Lâu lắm rồi không "ngó" đến chủ đề này. Qua một khoảng thời gian tương đối lâu tôi thử tìm kiếm trên mạng về các bài viết, tài liệu hướng dẫn, luyện thi, vân vân... liên quan đến các đẳng thức hệ số tổ hợp thì chợt nhận ra rằng: Hầu hết các tài liệu đó đều mang tính khuôn mẫu, na ná như nhau và rất nhàm chán!
Chẳng hạn như: "Ứng dụng đạo hàm và tích phân để chứng minh và tính tổng các hệ số nhị thức"
Theo tôi thấy nó chỉ "tiện" chứ không nêu lên được bản chất nội tại của nó như quy tắc hút hay đảo chiều, v.v...
Hay như việc nhận biết và đưa vào một số thủ thuật nhỏ trong "dấu hiệu" của tổng (viết dưới dạng liệt kê) chỉ đơn thuần là các phép biến đổi cơ bản khi viết tổng dưới dạng $\sum$
Rất nhiều tài liệu, phương pháp trên mạng không thể giải quyết nổi dù là một bài tập trong ĐTTH ở đây bạn có tin không?
Không bàn đến "độ khó" mà là phương thức tiếp cận một bài toán cần phải "linh động" hơn, đôi khi chẳng cần phải đạo hàm, tích phân hay biến đổi gì đó mà chỉ cần tìm cách "đếm" là đủ!
ĐTTH đã tồn tại một thời gian khá lâu mà chưa có một cuốn sách nào một tài liệu (tiếng Việt) tương đương nào xứng "tầm" với nó, quả thực là một điều đáng buồn!
Đôi lời cảm nhận cá nhân, bạn thấy thế nào? (Gạch đá quăng hết vào đây )

Đến hôm nay em mới được đọc tài liệu này của mọi người (rất tiếc vì tài liêu này ra vào thời điểm mà em còn không quan tâm đến toán nhiều nữa). Phải công nhận là tài liệu này rất hay và có một sự đầu tư lớn. Tuy nhiên em có một số ý kiến cá nhân như thế này.

Tài liệu này thực sự thiên quá nhiều về kĩ thuật. Ở một khía cạnh nào đó, đây là một tài liệu xuất sắc trong việc đưa ra những kĩ thuật chứng minh đẳng thức. Theo ý kiến chủ quan của em thì có lẽ chỉ một số ít các bạn thi QG hay gần như thế là có thể đọc hết được.

Tài liệu trình bày rất tốt cách chứng minh các đẳng thức, tuy nhiên không nhiều trong đó nêu ra những đẳng thức đấy thể hiện điều gì và tại sao người ta đặt ra được một đẳng thức như vậy. Tài liệu này có thể giúp chúng ta thỏa mãn việc giải được toán chứ chưa hẳn là hiểu được toán.

Cái hay của toán học đó là nó trình bày thực tế bằng ngôn ngữ logic (vì thế nên nó khó hiểu). Chẳng hạn để thể hiện hàm số $f$ có đồ thị là một đường liền nét, vậy trong ngôn ngữ toán liền nét định nghĩa như thế nào? Tại mọi điểm $x_0$ thì hàm $f$ tồn tại lim trái và lim phải khi $x$ tiến đến $x_0$ và 2 giá trị này đều bằng $f(x_0)$, hay là chúng ta hỏi một đứa nhỏ hình tròn là hình gì? Dù rằng hẳn là nó sẽ biết hình tròn như thế nào và hình dung được nhưng khẩ năng cao là nó không thể đưa ra cái định nghĩa là tập hợp tất cả những điểm cách đều một điểm cố định một khoảng cách không đổi được . Có thể không nhất thiết chúng ta đưa ra cách hình dung cụ thể cho những công thức toán nhưng có thể chỉ cho người đọc thấy rằng một công thức hay một bài toán trông khó như vậy, nó được xây dựng lên từ những điều cơ sở nào, bằng những cách tương tự như thế chúng ta có thể tạo ra những bài toán khó khác như thế nào? Em nghĩ những điều như thế cần cho cộng đồng các bạn học toán hơn, nó sẽ giúp nhiều bạn yêu thích toán hơn.

Điều cuối cùng em chỉ muốn nói là em chém gió vậy thôi chứ bảo em viết một tài liệu như em nói thì em cũng không làm được đâu Gạch đá em xin nhận

Chúc mừng mọi người vì đã tạo ra một tài liệu tuyệt vời. Nếu như mọi người có một dự án hay ho gì đó sắp tới thì hi vọng em có thể đóng góp chút gì đó.

Một ý tưởng cho bài 6, tính toán chắc hơi trâu bò tí.

Đầu tiên gọi một đa thức $P$ là tốt nếu $V(P)=0$, ta có thể thấy là với $a$ là một hằng số thực và $P,Q$ là hai đa thức tốt thì $P+aQ$ cũng tốt.

Từ điều này ta có thể phát biểu thế này:

$PQ$ tốt với mọi $P$ là đa thức có bậc bé hơn $8$ khi và chỉ khi $Q,xQ,x^2Q,...,x^7Q$ đều là các đa thức tốt.

Bây giờ đặt $Q(x)= x^8+\sum_{i=0}^{7} a_ix^i$

Thay vào điều kiện $8$ đa thức tốt trên thì ta sẽ thu được một hệ $8$ phương trình với $8$ ẩn là các số $a_i$. Hệ này nếu có nghiệm thì phải có nghiệm duy nhất (vì nó tồn tại nên phải cm đc là nó có nghiệm). Thông thường để chặt chẽ chắc là dùng ma trận (thực ra chém thế chứ mình k biết dùng ma trận ntn :v), tuy nhiên trong phạm vi toán phổ thông thì chắc phải mò nghiệm, bằng cách phải thử những trường hợp đơn giản, ở đây ta thấy số 8 ko quá quan trọng nên có thể thay 8 bởi 1,2,3 gì đó để đoán xem hệ ntn, nghiệm sẽ ntn rồi tổng quát lên cho 8.  Có lẽ phải dựa vào kq của bước này mới chứng minh là $Q$ có $8$ nghiệm phân biệt.

