Cho f(x)= $\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

         A= f($\frac{1}{2012}$) + f($\frac{2}{2012}$) + ... + f($\frac{2011}{2012}$).

    Trong các tấm bìa trình bày dưới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái và mặt kia ghi một số:

                              A       M      3      6

    Chứng tỏ rằng đề kiểm tra câu sau đây có đúng không: " Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau của tối đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ?

    Cho tam giác cân ABC $\widehat{BAC}= 120^{\circ}$; biết M, N là 2 điểm thuộc cạnh BC thỏa mãn BM= CN= MN. Tính $\widehat{MAN}$.

Mình xin đóng góp bài này: $CMR$: trong $1990$ số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho $27$.

      Giả sử 1990 số tự nhiên liên tiếp là:

          n, n+1, n+2, . . .,n+1899.                                                                        (1)

    Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, . . ., n+999 có một số chia hết cho 1000.

    Giả sử số đó là n' có tận cùng là 3 chữ số 0 và giả sử tổng các chữ số của n' là k.

    Khi đó 27 số n'+1; . . .; n'+9; n'+19; . . .; n'+99; n'+199; n'+299; . . .; n'+899 (2) có tổng các chữ số lần lượt là k, k+1, k+2, . . ., k+26.

    Trong đó 27 số tự nhiên liên tiếp k, k+1, k+2, . . ., k+26 có 1 số chia hết cho 27(đpcm).

     Chú ý rằng từ $n'+899\leq n+999+899< n+1899$ nên các số ở trong dãy (2) còn nằm trong dãy (1).

     =>đpcm

    Cho 2 tập hợp A và B thoă mãn đồng thời 2 điều kiên a, b sau:

a) Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 2008.

b) Tổng số các phần tử của 1 tập hợp lớn hơn 2008.

   CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của tập hợp A và 1 phân tử của tập hơp B có tổng bằng 2008.

           Giải phương trình sau:  $(x^{4}+5x^{3}+8x^{2}+7x+5)^{4}+(x^{4}+5x^{3}+8x^{2}+7x+3)^{4}=16$.

1. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 là các số nguyên tố.
2. Chứng minh rằng nếu n và $n^2+2$ là các số nguyên tố thì $n^3+2$ cũng là số nguyên tố.
3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k (a,k thuộc N* ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6.
4. Cho p, q là hai số nguyên tố, chứng minh rằng $p^2-q^2$ chia hết cho 24.
5. Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư là một hợp số r. Tìm r.
6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
8. Cho n thuộc N*, chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 2^(2^(2n+1)) + 3 b) B = 2^(2^(4n+1)) + 7 c) C = 2^(2^(6n+2)) + 13
9. p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh $p^4\equiv 1$ (mod 240)
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
12. Tìm n thuộc N* để $n^3-n^2+n-1$ là số nguyên tố.
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.

    Dễ thấy p=2, p=3 không thỏa mãn.

Với p=5 thì p+6, p+8, p+12, p+14 đều lá số nguyên tố.

Với p>5 thi p=5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4 (k thuộc N*)

Xét các TH trên ta thấy đều ko thỏa mãn.

Vậy p=5 là giá trị cần tìm.

tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+1; n+3; n+7; n+9; n+13; n+15 đều là số nguyên tố

   Dễ thấy n=0, n=1, n=2; n=3 đều ko thỏa mãn.

  Với n=4 thi n+1; n+3; n+7; n+13; n+15 đều là số nguyên tố.

  Xét các TH như trên đều ko thỏa mãn

  => n=4.

 Tìm các số nguyên tố $p_{1}; p_{2}; . . .;p_{8}$ thỏa mãn phương trình: $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{7}^{2}=p_{8}^{2}$

 Thêm 1 bài tỉ lệ thức nữa nhé!

           Cho $Cho \frac{bz+cy}{x(-ax+by+cz)}=\frac{cx+az}{y(ax-by+cz)}=\frac{ay+bx}{z(ax+by-cz)}$ (1)

                   a) Chứng minh $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}$

               b) $\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(a^{2}+c^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

 a) Đặt k=  $\frac{xyz(bz+cy)}{x(-ax+by+cz)}=\frac{xyz(cx+az)}{y(ax-by+cz)}=\frac{xyz(ay+bx)}{z(ax+by-cz)}$

       =>k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cz+az)}{ax-by+cz}=\frac{xy(ay+bx)}{ax+by-cz}$

     Suy ra k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cx+az)}{ax-by+cz}=\frac{yz(bz+cy)+xz(cx+az)}{2cz}=\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{2c}$

     Lập tương tự ta có: k= $\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{2a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(cz+a)}{2b}$

     Suy ra: $\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{c}=\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(az+ax)}{b}$

     Trừ mỗi vế trên cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, suy ra:

         $\frac{z(ax+by-cz)}{c}=\frac{x(by+cz-ax)}{a}=\frac{y(cz+ax-by)}{b}$       (2)

    Nhân các đẳng thức (2) với (1) tương ứng ta có:

         $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}=\frac{1}{M}$   (dpcm)

  b) Từ phần a)=> $\frac{1}{2abcM}=\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$ (đpcm).

