Cho các số thực dương  thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 

$P=\cfrac{c^2}{\left ( a+b-c \right )^2}+\cfrac{c^2}{a^2+b^2}+\cfrac{\sqrt{ab}}{a+b}$

Cho 3 số thỏa mãn $x+y+z=1$ Tim min va max của $P=\sqrt{x^2+y^2+z^2-6x-4y+2z+14}+\sqrt{x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+14}$

Cho $(x+y)^3+4xy\geqslant 2$. Tìm min của $P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1$

Cho ba số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+2xz=x+y+z$. Tìm Min $P=x+y+z+\dfrac{10}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{10}{\sqrt{z+1}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương . Tìm min $P=\cfrac{x^2}{z\left ( z^2+x^2 \right )}+\cfrac{y^2}{x\left ( x^2+y^2 \right )}+\cfrac{z^2}{y\left ( y^2+z^2 \right )}+2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )$

Cho $x,y,z$ là những số thực  dương  thỏa mãn $4xy+2xz+6y+3z-7x=35$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{xy}{x+y}+\cfrac{2y}{2+y}+\cfrac{3z}{3+z}$

Cho $x,y,z$ là các số  thực  dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

$P=\cfrac{x}{\sqrt{3x^2+yz}}+\cfrac{y}{\sqrt{3y^2+zx}}+\cfrac{z}{\sqrt{3z^2+xy}}$.

Cho ba số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0$

Tìm Max $A=\frac{\sqrt{(a+b)(a+b+c)+3c^2))}}{c}-\frac{c}{a+b}$

Tìm m để $\left ( x^2+2 \right )^2+m\leq x\sqrt{x^2+4}+7$ đúng với mọi $x\in \left \lfloor 0;2 \right \rfloor$

Cho ba số thực thỏa mãn : $x+y+z=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : $P=x+y+z$

Cho ba số  thực thỏa mãn $2x+3y+z=40$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$

Cho các số dương phân biệt thoả mãn $a^2+2b=12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P=\dfrac{4}{a^4}+\dfrac{4}{b^4}+\dfrac{5}{8(a-b)^2}$

Cho hai số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\begin{vmatrix} x-2 \end{vmatrix}$

Cho ba số dương thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\cfrac{a}{b^2+c^2}+\cfrac{b}{c^2+a^2}+\cfrac{c}{a^2+b^2}$

Cho ba số dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\cfrac{a}{b^2+c^2}+\cfrac{b}{c^2+a^2}+\cfrac{c}{a^2+b^2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : $P=\cfrac{a^3}{\sqrt{b^2+1}}+\cfrac{b^3}{\sqrt{c^2+1}}+\cfrac{c^3}{\sqrt{a^2+1}}$

Cho các số thực thỏa mãn $2(x^2+y^2)=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : $P=\cfrac{x^4+y^4}{2xy+1}$

cho $2(x^2+y^2)=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\cfrac{x^4+y^4}{2xy+1}$

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Cho ba số thực dương thỏa mãn $3bc+4ca+5ab\leqslant 6abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta có:

$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$

$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$

Ta có BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$

Suy ra  $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$

Chứng minh tương tự ta có :

$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$

Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$

Cho 3 số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\cfrac{1}{a+b+4}+\cfrac{1}{b+c+4}+\cfrac{1}{c+a+4}$

Cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất $P=\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{2}}-\dfrac{a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)}{a+b+c}$

Có bao nhiêu tập hợp từ hai phần tử trở lên, biết rằng mỗi tập như thế chứa các số nguyên dương liên tiếp có tổng bằng 100?