Mình rất đồng ý với ý kiến của bạn và mình muốn nói thêm là : đó cũng là cách nghĩ chung của đa số học sinh và phụ huynh hiện nay họ thườngg muốn cho con mình vào những trường đại học ổn định để sau nay ra đỡ phải đi xin việc .Tại sao họ lại có những ý nghĩ như vậy chẳng phải là họ đã nhìn thấy nhiều người không thành công và họ tin là sẽ không thể nào đạt được những thành công vượt bậc,, vào đại học rồi kiếm việc làm tổng cộng là 9+3+3(>3) năm . Cuối cùng việc làm cũng chỉ là một phát minh của thế kỉ 20,21 .Tại sao chúng ta lại phải vào đại học? để dễ xin việc hơn ư.Chẳng phải làm tất cả những việc như học hành chăm chỉ , kiếm được công việc ôn định,...  thì mục đích chính của chúng ta  là hạnh phúc . Chẳng phải nhiều người thành công , giàu nhất trên thế giới thường bỏ học hay sao, câu hỏi đặt ra là : phải chăng vì ở trường người ta không dạy cho họ những phương pháp phù hợp để hạnh phúc , giàu có , thành công thực sự? . Nhiều trường đại học ở VN hiện nay chỉ dạy chúng ta những quấn giáo trình dày đặc mà không chịu học tập (mô phỏng ) các phương pháp tiên tiên trên thế giới.Vd: như pp học tiếng anh ở (90%) trên đất nước ta là chỉ học tiếng anh theo kiểu "văn phiên bản tiếng anh" , hầu hết khi chúng ta học xong 12 năm thì  chỉ có 1 số ít có thể nói tiếng anh(chưa thành thạo), số ít thì nói lấp bấp , số ít thì chỉ biết trả lời những câu hỏi trên giấy là vì có thời gian suy nghĩ còn khi nói thì hầu như không biết gì, các phương pháp tiên tiến hiện nay có thể kể đến là effortless english của thầy aj hoge , các khóa học tiếng anh của langmaster và nhiều nơi khác, cũng phải kể đến pp "thôi miên " , NLP ( ở Việt Nam hiện nay có thầy Mr.Vas và 1 số thầy khác đang dạy truyền bá cho ng VN về pp NLP này , tiêu biểu là các khóa hội thảo và để thực sự chiến thắng cuộc sống thì phải tốt nghiệp trường "đại học cuộc đời "),.... Các bạn hay nghiêm túc suy nghĩ về cuộc đời của mình , đừng để số phận hiện tại hay ai có thể ngăn cản bạn ,đừng nghe những người không làm được vì họ sẽ bảo bạn là bạn không làm được , hãy tiếp xúc với những người thành công thực sự để họ có thể khơi dậy nguồn hứng cho các bạn.

Câu hỏi thứ 4: Các bạn thành công để hạnh phúc hay hạnh phúc để thành công?

Có vài điều a muốn nói em ntn:
Thứ nhất: Những vấn đề em đặt ra là hợp lí, em có những ý tưởng tốt nhưng vì em còn nhỏ, em chưa thể lí giải những vấn đề này một cách khái quát được nhưng cách tư duy đó sẽ giúp em thành công, nên luôn tự biết đặt câu hỏi cho mình như vậy.

Thứ hai: Đừng nên cố gắng giải thích những thứ về cách nhìn nhận cho đám đông nhất là khi em chưa đủ giỏi nắm bắt tâm lí của mọi người, bởi vì thế giới này chung nhưng mỗi người nhìn ở góc độ khác nhau và cách họ tư duy cũng khác nữa. Dù là thành công hay hạnh phúc thì chẳng có công thức nào áp dụng được cho tất cả mọi người nên có thể nêu ra cho người khác tham khảo chứ đừng nên khuyên họ phải làm gì.

Thứ ba: Chúc em học giỏi và thành công.

Gửi đến tất cả những em sắp thi khác: Chúc em các em thi tốt, đạt kết quả cao. Dù thành công hay thất bại thì đó cũng chỉ là một trong rất nhiều những kì thi thời học sinh của các em mà thôi, đừng lấy làm quá quan trọng. Nếu thất bại cũng đừng quá buồn, 1+9 bằng 10 mà 2+8 cũng bằng 10, thậm chí 1+1 cũng thể bằng 10 ở hệ nhị phân nữa, có rất nhiều lời giải để đến một đáp án.

Bài 6 như thế này. Đầu tiên vẽ 1 hình tròn, vẽ tiếp $n+1$ đường kính, kẻ 1 đường kính với 2 mút là 0. Nửa trên đường kính này đánh dấu từ 1 đến $n$, nửa dưới đánh dấu từ -1 đến -n. Sao cho 2 mút của đường kính có tổng bằng 0. Xét với một điểm trên đường tròn thì ta gọi đầu mút còn lại của đường kính chứa điểm này là điểm đối của nó. Ta cần xác định $n+1$ số đầu tiên sao cho $a_i-a_{i+1}$ không đồng dư với $2n+1$ với $1 \le i \le n$.

