Câu 2

Nếu x là số lẻ => $(4-1)^{x}$ chia 4 dư 3, mà 171 chia 4 dư 3 => $y^{2}$ chia 4 dư 2 ( vô lí vì scp chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

=> x là số lẻ 

Đặt x = 2k (k>0 , k thuộc N)

$3^{2k}+171=y^{2}$

$(y-3^{k})(y+3^{k})= 171$

Có $y+3^{k}>y-3^{k}>0$

171=3.3.19=> xét trường hợp 

nhầm là 1b mới đúng

Câu 2

Nếu x là số lẻ => $(4-1)^{x}$ chia 4 dư 3, mà 171 chia 4 dư 3 => $y^{2}$ chia 4 dư 2 ( vô lí vì scp chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

=> x là số lẻ 

Đặt x = 2k (k>0 , k thuộc N)

$3^{2k}+171=y^{2}$

$(y-3^{k})(y+3^{k})= 171$

Có $y+3^{k}>y-3^{k}>0$

171=3.3.19=> xét trường hợp 

toàn bài làm rồi 

Cách 1: Đặt $\sqrt{x^2+1}=t$

Khi đó ta có phương trình

$t^2-(x+3)t+3x$=0

Ta có $\Delta =(x^2+6x+9)-12x=(x-3)^2$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} t=x & & \\ t=3 & & \end{bmatrix}$

Với $t=x \Rightarrow x^2+1=x(vn)$

Với $t=3\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}$

Cách 2

Đặt $x=tan t ,t\in(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

Khi đó ta có phương trình $tan^2 {t}+1+3tan{t} =(tant+3)\sqrt{tan^2t+1}\Leftrightarrow \frac{1}{cos^2t}+\frac{3sint}{cost}=(\frac{sint+3cost}{cost})\frac{1}{cost}\Leftrightarrow sint +3cost-3sintcost -1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} cost=\frac{1}{3} & & \\ cost=\frac{\pi}{2}(loại) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow x=tan(arccos\frac{1}{3})$

4 cách rồi 

4.C1 : bạn nhân 2 lên , chuyển vế rồi tách thành bình phương

C2 : phân tích thành PT tích $(\sqrt{x^{2}+1}-3)(\sqrt{x^{2}+1}-x)=0$

có$ (\sqrt{x^{2}+1}-x)$ >0 =>...

7. Do hơi vội nên mình nghĩ nên tách thành bình phương như sau 

Đầu tiên nhân 3 sau đó tách thành $(3\sqrt{x^{2}+7x+7}+1)^{2}=16$

=>....

nó chưa hiện cong thức 

 bạn có thể chữa cho mình câu 2 với câu 3.2 đc không 

xin chém câu 4c   ( hơi dài với lại mình làm hơi tắt mong thông cảm ),vẽ hình ra đối chiếu sẽ dễ hơn 

$OI\cap AB$ tại N , $DF\cap AC$ tại M

=> OM, ON là trung trực của AB, AC , Kẻ $IN'\perp BC , FM'\perp BC$ ( I là tâm đg tròn  ngoại tiếp $\Delta$ ABD, F là tâm đt nt tam giác ADC )

S(AIOD)=(OI.AN+OF.AM)/2 = (OI.AB+OF.AC)/4

Ta có IB=ID=IA => $\angle IAB=\angle IBA$

Lại có INBN' là tứ giác nt => $\angle NN'I=\angle NBI$

Mà NN' song song AD => $\angle NN'B=\angle ADB=\angle NIA$

=> $\angle AIO=\angle ADC, \angle NIA=\angle ACB(=\frac{1}{2}\angle AOB)$

=> $\Delta AOI$~$\Delta ACD$(g.g)

=> OI = CD.AO/AC

tương tự => OF= BD.OA/AB

=> S(AIOF)=$\frac{\frac{CD.AB}{AC}+\frac{BD.AC}{AB}}{4}$

MÀ $\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{BD}$

=>S(AIOF)= OA. BC/4 ( ko đổi)

Kẻ OH vg góc AI , OK vg góc AF

cm OH=OK = OA.sin( $\frac{\angle BAC}{2}$ ( ko đổi)

=> AI + AF = ....

