Áp dụng BĐT cauchy schwars ta có
$\sum \frac{a}{b+2c+3d}=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac+2ad}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}$
Do đó ta cần chứng minh : $3(a+b+c+d)^{2}\geq 8(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
<=> $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
Áp dụng bđt cauchy suy ra được đpcm