Từ vị trí số 1 ta đặt $a_1$ nhảy sang vị trí bên cạnh của điểm đối số $1$ là -2 đặt là $a_2$, nhảy tiếp qua điểm bên cạnh của điểm đối của $a_2$ là $a_3$. Khi đó thì $|a_i - a_{i+1}| = 2i+1$ tức là chúng phân biệt theo mod $2n+1$ và theo cách nhảy này thì ta ko đi qua 2 điểm nào cùng đường kính, mỗi bước ta đi qua một đường kính lần lượt từ $1$ đến $n$. Tuy nhiên chú ý là $a_{n+1}$ là -1 (tức là 2n), thì khi đến đường kính thứ $n$ ta sẽ có $|a_n-a_{n+1}|$ sẽ là $|n-(-1)|$ hoặc $|-n+1|$ bằng $n+1$ hoặc $n-1$ tức là phải chừa bước $i$ nào mà $|a_i-a_{i+1}|$  bằng $n-1$ hoặc là $n+1$ ra (trường hợp 2 số này chẵn thì 2 giá trị tương ứng là $n$ và $n+2$). Giờ ta tránh né điều này bằng cách đi đến điểm có giá trị như vậy ta sẽ ko làm theo quy tắc cũ mà đi sang số bên cạnh trên đường tròn để khi đó $|a_i-a_{i+1}|=1$ sau đó lại tiếp tục quy tắc cũ.

Vấn đề là làm sao xác định $i$ để đi bước tránh này. Chú ý là nếu mãi làm theo quy tắc thì $a_i$ chỉ đi qua các đỉnh số dương lẻ. Nhưng vì có bước tránh nên suy ra sau bước đó thì $a_i$ chỉ có thể là các sống dương chẵn. Do đó nếu $n$ lẻ thì $a_n$ là $-n$ nên $|a_n-a_{n+1}|=n-1$, cần tránh giá trị $n+2$ ra nên thay vì đi đến điểm $\frac{n+1}{2}$ theo quy tắc cũ thì đi sang điểm bên cạnh. Tương tự nếu $n$ lẻ thì tương ứng với điểm $\frac{n-1}{2}$. Theo quy tắc này thì $|a_i-a_{i+1}|$ sẽ lấp đầy các số lẻ từ 1 đến $2n-1$ (có thể $|a_n-a_{n+1}|$ chẵn nhưng $2n+1$ trừ số này không nằm trong các số lẻ còn lại).

Thực ra bài 1 không khó nhưng có lẽ cách phát biểu nó làm các bạn hơi hoang mang. Dĩ nhiên là phải phản chứng, giả sử là 2 con kiến bất kì đều gặp nhau. Vận tốc của 2 con kiến bất kì khác nhau nên dĩ nhiên nếu 2 con cùng xuất phát ở 1 lỗ và ở cùng thời điểm thì chả bao giờ gặp nhau cả ( đi cùng chiều thì ko gặp rồi mà ngược chiều thì càng chẳng bao giờ gặp). 2017 con kiến mà 44 lỗ thì có 45 con cùng chuồng. Và dĩ nhiên để đáp ứng điều kiện phản chứng thì 45 con này xuất phát thời điểm khác nhau, cộng thêm cái thời điểm của cái con xuất phát trễ nhất nó chui vào lỗ nữa thì phải có ít nhất 46 thời điểm. Mâu thuẫn!

Các bài còn lại mình chỉ có chút ý tưởng, bài 2 thì định lí Lucas, bài 5 thì mình chỉ thấy một tính chất là $a_(n+k)/a_n$ bị chặn trên và dưới với $k$ cố định (hình như thế ) nhưng ko biết dùng được không (). Còn bài 6 thì khả năng là cái dãy này nó sắp xếp theo quy luật để đạt được điều kiện, chỉ cần thử với vài số mò ra quy luật, chỉ ra là coi như chứng minh được rồi.

Bài 2:

Câu b đã là gợi ý cho câu a. Một bảng gồm $2^k$ xâu nhị phân độ dài là $k$ và phần còn lại chừa trống thỏa mãn điều kiện là bảng tối giản.

câu b ta sẽ chứng minh nếu $m>2^k$ thì ta sẽ xóa được một dòng sao cho bảng vẫn còn là tối giản. Điều này có nghĩa là chứng minh rằng tất cả chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng bị xóa sẽ thu được bằng cách thêm vào $0,1$ ở các dòng khác. Ta chỉ quan tâm tới cách sinh ra các chuỗi nhị phân với $k$ cột chứ $0,1$. Bây giờ xét tập A gồm $2^k$ chuỗi nhị phân có độ dài $k$. Mỗi một bước ta chọn một dòng của bảng (chỉ $k$ cột chứa 0,1), và xóa đi tất cả những chuỗi nhị phân trong A có thể sinh ra được bằng cách thêm $0,1$ vào các ô còn trống của dòng này. Với một dòng mà ta không xóa được trong A bất kì một chuỗi nào thì có nghĩa tất cả các chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng đó có thể được sinh ra bởi các dòng khác, tức là xóa đi dòng đó bảng vẫn tối giản. A chỉ có $2^k$ phần tử mà ta có $m>2^k$ dòng thì dĩ nhiên sẽ chọn được một dòng chẳng xóa đi phần tử nào trong tập A được.

Bài 3:

Ta có một nhận xét là $(k,n)=1$ thì $(n-k,n)=1$, tức là ta có thể chia tập $A_n$ thành 2 tập $B_n$ và $C_n$, sao cho tập $B_n$ chứa tất cả các phần tử của $A_n$ mà bé hơn $\frac{n}{2}$, $C_n$ chứa các phần tử còn lại. Khi đó ta có $ k \in B_n \Rightarrow n-k \in C_n$.

Đặt $c_n$ là phần tử nhỏ nhất của $C_n$ thì $c_n> \frac{n}{2}>1$, chú ý là $B_n$ luôn chứa $1$ và $C_n$ luôn chứa $n-1$. Mình quên latex nhiêu rồi nên lười viết ra nhưng có thể dễ dàng suy ra là $P_n(x)=(1+x^{c_n-1}).Q_n(x)$. Vậy luôn tồn tại $r_n \ge 1$ thỏa mãn.

ý b thì để $P_n(x)$ bất khả quy thì $Q_n(x)=1$, điều này có nghĩa là $A_n$ có đúng 2 phần tử suy ra $P_n(x)=1+x^{n-2}$ và để nó bất khả quy trên Z thì phải tồn tại $m$ để $n-2 = 2^m$, đến đây thì ta cần tìm $n$ dạng $2^m+2$ mà $(n,k)>1$ với mọi $1<k<n-1$, nếu $m>2$ thì suy ra $(3,n)>1$ suy ra $3 | 2(2^{m-1}+1)$ suy ra $m$ chẵn. Mà $(5,n)>1$ nên cũng suy ra $5 | 2(2^{m-1}+1)$  suy ra $m$ lẻ. Mâu thuẫn!

