Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 & & \\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m & & \end{matrix}\right.$

Các bạn giải theo cách lớp 9 nhé

(1) $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1-3m \end{matrix}\right.$ (pt dưới nhận thấy $x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{3}$ và $y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^{3}$)

Đặt $\left\{\begin{matrix} S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0 \\ P=\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix}\right.$ với $S^{2}\geq 4P$, hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{matrix} S=1 \\ S^{3}-3PS=1-3m \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=1 \\ P=m \end{matrix}\right.$

Đến đây, theo điều kiện $S^{2}\geq 4P$ khi đặt $S$ và $P$, hệ phương trình có nghiệm khi $m\leq \frac{1}{4}$

Tiếp tục giải: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ \sqrt{xy}=m \end{matrix}\right.$ với $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-X+m=0$ (theo định lý Viét đảo).

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (giải bằng công thức nghiệm, tham số m).

Đến đây thì ta lại có phương trình có nghiệm khi $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0;\forall m\in R \\ \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Cái trên là luôn đúng nên ta chỉ cần giải cái dưới ra được $m$, kết hợp với $m$ ở điều kiện $S^{2}\geq4P$ là sẽ ra điều kiện có nghiệm của hệ.

cám ơn bạn nhiều lắm

các số thực x,y,z thõa mãn$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} & \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} & \end{matrix}\right.$

Chứng minh x=y=z

Phương trình nghiệm nguyên

Từ phương trình ta có:

$\left\{\begin{matrix} x\neq 2013 & & \\ y=\frac{-x^2+2012x+2014}{x-2013} & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow y=\frac{-x^2+2013x-x+2013+1}{x-2013}=-x-1+\frac{1}{x-2013}$

Đến đây chỉ cần xét $x-2013$ là ước của 1 là xong !!!

Vỗ tay anh em (bộp,bộp,...)

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 2ab+6bc+2ac=7abc.

Tìm GTNN của $A=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Có bao nhiêu điểm nằm trên cạnh hoặc trong tam giác tạo bởi 3 đường thẳng $x=6;y=0$ và $y=\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$ có hoành độ và tung độ là các số nguyên

Cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

theo mình nghĩ phải là $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$ mới đúng

Cho $a,b,c>0$ thõa mãn $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{a^6}{a^3+b^3}+\frac{b^6}{b^3+c^3}+\frac{c^6}{c^3+a^3}$

Ta có:

$P\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{(\sqrt{ab})^3+(\sqrt{bc})^3+(\sqrt{ca})^3}{2}=\frac{1}{2}$

Giải thích thêm dùm mình tại sao lại có $\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{(\sqrt{ab})^3+(\sqrt{bc})^3+(\sqrt{ca})^3}{2}$

Tìm cặp số $(x;y)$ để $P=5(2x^2-2xy+y^2)+2(y-3x+2)$ đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm số dư của phép chia $5^{2008}$ cho $2003$

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $3x^2-4x+2(m-1)=0$ có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $2$ 

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p^2-1;2p^2+3;3p^2+4$ đều là số nguyên tố

Câu 3:

a/ Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

 

cho mình hỏi tại sao xét chia cho 7 vậy

Tìm cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

Chứng minh rằng nếu ba số $a,a+k$ và $a+2k$ đồng thời là ba số nguyên tố phân biệt lớn hơn $3$ thì $k\vdots 6$

từ bài toán => k là số chẵn => k$\vdots$2

mặt khác do a> 3 nên a có dạng 3x+1 hoặc 3x+2

k có dạng 3p+1;3p+2 hoặc 3p (x,k$\epsilon$ N*)

th1:k=3p+1

nếu a=3x+1 thì a+2k $\vdots$ 3

nếu a=3x+2 thì a+k $\vdots$ 3

=> k=3p+1 không tm ycbt

tương tự ta dc k=3p

hay k $\vdots$ 3

=>dpcm

tại sao có k là số chẵn vậy bạn và tại sao k có dạng 3p+1;3p+2 hoặc 3p 

từ bài toán => k là số chẵn => k$\vdots$2

mặt khác do a> 3 nên a có dạng 3x+1 hoặc 3x+2

k có dạng 3p+1;3p+2 hoặc 3p (x,k$\epsilon$ N*)

th1:k=3p+1

nếu a=3x+1 thì a+2k $\vdots$ 3

nếu a=3x+2 thì a+k $\vdots$ 3

=> k=3p+1 không tm ycbt

tương tự ta dc k=3p

hay k $\vdots$ 3$k\vdots 3=>k\vdots 6$

=>dpcm

tại sao $k\vdots 3=>k\vdots 6$

Tìm giá trị của đa thức $Q(x)$ khi $x=2$, biết giá trị của đa thức $P(x)$ với $x=2$ là $P(2)=4$ và số dư trong phép chia $(2x-5).P(x)+(4x-1).Q(x)$ cho $x-2$ là $17$

Cho đa thức $P(n)=a^n+bn+c$ trong đó $a,b,c$ là những số nguyên.CMR với $n$ nguyên dương bất kỳ sao cho $P(n)\vdots m$ thì $b^2\vdots m$

Ta có:

$a_{n}=1+\frac{2.6.10...(4n-2)}{(n+5)(n+6)...(2n)}=1+\frac{2^n.1.3.5...(2n-1)(n+4)!}{(2n)!}$

cho mình hỏi tại sao có $n+4$

Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số tự nhiên có 2 chữ số.Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cạnh huyền ta được số đo của một cạnh góc vuông...Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó

Chứng minh rằng $2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ với $n\in \mathbb{Z},n\geq 1$

Ta có: $2^{2}+4^{2}+...+2n^{2}=4(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})$

Xét hằng đẳng thức $\left ( x+1 \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

Ta có: $2^{3}=1^{3}+3.1^{2}+3.1+1$

$3^{3}=2^{3}+3.2^{2}+3.2+1$

...

$\left ( n+1 \right )^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1$

Cộng từng vế n hằng đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được

$\left ( n+1 \right )^{3}=1^{3}+3(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+3(1+2+...+n)+n$

Do đó $3\left ( 1^{2} +2^{2}+...+n^{2}\right )$

=$\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$

Từ đó các bạn giải tiếp là ra điều phải chứng minh

Mình chưa hiểu chỗ này $3\left ( 1^{2} +2^{2}+...+n^{2}\right )=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$