Cho đg tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đg tròn (O). Đg thẳng MO cắt (O) tại E và F ( ME$<$MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B. A và C nằm khác phía với đg thẳng MO ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đg thẳng MO. CM AHOB nội tiếp 

$OH.OA=MC^2=MA.MB$

...

 

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

 

1. $y=-1+\frac{2x^2}{x^2+1} \geq -1$. Tìm được $min_y=-1 \leftrightarrow x=0$

2.(2) $\leftrightarrow yx^2+x(y-1)+y=0$

Nếu: $y=0$ thì $x=0$

Nếu: $y \neq 0$ thì xét:

$\Delta =(y-1)^2-4y^2=-3y^2-2y+1 \geq 0$

$\Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3}$

...
3.$y=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{(x+\frac{1}{x})+1}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

...

Spoiler

Trở lại thời lớp 9 tí   

$\boxed{ Bài 39}$

    Cho tam giác $ABC$ với $AD,AM$ lần lượt là đường phân giác ,đường trung tuyến .Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt cạnh $AB,AC$ tại $U,V$ .Gọi $T$ là trung điểm $UV$ .Chứng minh rằng $MT$ song song với $AD$

Chơi ké nữa.

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì $MT\equiv AD$

+ Xét trường hợp tam giác ABC không cân tại A.

Ta có: $\dfrac{BU}{BM}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CV}{CM} \rightarrow BU=CV$

Lấy $U', B'$ đối xứng $U,B$ qua $AD; UU' \cap AD=E; BB' \cap AD=F$ 

Từ đó dễ chứng minh được tứ giác $ETMD$ là hình bình hành $\Rightarrow MT||AD$

Nghiệm lẻ. Nghi vấn sai đề.

Em cũng thích khoe bạn gái.    (Mặc dù đang giận nhau nhưng mình có quyền vì em là người chụp) 

Giải phương trình:

250. $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

251. $\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1$

Bài 2: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+\sqrt[6]{1-x}=1$

           b) $\sqrt[3]{x^{2}-2}=\sqrt{2-x^{3}}$

           d) $19+10x^{4}-14x^{2}=\left ( 5x^{2}-38 \right )\sqrt{x^{2}-2}$

a. ĐK: $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \le x \le 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)(1+x)}+\sqrt[4]{x^2+x-1}-1+\sqrt[6]{1-x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x})+\frac{x^2+x-2}{(\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}[\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}(x+2)}{\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}]=0\rightarrow x=1$

b.$PT\Leftrightarrow (x^2-2)^2=(2-x^3)^4\Leftrightarrow (x^2-2-(2-x^3)^2)(x^2-2+(2-x^3)^2) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^6-4x^3-x^2+6=0 & \\ x^6-4x^3+x^2-2=0 & \end{bmatrix}$

..

Còn câu b bài 1 + câu 2d thầy chữa luôn đi ạ.

 b) $\sqrt{1-x^{2}}=\left ( \frac{2}{3}-\sqrt{x} \right )^{2}$

Các bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi HSG tỉnh

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

        

ĐK: ..

$PT\Leftrightarrow (1+x^2)\sqrt{1-x}-(2x+x^2)\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}-\sqrt{x}+x^2(\sqrt{1-x}-\sqrt{x})-\sqrt{x}(2x-1)$

$\Leftrightarrow (1-2x)[\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+x^2]=0\rightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$

Bài toán 16: Giải phương trình:

$$(2x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{3x+2})=4(x+1)$$

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

 

$\begin{cases} 2x(1+\dfrac{1}{x^2-y^2})=5 \\  2(x^2+y^2)(1+\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2})=\dfrac{17}{2} \end{cases}$

Hệ tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}(x+y)+(x-y)+\dfrac{x+y+x-y}{(x+y)(x-y)}=5 & \\ (x+y)^2+(x-y)^2+\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2}=\dfrac{17}{2} & \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a, x-y=b$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5 & \\ \\a^2+\dfrac{1}{a^2}+b^2+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{17}{2}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5  & \\   \\(a+\dfrac{1}{a})^2+(b+\dfrac{1}{b})^2=\dfrac{25}{2} & \end{matrix}\right.$

cái này có công thức định kì

Là công thức gì vậy bạn? Bạn viết ra được không?