Vậy $m \le 2$, tìm được $3$,$4$ và $6$ thỏa đề bài.

Bảng này không phải bảng đầy đủ nhé bạn, lấy dãy nhị phân giống 2016 cột đầu của hai hàng này và đằng sau cho hai số 1,1 là thấy rõ.

À xin lỗi mình không chú ý đến điều kiện là đầy đủ. Nếu như vậy thì chỉ cần thêm một chút lập luận là xét một chuỗi $A$ bất kì sinh ra từ cái dòng ta muốn xóa. Nếu dòng này có một số $a$ nào đó là $0$ hoặc $1$ nằm ngoài $k$ cột đã nêu thì xét một chuỗi giống y chuỗi $A$ chỉ là thay cái cột chứa $a$ bằng $1-a$ (tức là đảo $0$ với $1$ và $1$ với $0$ thôi) thì bảng đầy đủ nên tồn tại một hàng sinh ra được chuỗi mới này và dĩ nhiên ở cái cột đó thì hàng đó không chứa gì cả, vì cột này chứa $a$ thì không chứa $1-a$. Do đó hàng này sẽ sinh ra được chuỗi $A$.

Thực ra lúc mình thi thì mình nhớ rằng ý b) không có điều kiện "tất cả các cột còn lại đều trống". Thực ra điều kiện chỉ cần có đúng $k$ cột có chứa hai số $0,1$ là đủ rồi. Lời giải của bạn vẫn đúng về ý tưởng nhưng có một xíu cải tiến như sau. Vẫn xét hàng mà chúng ta có thể xóa được trong lập luận của bạn, nếu nó không có phần tử nào ở các cột còn lại thì có thể xóa nó đi. Nhưng nếu nó có, và giả sử là số $0$ chẳng hạn ở một cột nào đó ngoài $k$ cột này thì ta vẫn có thể chứng minh mọi dãy nhị phân sinh ra từ hàng này thì có thể sinh ra từ một hàng khác bởi nếu không ta có thể lập luận và tạo thêm một cột nữa có chứa cả hai số $0,1$ và ta có điều vô lý.

Giả sử chọn $k = 2016$, và có $2^{2016}+1$ dòng, trong số các dòng này chứa tất cả các chuỗi nhị phân độ dài $k$ và có đúng 2 chuỗi giống nhau, xét hai chuỗi giống nhau ở cột thứ $2017$, một chuỗi chứa 0 một chuỗi để trống, ở cột thứ $2018$ thì chuỗi để trống ở cột $2017$ chứa 0 còn chuỗi còn lại thì để trống. Khi đó thì không thể xóa đi dòng nào được đâu bạn ạ.

Bài 5 ý b mình không tìm được một cách lập luận nào chặt chẽ và hợp lí cả cho trường hợp mà một số chẵn và một số lẻ và số lẻ lớn hơn số chẵn. Bạn có ý tưởng gì không?

Bài 4:

câu a.

Nếu cả $m$ và $n$ đều chia hết cho $3$ thì hiển nhiên là ta có nhiều nhất $mn$ số 1.

Giả sử có $m$ hàng và $n$ cột.

Ta có một vài nhận xét sau:

1) Nếu một trong 2 số chia hết cho 3 giả sử là $m$ thì bảng cần ít nhất là $n$ số khác 1 để thỏa mãn

Trường hợp này có thể dễ dàng đưa ra cấu hình thỏa mãn gồm 1 bảng toàn số 1 và 1 cột $m$ số khác 1 (số này là 0 hoặc 2 phụ thuộc vào số dư $n$ chia cho $3$)

2) Nếu 2 số cùng chia cho 3 có chung số dư khác 0. Giả sử $n \ge m$ thì rõ ràng với mỗi cột gồm $m$ ô mà $m$ không chia hết cho $3$ nên phải có ít nhất 1 ô khác 1. Vậy có ít nhất $n$ ô khác 1.

Đưa ra cấu hình thỏa mãn bằng cách chia hình chữ nhật này thành một hình $m$x$m$ và $(n-m)$x$m$. Ta điền cả bảng bằng số 1 ngoại trừ hàng cuối cùng và đường chéo của hình $m$x$m$. Như vậy sẽ có $n$ ô trống, dựa vào số dư của $m,n$ cho $3$ có thể điền vào các ô này thỏa mãn đề bài.

Vậy có trường hợp này có nhiều nhất $(m-1)n$ với $n \ge m$

Thực ra thì khi xây dựng cấu hình thỏa mãn bài toán, một cách tự nhiên ta sẽ nghĩ đến là điền tất cả các số đều là 1 trừ hàng cuối cùng và cột cuối cùng, sau đó tìm số thích hợp điền vào các ô này cho thỏa mãn. Ở trường hợp 1 thì dễ dàng tìm được kết quả, trường hợp 2 để tối ưu ta phải xây dựng một hình vuông $m$x$m$ để đưa về trường hợp 1. Tuy nhiên ta làm đc như vậy vì khi $m$ và $n$ cùng chia $3$ có chung số dư thì các số cần điền ở cuối hàng và cuối cột là như nhau, ta có thể dùng chung bằng cách ghép thành đường chéo hình vuông.

3) Trường hợp $m$ và $n$ chia cho $3$ khác số dư. 

Như mình nói ở trên thì sự "cần" để thỏa mãn đề bài giữa hàng và cột là khác nhau nên cần có đến $n+m-1$ ô để thỏa mãn. Tạm thời chưa biết giải thích thế nào cho hợp lí.