$A= 111.1000^{777} +112.1000^{776}+...+1000.887+888$

ta có $1000\equiv 1 (mod 999) \Rightarrow 1000^{k}\equiv 1 (mod 999)$

$\Rightarrow A \equiv 111+112+113+..+888(mod 999)$

$\Rightarrow A\vdots 999$ ( tính tổng của dãy kia )

Lại có A chia hết cho 2

=> đpcm

Hiển nhiên A chia hết cho 2

Ta có A=111+112+113+...+888+111.999...9+112.999...99+...+887.999=111A+111.9B chia hết cho 111

Mà 2 và 111 nguyên tố cùng nhau =>đpcm

Chia hết cho 1998 mà   thế kia chỉ chia hết cho 222 thôi

sao cứ có cảm giác sai đề hay sao ấy   , thường thì mấy bài PT vô tỉ sẽ có nghiệm nguyên 

Không mất tính tổng quát, giả sử p⩽q, nếu p=q thì p=q=3
Nếu p=3,q>3 thì 13(5q−2q)≡0(modq), mà 5q−2q≡3(modq) nên q=13
Nếu q>p>3, do 5p−2p≡3(modp) nên 5q−2q≡0(modp)
Do p,q≠5 nên 5p−1−2p−1≡0(modp) và (q,p−1)=1 nên tồn tại m,n>0 sao cho |mq−(p−1)n|=1
Do đó 5n(p−1)2mq≡2n(p−1)5mq(modp) hay 5≡2(modp) hay p=3 vô lý.

 

tieubangngoc ak,nghiệm nguyên mà sao phải đặt nhỉ:

 

 

⇔(2y)^2=(2x^2+1)^2+3⇒(2y−2x^2−1)(2y+2x^2+1)=3=1x3=(-1)x(-3)

⇔TH1:+Nếu...;+Nếu...;

⇔TH2:..

Vậy...

   

 

thói quen   híc híc

$4x^{4}+4x^{2}+1=4y^{2}-3$

$(2x^{2}+1)^{2}= 4y^{2}-3$

Đặt 4y² -3= a²

^{Có ( 2y -a)(2y+a)=3 (a>0)}

^{Xét TH ...}

$\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +..+\frac{1}{1331}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{1331}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{665})$

->$\frac{m}{n}=\frac{1}{666}+\frac{1}{667}+...+\frac{1}{1331}$=$(\frac{1}{1331}+\frac{1}{666})+...+(\frac{1}{999}+\frac{1}{998})$=$1997*\frac{X}{Y}$ với $\frac{X}{Y}=\frac{1}{666*1331}+...+\frac{1}{999*998}$

=> $\frac{m}{n}=1997*\frac{X}{Y}$
=> mY=nX*1997 mà  (Y,1997)=1

=> m chia hết cho 1997 (dpcm)

có thể làm hộ mik luôn bài này đc ko 

CMR nếu  $a^{3}+b^{3}+c^{3}\vdots 9$  thì abc chia hết cho 9

 

Bài 2 đề sai không. Chắc phải là:

 

Tính $A=x^2+\sqrt{x^4+x+1}$   với  $x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\dfrac{1}{8}}-\dfrac{1}{8}\sqrt{2}$

 

$x=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{8\sqrt{2}+1}-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}$=$\dfrac{1}{4\sqrt{2}}\left (\sqrt{8\sqrt{2}+1}-1\right )$ 

 

Nhân liên hợp $\rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{8\sqrt{2}+1}+1} \rightarrow x>0$

 

$\rightarrow (A-x^2)^2=x^4+x+1, x>0$

 

Biến đổi ... $\rightarrow x=\dfrac{1}{4A}\left (\sqrt{1+8A}-1\right )$

 

So với    $\rightarrow A=\sqrt{

 

Bài 2:  Theo hướng làm khác:

 

Ta có: $x=\frac{1}{2}.\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

$\leftrightarrow (8x+\sqrt{2})^2=16(\sqrt{2}+\frac{1}{8})$

$\leftrightarrow 64x^2+16x\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2$

$\leftrightarrow 4x^2+\sqrt{2x}-2=0$

$\leftrightarrow x^2=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}$

$\leftrightarrow x^4=\frac{x^2-2x+1}{8}$

 

Thay vào $A=\frac{\sqrt{2}(1-x)}{4}+\sqrt{\frac{x^2-2x+1}{8}+x+1}=\frac{\sqrt{2}(1-a)}{4}+\sqrt{\frac{(x+3)^2}{8}}=\sqrt{2}$

cũng có thể sai , vì thầyy mik chép tay, mik cũng phân vân vì số 5 và số 8 nhìn y như nhau 

1.cho $\begin{cases} &ax+by=3 &ax^{2}+by^{2}=5 &ax^{3}+by^{3}=9 &ax^{4}+by^{4}=17 \end{cases}$

2.tính A= ax⁵  +by⁵  , B=ax²⁰¹¹ +by²⁰¹¹

Tính giá trị của A= $x^{2}+\sqrt{x^{4}+x+1}$ với x=$\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}$