Xin chào mọi người . Sau đây mình sẽ cung cấp các bài toán về đa thức.

[1] CMR không có đa thức $P(x)$ nào với hệ số nguyên có thể có giá trị $P(7)= 5, P(15)= 9$.

[2] Cho $f(x)$ là đa thức bậc lớn hơn 1 có hệ số nguyên, k,l là 2 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. CMR f(k+l) $\vdots k.l$ khi và chỉ khi f(k)$\vdots l$ và $f(l)\vdots k.$.

[3] Cho f(x), g(x) là 2 đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện F(x)= $f(x^{3})+xg(x^{3})$ chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$. CMR $f(x), g(x)$ cùng chia hết cho $(x-1)$.                                                                   

[4] Cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên và f(0), f(1) là các số lẻ. CMR đa thức f(x) ko có nghiệm nguyên.        

[5] Cho f(x)= $ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn với mọi x sao cho $-1\leq x\leq 1$ và $\left | f(x) \right |\leq q$. Tìm $q$ nhỏ nhất sao cho $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |\leq pq.$.

[6] Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận $\sqrt[7]{\frac{5}{3}}+\sqrt[7]{\frac{3}{5}}$ là một nghiệm.

[7] CMR nếu đa thức P(x)= $x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiêm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2.$.

[8]  Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn $P(2012)= P(2013)= P(2014)= 2013$. CMR đa thức $P(x)- 2004$ ko có nghiệm nguyên.

[9] Cho đa thức f(x)= $a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a^{4}(a_{0}\neq 0;a_{1},_{2},_{3} ,a_{4})$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $f(2004)=f(-2004) và f(2015)= f(-2015)$

     CMR f(x)= f(-x) với mọi số thực x.

[10] Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thỏa mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: $xP(x-1)= (x-2)P(x)$.

Tobe continue.........................

Cho ABC có góc BAC lơn hơn hoặc bằng 60 độ. CMR AB+ ÁC bé hơn hoặc bằng 2BC.

Có tồn tại hay ko 1 đã thức P (x) có bậc 2010 sao cho P (x^2-2010) chia hết cho P (x)?

  Ví dụ $0^{2}+0^{2}+1^{2}=1$ là số chính phương.

 Tobe continue . . . . .. . .

[11] Cho đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãn:

               P(-1) =0 và P(x)- P(x-1)= x(x+1)(2x+1).

     1. Xác định đa thức P(x).

     2. Tính giá trị của tổng sau đây(n là số nguyên dương).

         S= 1.2.3+2.3.5+....+n(n+1)(2n+1)

[12] Cho biết đa thức bậc hai P(x) có 3 nghiệm số phân biệt a, b, y. CMR P(x)=0 với mọi x.

[13] Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện:

             16f(x^2)=f^2(2x)

[14] Xác định đa thức $f(x)=x^{2}+ax+b$ thỏa mãn:

             $\frac{1}{2}\geq \left | f(x) \right | và x\epsilon \left [ -1;1 \right ]$

[15] Cho f(n)= $(n^{2}+n+1)^{2}+1$ với n là số nguyên dương. Đặt

              $P_{2}=\frac{f(1).f(3)...f(2n-1)}{f(2).f(4)...f(2n)}$

       CMR $P_{1}+P_{2}+...+P_{n}< \frac{1}{2}$

[16] Cho 2 đa thức $f(x)=(x-2)^{2008}+(2x-3)^{2007}+2006x; g(y)=y^{2009}-2007y^{2008}+2005y^{2007}$. Giả sử sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các hệ số của nó là s. Hãy tính s và tính giá tri g(s).

Cho tổng gồm 2006 số hạng:
    S=  $\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+ . . .+\sqrt[2007]{\frac{2007+1}{2007}}$
 Tính [S]

Khó ai làm được bài này ah

Khó ai làm được bài này ah

Cho $c^{2}$ + 2(ab-ac-bc)=0. CMR $\frac{a^{2}+(a-c)^{2}}{b^{2}+(b-c)^{2}}=\frac{a-c}{b-c}$

Chp phân số p= $\frac{n^{2}+4}{n+5}$ với n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1 đến 2015 sao cho phân số p chưa tối giản.