Đưa ra cấu hình thỏa mãn thì giả sử $m$ chia $3$ dư $2$ thì cho một cột gồm $m$ số $0$ đưa về bài toán với $n-1$ và $m$ lại đưa về trường hợp trên. Làm ngược lại nếu $n$ chia $3$ dư $2$.

Vế b có lẽ là áp dụng vế a, hoặc cũng có thể dùng thủ thuật chia thành khối lập phương như mình đã dùng chia hình vuông ở trên.

Bài 6:

Trước tiên là quy nạp theo $n$ để chứng minh với $k=1$.

Chú ý là tất cả các phần tử của $B_0^{n+1}$ thu được bằng cách lấy một phần tử của $B_{0}^n$ nhân 2 hoặc lấy một phần tử của $B_{1}^n$ nhân 2 cộng 1. Ngược lại một phần tử của $B_1^{n+1}$ thi được bằng cách lấy phần tử của $B_1^n$ nhân 2 hoặc lấy một phần tử của $B_0^n$ nhân 2 cộng 1. Điều này chứng tỏ tổng các phần tử của $B_0^{n+1}$ và $B_1^{n+1}$ là bằng nhau.

Như vậy với $k=1$ thì bài toán đúng với mọi $n$. Giờ lại chứng minh quy nạp theo $k$.

Đầu tiên đặt $A_0^n$ và $A_1^n$ là tập các chuỗi tận cùng bằng $0$ và $1$ trong $B_0^n$ còn $C_0^n$ và $C_1^n$  là tập các chuỗi tận cùng bằng $0$ và $1$ trong $B_1^n$.

Giả sử bài toán đúng đến $n$ với mọi và với mọi số $k$ bé hơn $t$.

Ta có

$$ \sum_{a \in B_0^{n+1}} (v(a))^t = \sum_{a \in A_0^{n+1}} (v(a))^t+\sum_{a \in A_1^{n+1}} (v(a))^t = \sum_{a \in B_0^n}2^t(v(a))^t+\sum_{a \in B_1^n} (2v(a)+1)^t$$

Tương tự thì:

$$ \sum_{a \in B_1^{n+1}} (v(a))^t = \sum_{a \in C_0^{n+1}} (v(a))^t+\sum_{a \in C_1^{n+1}} (v(a))^t = \sum_{a \in B_1^n}2^t(v(a))^t+\sum_{a \in B_0^n} (2v(a)+1)^t$$

Ta xét đa thức $P(x)= (2x+1)^t-2^t.x^t$ thì $P(x)$ là một đa thức bậc $t-1$.

Dễ thấy là ta đpcm tương đương với:

$$  \sum_{a \in B_0^{n}} P(v(a)) =  \sum_{a \in B_1^{n}} P(v(a))$$

Theo giả thiết quy nạp thì $ \sum_{a \in B_0^{n}} (v(a))^i =  \sum_{a \in B_1^{n}} (v(a))^i$ với mọi $i \le t-1$ nên đẳng thức trên là hiển nhiên với $degP \le t-1$.

xin được phân tích và giải bài tóan số 1:

Khi nhìn số 2015, chắc nhiều bạn cũng đóan nhận được là có thể giải bài tóan trong trường hợp tổng quát. Vì vậy khi nếu chúng ta xử lý được bài tóan tổng quát thì sẽ xử lý được với bất kỳ con số nào, có thể là 2015,2016,...

Bài tóan tổng quát:

Chứng minh tồn tại vô hạn số tự nhiên của dãy FIbonacci chia hết cho $n$

Xét các cặp số dư khi chia 2 số hạng liên tiếp trong dãy Fibonacci theo modulo $n$ $(F_0,F_1);(F_1,F_2);...;$

Vì dãy Fibonacci là vô hạn mà chỉ có $n^2$ khả năng cho mỗi cặp số dư theo modulo $n$ nên tồn tại $(F_i,F_{i+1})$ sao cho $F_i\equiv F_{i+m};F_{i+1}\equiv F_{i+m+1}$ ( mod $n$ ) với $m\in \mathbb{Z^+}$

Xét $i> 1$ ta có: $F_{i-1}=F_{i+1}-F_i\equiv F_{i+m+1}-F_{i+m}=F_{i+m-1}$ ( mod $n$ )

Quá trình cứ tiếp diễn dẫn đến $F_j\equiv F_{j+m}$ ( mod $n$ ) $\forall j\geq 0$

Suy ra $0\equiv F_0\equiv F_m\equiv ...$ ( mod $n$ ), tức là có vô hạn các số $F_{km}$ thỏa mãn yêu cầu bài tóan

DPCM

Sau bài toán này em liên hệ được điều gì?

Về cơ bản là nhờ $F_0=0$ nên bài toán đúng với mọi $n$. Nhưng đâu chỉ dãy dirichlet mới có $F_0$ bằng 0. Kết hợp với đl 2 ở trên có thể suy ra nếu mà $u_0=0$ với mọi dãy số truy hồi $u_n$ thì dãy tồn tại vô số số chia hết cho $n$. Nhưng $u_0$ nó rõ ràng quá giả dụ ta cho $u_1=-2,u_2=5,u_3=4$ sau đấy thiết lập một công thức truy hồi $u_{n+3}=au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n$ ta thiết kế $a,b,c$ sao cho tính toán một chút được $u_5=0$ chẳng hạn, như vậy ta sẽ thu được một bài toán cho  $u_1=-2,u_2=5,u_3=4$ và $u_{n+3}=au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n$ cmr có vô hạn số hạng của dãy chia hết cho $n$ hoặc người ta muốn đánh lạc hướng hơn tí thì bảo là chia hết cho mọi số nguyên tố $p$. Muốn nó lắt léo hơn một chút thì thông thường chúng ta quan niệm một cách đơn thuần một dãy số $u_n$ thường bắt đầu từ $u_0$ hoặc $u_1$ rồi đi dần lên, nhưng khái niệm "tuần hoàn số dư" làm ta nghĩ đến dãy số này như một vòng tròn nó sẽ quay đêu và lặp lại, mà vòng tròn k có điểm bắt đầu, thế thì trước $u_0$ vẫn có thể có $u_{-1},u_{-2}$ chẳng sao cả. Vậy giờ ta tìm $a,b,c$ sao cho nếu mà tính ngược về $u_{-2}=0$ chẳng hạn thì lại ra một bài toán mới!

