Cảm ơn pác nemo nhiều. Nhưng hình như pác chưa hiểu ý em cho lắm. Em đã nói là nếu "dỡ bỏ cái cầu Noether" mà. Liệu có một chứng minh thuần túy mà không phải viện đến tính chất Noether của vành hay môđun không nhỉ?
M là f.g module trên PID A, ta có M đẳng cấu với một module thương của một free module với cơ sở hữu hạn, ta viết M~$A^n/Q$. Một module con của M sẽ có dạng B/Q với B là module con của $A^n$. Chỉ cần CM B f.g là đủ, đến đây có nhiều cách và một trong đó là dùng kq rất đẹp về module con của free module trên PID cũng là free module, và như thế ta còn đánh giá được số lượng phần tử sinh của một module con so với số lượng phần tử sinh của M.