Mà giải hộ mình mấy bài ý luôn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$ (chưa làm tròn)

 b, Theo công thức trên ta tính được sồ tiền là 462328035,5

         còn công thức tổn quát mình làm thế này

  Gọi A là tiền vốn + lãi khi rút
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r=$a(1+r)^{2}$

  .......................

 Tháng n (n=n):A = $a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{r-1}.r=a(1+r)^{r}$

 Vậy đó
 

    

Cái này phải là mũ 20 vì 10 năm, 6 tháng là 20 kì hạn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$

 b, Mình ngu nên chưa hiểu cho lắm

         Đây là kì hạn 3 thánh rút lần hay là như câu a hở bạn

 Công thức chắc vẫn như trên nên có bạn cứ nhân theo cách bạn là OK

mình nghĩ bài này không áp dụng công thức trên được đâu. a là số tiền gốc. do người này không rút theo định kỳ nên theo từng đợt 6 tháng thì số tiền gốc sẽ tăng lên. nếu tính từng số tiền gốc thì phải tính 20 lần mình nghĩ phải có cách nào đó ngắn gọn.

5 hay 3 vậy bạn

  $\frac{1}{2001} hay \frac{2001}{1}$ vậy bạn

Mình chả tìm ra công thức tổng quát ở đâu hết .Hic

đề chính xác là thế đấy bạn ạ.  Câu này thì mình làm được rồi:

Tử $A=1+\frac{1}{2011}+..+\frac{1}{1005}+\frac{1}{1007}=2012(\frac{1}{1.2011}+..+\frac{1}{1005.1007})$

Mẫu $B=\frac{2012-1}{1}+..+\frac{2012-2011}{2011}=2012+2012.(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2011})-2011=2012(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2012})$

1.Cho đa thức $P(x)=(1+2x+3x^2)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_{30}x^{30}$.

a.tính tổng các hệ số bậc lẻ của x.

b. Tính chính xác giá trị của biểu thức: $A=a_0-2a_1+4a_2-8a_3+..-536870912a_29+1073741824a_30$

2. Tính $\frac{A}{B}$

$A=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+..+\frac{1}{2009}+\frac{1}{2011}}{\frac{1}{1.2011}+\frac{1}{3.2009}+\frac{1}{5.2007}+..+\frac{1}{2009.3}+\frac{1}{2011.1}}$

$B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{2012}}{\frac{2011}{1}+\frac{2010}{2}+..+\frac{1}{2001}}$

3. Cho $f(x)=\frac{x^2+4x-2}{x^2+3}$. Tìm min max (cái này có bấm bằng máy đc không nhỉ?)

4. Một người gởi tiết kiệm 100tr đồng vào 1 ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng vs lãi suất 0,65%/tháng

a. Hỏi sau 10 năm ng đó nhận dc bao nhiêu tiền (lãi+vốn). biết rằng ng đó ko rút lãi ở tất cả các định kỳ trc đó.

b. Nếu vs số tiền trên, ng đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng vs lãi suất 0,63%/tháng thì sau 10 năm dc bao nhiêu tiền.

Đã fix.

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

     

$P=\frac{1}{(b+c)^2-a^2-2bc}+\frac{1}{(a+c)^2-b^2-2ac}+\frac{1}{(a+b)^2-c^2-2ab}=\frac{-1}{2b}(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=0$

mình vội nên chép nhầm đề rồi phải là $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$ (I)

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(x^2+y^2)=85 (1) & \\ (x+y)^2(x-y)=45 & \end{matrix}\right.(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow (x-y)2xy=-40(3)$

$(1)-(3)\Rightarrow (x-y)^3=125$

Do đó:

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)^3=125 & \\ (x+y)^2=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=5 & \\ x+y=\pm 3 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này

Đề số 2

 

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

 

 

Hệ td:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=7 & \\ [(x+y)^2-2xy]-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ (7-xy)^2-x^2y^2=21 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2=7+xy & \\ xy=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\pm 3 & \\ xy=2 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này.