Muốn màu mè thêm một chút thì bài này ta dễ dàng thấy $u_n$ là số nguyên thì giờ thêm hệ số vào  $t.u_{n+3}=au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n$ thiết kế các hệ số sao cho dãy này lúc nào cũng nguyên thế là lại ra một bài toán mới!

Hoặc đặt ra giả dụ một dãy dạng $u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}^2$ chẳng hạn thì nó có tuần hoàn số dư không?.....Chẳng bao giờ thiếu cách để đặt ra vấn đề.

Có quá nhiều cách để phát triển lên từ một ý tưởng ta cảm thấy thú vị! Vấn đề là phải đánh bật tư duy của mình ra ngoài những khuôn phép, ngoài những định kiến vốn cho là quen thuộc. Từ đây bạn có thể tạo ra một lớp các vấn đề rồi theo dạng toán này rồi! Thử bắt tay vào những ý tưởng nêu trên xem thế nào?

mình đã chứng minh $k_n \leq n-1$ rồi bạn.

Xin lỗi vì mình ko đọc kĩ lời giải của bạn. Đáp áp phải là 2n-3. Một tập các tập hợp thỏa mãn đề bài thì hoặc là phải thỏa mãn 3 đk mình nêu ở trên hoặc là có thể đưa về cấu hình thỏa mãn điều kiện đó bằng cách thay một số tập hợp bằng phần bù của nó.

Lời giải của bạn sai vì khi bạn khẳng định bỏ phần tử $n$ từ tất cả các tập của $k_n$ sẽ được các tập thỏa đk với $n-1$. Điều này không đúng khi hai tập hợp đó chỉ có chung đúng phần tử $n$.

Bài 3 ngày 2: Tổng quát cho $n>1$. Đặt $S_i=\left \{ 1,...i \right \}$. Xét $k_n$ lớn nhất sao cho tồn tại $k_n$ tập con của $S_n$ thỏa mãn.

Ta có $S_1,...S_{n-1}$ thỏa mãn nên có thể giả sử $k_n\geq n-1$. Ta sẽ chứng minh $k_n=n-1$ bằng quy nạp

Với $n=2$ dễ có $k_2=1$

Với $n\geq 3$.Ta có $A_i\neq \varnothing ,S_{n}$. Ta có $A$ và $A'$ không xuất hiện cùng nhau trong $k$ tập trên và có thể thay $A$ bằng $A'$ trong $k_n$ tập trên mà vẫn thỏa mãn điều kiện, vậy ta có thể thay tất cả các tập không chứa $n$ như trên, vậy ta có thể giả sử $k_n$ tập trên đều chứa $n$. Nếu trong $k_n$ tập trên không chứa tập $\left \{ n \right \}$ thì ta vẫn có thể thêm tập đó vào mà vẫn thỏa mãn điều kiện, thu được $k_n+1$ tập thỏa mãn trái với cách chọn $k_n$. Vậy trong $k_n$ tập trên chứa $\left \{ n \right \}$. Bỏ tập $\left \{ n \right \}$ và bỏ phần tử $n$ trong các tập còn lại thu được $k_n-1$ tập con của $S_{n-1}$ thỏa mãn. Ta có$k_n-1\leq k_{n-1}= n-2\Rightarrow k_n\leq n-1$ (theo giả thiết quy nạp và cách chọn $k_{n-1}$). Từ trên ta có $k_n=n-1$.

Cụ thể với bài trên, $k= k_{2017}= 2016$.

Lời giải của bạn chưa chính xác. Phép quy nạp của bạn chỉ giúp chỉ ra là $n-1$ thỏa mãn chứ ko chứng minh nó lớn nhất.

Có thể chuyển điều kiện bài toán thành như thế này.

Tìm $k$ lớn nhất để mà 2 tập bất kì trong $k$ tập này thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) Không có tập nào là $S_n$

2) 2 tập này ko là phần bù của nhau

3) 2 tập này hoặc rời nhau hoặc là có tập này chứa tập kia

Ví dụ tập các tập hợp sau thỏa mãn:

$\{1 \}, \{ 2 \}, ..., \{ 2017 \}, \{ 1;2 \}, \{ 1;2;3 \}, ..., \{ 1;2;...;2015 \}.$

         Mình là thành viên tham gia VMF từ những năm 2009 và cũng gần như chỉ tham gia làm toán trên VMF nên đối với nó có ít nhiều kỉ niệm. Nick trước đây của mình có đến 1000 post và hầu hết chỉ là post đề và đưa ra lời giải các bài toán của các bạn khác. Tuy nhiên đến bây giờ mình lại thấy rằng 1000 post đấy chẳng có ý nghĩa gì cả với người khác. Diễn đàn là nơi để chúng ta thảo luận, trao đổi và cùng giúp nhau học toán chứ không chỉ là những đề toán và lời giải. Bất chợt một suy nghĩ đến là đã đến lúc viết một cái gì đó chia sẻ về cách mình học toán với các bạn. Đây chỉ đơn thuần là một bài viết cho các bạn một cái nhìn về cách học và quan điểm học toán của một người khác để các bạn mạnh dạn chia sẻ những điều tương tự của bản thân, không phải một cẩm nang cho các bạn hay một sự khoe mẽ nào cả, hoàn toàn là những chia sẻ chân thành.

         Trước tiên nói về quan điểm học toán, theo ý kiến cá nhân mình thì có 5 mức độ:

Biết->biết và làm được->biết, làm được và hiểu nữa-> sau khi hiểu thì lại thắc mắc những vấn đề mới, những mở rộng và đưa ra những câu hỏi xa hơn một lời giải->cuối cùng là có thể tự đặt ra, tự giải quyết tất cả những vấn đề, những mở rộng.

