0$

Ta có :

$a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

$<=>a^3=55+\sqrt{3024}+55-\sqrt{3024}+3(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})\sqrt[3]{(55+\sqrt{3024})(55-\sqrt{3024})}$

$<=>a^3=110+3a<=>(a-5)(a^2+5a+22)=0<=>a=5$(T/m ĐKXĐ)

Thay $a=5$ vào

$=>P=\frac{7}{3}$

Vậy,...

minhf sửa rồi ạ

OK vậy bạn thay $a=2b$ vào thì tính đc $\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}=\frac{-4}{21}$ thế là xong

cho a>b>0 và a³-a²b+ab²-6b³=0

$\frac{a^{4}-4b^{4}}{b^{4}-4a^{3}}$

Từ gt suy ra $(a-2b)(a^2+ab+3b^2)=0$ mà a>b>0 suy ra a=2b

--> Thay vào ...

Mà đề bài sai sai thì phải

rồi ạ

Pt đã cho $<=>\frac{32y}{(y+1)^2}=x$ là số nguyên dương

                   $<=>32y\vdots (y+1)^2$

                   $=>32y\vdots y+1$ 

                   $<=>32(y+1)-32\vdots y+1$

                $<=>32\vdots y+1$

                $<=>y+1$є{2;4;8;16;32}(Vì y là số nguyên dương $=>y+1\geq 2$)

                $<=>y=1=>x=8$(t/mãn)

                hoặc $y=3=>x=6$(t/mãn)

                hoặc $y=7=>x=\frac{7}{2}$(loại)

                hoặc $y=15=>x=\frac{15}{8}$(loại)

                hoặc $y=31=>x=\frac{31}{32}$(loại)

Vậy,.....

tìm x,y thỏa mãn phương trình 

xy²+2xy+x=32y

x,y nguyên hay có đk gì ko vậy???

cho P(x) = x³-3x²+14x -2

tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 sao cho P(x) chia hết cho 11 

$P(x)\vdots 11<=>(x-1)^3+11x-1\vdots 11<=>(x-1)^3\equiv1(mod 11)$

Dễ thấy lập phương của một số tự nhiên chia 11 dư 1 khi và chỉ khi số tự nhiên đó chia 11 dư 1 (tự chứng minh bằng cách lần lượt xét các số dư của số tự nhiên đó cho 11)

$=>x-1\equiv1(mod 11)$

$<=>x\equiv2(mod 11)$

$<=>x=2,13,24,...,90$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$

Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$

                $<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$

                $<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

                $<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)

Vậy,...

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

tìm m để đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

Đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

$<=>m+2=3$ và $m\neq -2$

$<=>m=1$(Thỏa mãn)

Ta có:

$\frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2}+ \frac{(x+y)^2}{xy}$

$=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy})$

$\geq (x+y)^{2}\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c})$

$\geq (x+y)^2\frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}(Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$

Dấu "$=$" xảy ra $<=>x=y$

Vậy,...

Cho x,y > 0 và x+y $\leq$ 1. Tìm GTNN của A = $\frac{1}{x^2 + y^2}$ + $\frac{504}{xy}$

$A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{503}{xy}$

$<=>A\geq \frac{9}{x^2+y^2+4xy}+\frac{503}{xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$

$<=>A\geq \frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{503}{\frac{(x+y)^2}{4}} (Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$<=>A\geq \frac{9}{1+\frac{1}{2}}+\frac{503}{\frac{1}{4}}(Dox+y\leq 1)$

$<=>A\geq 2018$

Dấu "="xảy ra $<=>x=y=\frac{1}{2}$

Cho ánh xạ $f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ với $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$

Tìm $A=\left \{ y|y=f(x),x\in \mathbb{R},x>0 \right \}$

Xét $0<x<1$ và $x>1$

$=>...=>A=(-\infty ;-3)\bigcup(0;+\infty)$

 

So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}$ và $N=(2012^{2013}+2013^{2013})^{2012}$

 

$M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}=2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2012}+1]^{2013}>2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2013}+1]^{2012}=N$

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

 

với  $-1 \leq $ x $\leq 1 $

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x)}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}$(Vì $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}>0$)

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1+x+2\sqrt{1-x^2}+1-x}$

$=\sqrt{2}\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}$

$=\sqrt{2}\sqrt{1-1+x^2}$

$=x\sqrt{2}$

Các bác giúp em với ah

 

$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2$.

Nếu đề là phân tích thành nhân tử thì:

$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2=x(2x^2+3x+2)$(đơn giản quá ???!!)

Gõ lại đề cẩn thận giùm. 

Câu 4:[attachment=35161:xDDD.JPG]

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ x& + (m-2)y &2 \end{matrix}\right.$ , với m thuộc R 

tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

Dễ thấy m=-1 thì phương trình đầu vô nghiệm.

Xét $m\neq -1 , HPT $<=>\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ (m+1)x& + (m+1)(m-2)y &=2(m+1) \end{matrix}

$<=>(m+1)(m-3)y=-2m+2$ (1) ( lấy 2 phương trình trên trừ vế theo vế )

Vì m =3 thì (1) vô nghiệm nên với $m\neq 3$ thì $y=\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)}<=>x=\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)}$

Vậy, với $m\neq 3$, $m\neq -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)};\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)})$

sau khi trừ thì kết quả sao lại = -2m +2

$2(m+1)-4m=-2m+2$, đúng ko nhỉ

 

 

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$

$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$

$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$

Vậy, ...

Cách khác:

Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$

$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$

$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$

Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)

$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$

Vậy, ...

Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

ĐKXĐ: $x\leq -1 hoặc 0<x\leq1$

Dễ thấy $x>0=>0<x\leq1$

$VP=x(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}\leq \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}=\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}(x^2+1)=\sqrt{x-x^3}(x^2+1)$

$<=>VP\leq \frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}$

$<=>VT-VP\geq x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1-\frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}=...=\frac{x^4+x^3+(2x-1)^2+2-x}{2}>0(Vì 0<x\leq1)$

$<=>$ Phương trình vô nghiệm

Vậy$,...$