 

b, Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR : 

P = $\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c} \geq 26$

 

Here

 

 

 

       c, Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85& \end{matrix}\right.$ (I)

 

Dễ thấy $x-y;x+y \neq 0$

Ta có: 

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{45}{x+y} & \\ x^2+y^2=\frac{85}{x-y} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{45}{x+y}=\frac{85}{x-y}\Rightarrow -40x=89y$

Rút x từ y thế vào (I) tìm được nghiệm.

_______________ 

Hướng làm là như thế. 

 

CMR: $0<\alpha <45^0\rightarrow cos2\alpha =cos^2\alpha -sin^2\alpha$

 

 

Vẽ như hình vẽ.Ta có:$\left\{\begin{matrix}BK=a.cos\alpha &  & \\ KC=a.sin \alpha (1)&  & \\ BC=a &  & \end{matrix}\right.$

$AB=AC=\frac{a}{2sin\alpha };BK=AB.sin2\alpha =\frac{asin2\alpha}{ 2 sin\alpha };AK=AB.cos2\alpha =\frac{acos2\alpha}{ 2 sin\alpha}$

$KC=AC- AK=\frac{a}{2 sin\alpha }-\frac{a cos 2\alpha }{2 sin \alpha }(2)$

Từ (1), (2) $\Rightarrow a. cos\alpha =\frac{a -a.cos2\alpha  }{2sin\alpha }\Rightarrow 2a.sin^2a=a-acos2a\Rightarrow cos2a=1-2sin^2\alpha \Rightarrow dpcm.$

______________________________

Cái câu tính tan 15. Không biết phải giải ra hay được dùng máy tính?

Nếu dùng máy thì: $tan 15^o=2-\sqrt{3}$

ĐỀ THI CHỌN ĐT TP ( Lần 1).

Ảnh hơi mờ. 

Câu 1.

a. Tìm $n \in N$ để: $n^4+3n^3+4n^2+3n+3$ là số nguyên tố.

b.Cho $a,b,c \in Q$ và a,b,c đôi một khác nhau.

CMR: $\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$  là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Câu 2.

a. GPT: $x^2.\left [ 1+\frac{1}{(x+1)^2} \right ]=8$

b. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Câu 3.

Cho hình vuông ABCD. Qua D kẻ đường thẳng d cắt tia đối của tia AB tại M, cắt tia đối của tia CB tại N. MC cắt AD tại E; cắt NA tại K. NA cắt CD tại F. BK cắt CD tại H.

a. CM: EF //MN..

b.CM: K là trực tâm của tam giác BEF

c. Tính số đo góc DHN khi MA>NC.

Câu 4.

Cho $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a,b,c \in R$). Biết P(0);P(1);P(2) là các số nguyên.

CMR: mọi $x \in Z$ thì $P(x) \in Z$.

Câu 5.

a. Cho $x+y+z=0$; $-1 \leq x;y;z \leq 1$. Tìm max: $P=x^2+y^2+z^2$

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

 

Đề thi khảo sát đội tuyển trường THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình

Thời gian: 150 phút

1/ Cho a,b,c,d nguyên thỏa: $4(c^5+d^5)=a^5+b^5$.

CMR: a+b+c+d chia hết cho 5.

2/ Cho a,b,c>0. CMR: $\sum \frac{a^3}{b}\geq \sum a^2$

 

4/ Cho tg ABC, O nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tg ABC tại M,N,P.

a/ CMR: $\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\geq 9$

 

 

1.

Từ GT suy ra $\Rightarrow a^5+b^5+c^5+d^5\vdots 5$

Xét hiệu $(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d)$ 

..
2. Áp dụng Bunhi.

3. Từ O kẻ AH và OH' vuông góc BC. Dùng tỉ số diện tích.

Áp dụng BĐT:  $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

..

Đẳng thức xảy ra khi O là giao của các đường trung tuyến.

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Chuyển vế. Quy đồng khử mẫu.( $x \neq -2$). 

Xong phân tích thành nhân tử. Tìm nghiệm.
p/s: Chắc thế nhỉ?