          Hầu hết chúng ta chỉ dừng ở mức độ 3, thậm chí cái hiểu nó vẫn chưa tường tận. Một vấn đề lớn là đa số chúng ta học toán còn cảm tính. Có rất nhiều người học toán giỏi, họ vẫn đặt ra những vấn đề, những câu hỏi và giải quyết được hết nhưng đa phần xuất phát từ thói quen tư duy, cảm nhận của họ chứ không bắt nguồn từ những suy nghĩ chủ động. Vậy nên mới có chuyện người ta giải thích cho lời giải của mình là nhìn vào điều kiện A, ta có cảm giác là nên đưa vào một lượng B để chứng minh được điều C.

           Bạn đừng bao giờ tự ti vì mình không thể đưa ra lời giải trong khi những người khác làm được hay vì nhìn thấy cậu bạn cùng khóa học những thứ trên trời mây mà mình chả hiểu và chả dám học. Và cũng đừng tự hào khi post lên một lời giải với một skill, một bổ đề nào đó mà người hỏi chưa học. Bởi sau khi họ xem lời giải của bạn, học được những thứ đó rồi thì bạn chẳng còn dịp để thể hiện trong lần sau nữa Vì thế có những người học trước kiến thức đến 2,3 năm, bài nào cũng biết lời giải, bá đạo một vùng nhưng về sau thua kém những người khác là chuyện thường. Không phải họ không cố gắng như trước mà đơn giản bề sâu tư duy không phải là thứ cần cù và học trước có thể bù đắp được nếu không biết cách.

           Điều quan trọng với một bài toán là gì? Không phải là ai giải được mà là ai nhìn ra được nhiều thứ hơn! Học một hiểu mười nó là vậy. Tầm nhìn rất quan trọng nó kết hợp cả tư duy lẫn hiểu biết, đụng vào một bài toán có nhiều cách tiếp cận và hướng đi nhưng người có tầm nhìn sẽ biết cái nào dẫn được ra kết quả. Một bài toán khó là một bài toán mà không phân nhỏ ra được. Nếu một bài toán bạn không giải được nhưng khi phân ra thành các câu a,b,c,d,… thành các bước nhỏ thì lại làm được, điều đấy có nghĩa kĩ năng của bạn hoàn toàn có thể giải bài toán này nhưng tầm nhìn của bạn chưa thể xếp ngang hàng với nó.

          Để kết thúc bài chia sẻ này mình sẽ kể cho các bạn câu chuyện về những ngày đầu mình học dãy số, cụ thể là tìm số hạng tổng quát của dãy số. Có thể đối với một số bạn học toán Olympiad thì những thứ này quen thuộc, đơn giản đến tầm thường, nhưng như thầy Thanh đã nói, cái gì mình tự tìm ra cũng thấy “sướng” hơn là đọc được.

Như các bạn biết thì mở đầu học dãy số những dãy cơ bản đầu tiên được giới thiệu là csc và csn có dạng $a_{n+1}=a_n+k$ và $a_{n+1}=k.a_n$ trong đó $k$ là một hằng số.

         Điều thú vị đầu tiên mà mình tìm thấy là csc có thể được đưa về csn với hệ số bằng 1. Tức là ta có thể viết $a_{n+1}-k(n+1)=a_n-kn=….=a_0-k.0$.

          Giờ nếu thêm một hệ số tự do vào csn hay một hệ số nhân vào csc thì sẽ thế nào ? $a_{n+1}=k.a_n+b$

Với ý tưởng đưa về csn mình mau chóng xử lí được bằng cách thêm một hằng số $c$ vào $a_n$ tức là viết lại thành $a_{n+1}+c=k(a_n+c)$, giải ra $c$ theo $b$ trừ khi $k=1$, nhưng trường hợp này thì nó là csc giải quyết như trên rồi !!

Bây giờ nếu thay hệ số tự do không là hằng số nữa. Chú ý một cái gì đó chạy không hằng ở đây thì sẽ liên quan đến $n$. Đơn giản ta xét dãy dạng $a_{n+1}=k.a_n+a.n+b$, vẫn ý tưởng đưa về csn, ở trên xử lí với hằng số ta thêm vào hằng số thì giờ biểu thức bậc nhất thêm vào $a_n$ dạng bậc nhất là $c.n+d$. Tức là ta sẽ viết lại thành : $a_{n+1}+c(n+1)+d=k.(a_n+cn+d)$, đồng nhất thì được hệ pt 2 ẩn, 2pt, có thể giải theo $a,b$ trừ khi $k=1$. Đây vấn đề đây rồi !

Mày mò một chút, mình thấy trường hợp $k=1$ ở trên giải quyết với hằng số nhưng mình lại thêm bớt bậc nhất (biến đổi đấy là một biến đổi dễ thấy hoàn toàn không chủ động tạo ra tìm kiếm lượng thêm bớt), ý tưởng đến là mình sẽ nâng lượng thêm vào lên một bậc là bậc 2. Và giải quyết được ! Và mình nhận ra là thêm bậc 2 thì bậc 2 sẽ bị khử đi khi $k=1$ nhưng nó sẽ làm hệ số của $n$ lệch đi và không bị khử.

          Tiếp tục thay đổi công thức truy hồi ban đầu mình rút ra được là với một dãy $a_{n+1}=k.a_n+P(n)$ trong đó $P(n)$ là đa thức bậc $n$ thì ta giải quyết bằng cách thêm vào $a_n$ một lượng đa thức $Q(n)$ bằng bậc của $P(n)$ và nếu $k=1$ thì $Q(n)$ hơn $P(n)$ một bậc. Sẽ ra các hpt có thể giải được !