Cuối cùng là 1 bài toán về chia hết 

3. Cho $\frac{m}{n}= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1329}-\frac{1}{1330}+\frac{1}{1331}$

CMR m chia hết cho 1997     

vì  $xy+4=2(x+y)$
<=> $(x-2)(y-2)=0$
=>  một trong hai xy phải = 2

hôm nay mik về nháp lại đúng như bạn nói x=2, y=1 nên mik định ko hỏi nữa 

vì x,y có vai trò như nhau ta có thể giả sử $x\geq y$
ta có $ (ax^{2}+by^{2})(x+y)= ax^{3}+by^{3}+xy(ax+by)$ => $5(x+y)=9+3xy$ (2) 
$(ax^{3}+by^{3})(x+y)=ax^{4}+by^{4}+xy(ax^{2}+by^{2})=>$9(x+y)=17+5xy$(1)

giải (1) và (2) ta được $(x+y)=3$ và $xy=2$=>$ x=2$ ,$y=1$

từ đây giải được a=1 , b=1 
=> $ax^{5}+bx^{5}=$ ..... 

mik muốn hỏi 1 chút là ta có xy + 4 = 2(x+y) => xy=2 và x+y=3 ( vì sao lại suy luôn đc như thế )

Bài 1 làm thế này nhé Nguyên

Gọi $\begin{Bmatrix} &ax+by=3(1) & \\ &ax^2+by^2=5(2) & \\ &ax^3+by^3=9(3) & \\ &ax^4+by^4=17(4) & \end{Bmatrix}$

Nhân $(2)$ với $x+y$ ta có $(x+y)(ax^2+by^2)=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+ax^2y+bxy^2=5(x+y)\Leftrightarrow ax^3+by^3+xy(ax+by=5(x+y)$

Từ 1 và 3 có $9+3xy=5(x+y)$

Nhân $(3)$ với $x+y$ ta có $ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=9(x+y)$

Từ 2 và 4 có $17+5xy=9(x+y)$

Nên $x,y$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{Bmatrix} &9+3xy=5(x+y) & \\ &17+5xy=9(x+y) & \end{matrix} \Leftrightarrow (x,y)=(2,1),(1,2)$

Với $x=1,y=2$ thì $\left\{\begin{matrix} &a+2b=3 & \\ &a+4b=5 & \\ &a+8b=9 & \\ &a+16b=17 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & ax^5+by^5=33 & \\ & ax^{2001}+by^{2001}=1+2^{2001} & \end{matrix}\right.$

Trường hợp với $x=2,y=1$ cũng cho $a=b=1$

Đừng dùng tên của tao , kể cả trên diễn đàn    ôi cái tên tao ghét nhất , sau gọi là ngọc nha   

sai nhé nếu $7^{3}+8^{3}+3^{3} \vdots 9 $ nhưng $7*8*3$ không chia hết cho 9
Nhưng có thể chứng minh abc chia hết cho 3 !!!! 
trước hết ta chứng minh một bổ đề  gọi a=3x+r ta có $a^{3}\equiv r^{3} (mod 9)$ 
ta có $a^{3}=(3x+r)^{3}=27x^{3}+27rx^{2}+9xr^{2}+r^{3}\equiv r^{3}(mod 9)$
=> bổ đề  chứng minh 
giả sử trong các số a,b,c không tồn tại các số chia hết cho 3 

đặt $a=3a_1+r_1$, $b=3b_1+m_2$ , $c=3c_1+p_1$ với $r_1,m_1,p_1 \in (1,2) $

áp dụng bổ đề ta có $ a^{3}+ b^{3}+c^{3} \equiv r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3}$ 
ta có $r_1^{3}+m_1^{3}+q_1^{3} $ chia cho 9 chỉ có thể dư 6,3,1,8
=>  vô lý => giả thiết phản chứng sai => dpcm 

mik chứng minh đc rồi, nó sai đó chắc tại thầy tự gia nên sai , lúc mik cm cũng ko đc 

1.cho $a^{3}-3ab^{2}=19 , b^{3}-3a^{2}b =18$

tính P=$a^{2}+b^{2}$ 

2. Cho P(x) = $\frac{x^{3}+3x^{2}+(x^{4}-4)\sqrt{x^{2}-1}-4}{x^{3}-3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}+4}$ với x $\geqslant 1$

a, rút gọn 

b, tìm x khi P(x) =1 

Còn nhiều lắm m.n cứ làm từ từ    ( đùa thôi chứ làm nhanh nhanh nha T_T)

$a^{2}-a+1= (a-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$

$b^{2}-b+1= (b-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$

$c^{2}-c+1= (c-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$

=> PT $\geq$ $\frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}= \frac{27}{64}$

p/s: mik chỉ khai thác đc đến đây , còn dữ kiện a+b+c=3 thì chịu 

1. Cho tam giac ABC vg góc ở A , góc B = 20°, vẽ phân giác BI, vẽ góc ACH=30° về phía trong tam giac. Tíng góc CHI
2.Cho tam giác ABC đều, trên cạnh AB lấy D sao cho BD=1/3 AB.Trên cạnhAC lấy E sao cho AE=1/3Ac.Gọi K là giao điểm của BE và CD.CMR góc AKD=90°