         Bây giờ nếu đổi $k$ là không là hằng số nữa thì sao. Thay $k$ là một biểu thức bậc nhất theo $n$, $a_{n+1}=(an+b)a_n+P(n)$

         Đến cái này thì bí thì phải Tuy nhiên mày mò không ra cái này nhưng trong quá trình đó mình tìm được là nếu đổi bài toán lại thành $(an+b)a_{n+1}=a_n+P(n) (1)$  thì mình lại làm được, bằng cách đặt $f(n+1)=an+b=a(n+1)+b-a$ tức $f(n)=an+b-a$ khi đó ta có

$$f(n+1)a_{n+1}=a_n+P(n) \Rightarrow f(n+1)f(n)…f(1)f(0)a_{n+1}=f(n)f(n-1)…f(1)f(0)a_n+Q(n)$$

         Trong đó $Q(n)=P(n)f(n)…f(0)$ là một đa thức theo $n$. Vậy nếu đặt $u_n=f(0)f(1)…f(n)a_n$ thì ra bài toán ở trên rồi. Nhưng xem xét lại thì bậc của $Q(n)$ không tính được Sau đấy mình có thử cho $P(n)$ ở $(1)$ có bậc âm nhưng không đến đâu thì phải. Nói chung đến đây dù chẳng thu được thêm kết quả nào nhưng trong quá trình bế tắc mình cũng tìm ra những ý tưởng mới thú vị. Ví dụ từ ý tưởng nhân thêm nhiều hàm $f$ như trên mình nghĩ ra cách xử lí khác cho dãy $a_{n+1}=k.a_n+b^n$  bằng cách đặt $a_n=b^n.u_n$ sẽ khử được $b^n$. Và có một số ý tưởng khác nhưng quá lâu rồi không nhớ nó như thế nào!

          Một ví dụ khác khi gặp bài toán tìm số hạng tổng quát của $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$

Sau khi mày mò một thời gian khá lâu mới nảy ra ý tưởng nghịch đảo 2 vế để đưa dãy này về dãy $\frac{1}{a_n}$.

         Từ ý tưởng này mình đi đến xây dựng cách tính cho dãy dạng $a_{n+1}=\frac{a_n+b}{ca_n+d}$ chú ý là hệ số của $a_n$ ở tử luôn có thể đưa về $1$. Ý tưởng nghịch đảo đưa mình đến giải pháp tìm một số $x$ để $a_{n+1}-x=\frac{(1-cx)a_n+b-xd}{ca_n+d}$ phải tạo ra ở tử một dạng $k(a_n-x)$ điều này có nghĩa là $\frac{1-cx}{b-xd}=-x$ đây là pt bậc 2 hoàn toàn tìm ra $x$ đặt lại dãy mới là $u_n=\frac{1}{a_n-x}$ có dạng đã biết.

      Có một số vấn đề khác như về phương trình đặc trưng, một số dạng dãy số đặc thù như $a_{n+1}=ka_{n}-a_{n-1}$,… nảy sinh khá nhiều ý tưởng đồng thời giúp mình hiểu khá nhiều về những lí thuyết trong sách nhưng giờ quên nhiều rồi vả lại không có nhiều thời gian hẹn các bạn dịp khác, bài viết nên dừng ở đây thôi*_*

      Luôn đặt vấn đề, luôn đặt câu hỏi là điều cần làm tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng giải quyết được. Mỗi mảng không giải quyết được đều ít nhiều cho mình ý tưởng về cái khác và quan trọng mình luôn tự hỏi tại sao lại không làm được, những khúc mắc đấy làm hiểu ra rất nhiều vấn đề. Hi vọng các bạn có một cái nhìn mới về việc học toán qua topic này!

Có thể là có nhiều bạn không đồng ý hoặc chưa hiểu những ý kiến mà bạn Nxb nêu ra, tuy nhiên với cá nhân mình thì bạn Nxb là một người tâm huyết và ít nhiều bạn ấy nói chuyện rất khiêm nhường với các bạn. Các bạn phải hiểu là dù trong số các bạn có rất nhiều người yêu toán đến nào đi nữa thì rồi cũng chẳng còn mấy ai khi lên đại học còn học toán, làm toán, tham gia diễn đàn và trao đổi chia sẻ kinh nghiệm với các bạn nữa đâu! Vì vậy ý kiến của những người đi trước dù chưa biết đúng sai thế nào nhưng cũng đáng để các bạn lắng nghe. Theo mình để cải thiện việc trao đổi trên diễn đàn thì các bạn cần phải hiểu hai điều thế này.

Thứ nhất là mục đích học toán, đa phần các bạn hs thời phổ thông, kể cả bản thân mình đều từng cho rằng học toán là để giải toán, làm càng nhiều, giải càng nhiều toán thì càng giỏi. Quan niệm này chỉ đúng một nửa thôi, vì người giải được bài toán chưa chắc đã giỏi hơn người đặt ra bài toán và giải được nhiều chưa chắc là đã hiểu được nhiều. Phần lớn chúng ta đều dừng lại khi có lời giải bài toán, chẳng mấy khi đặt ra những vấn đề mới, những câu hỏi tại sao, dùng một skill giải ra được bài toán nhưng chưa chắc đã hiểu tại sao người ta nghĩ ra được skill này và tại sao lại dùng được ở đây, có quá nhiều câu hỏi nhưng chúng ta chẳng bao giờ tự đặt ra.

Thứ hai là điều mà bạn Nxb đã nêu ở trên đó là cách các bạn trao đổi với nhau. Diễn đàn là nơi mọi người cùng thảo luận, trao đổi, mà đã là thảo luận thì phải đưa ra những suy nghĩ, ý kiến cá nhân, khi các bạn hỏi một vấn đề nào đó thì ít nhiều phải bỏ ra thời gian cho nó trước khi hỏi đã, trước khi nhờ vả người khác phải biết tự lực cánh sinh, đó là điều tất yếu. Thậm chí khi các bạn hỏi một vấn đề nào đó có thể trình bày luôn hướng đi của các bạn thế này thế này nhưng không giải ra (hoặc có thể hỏi sau khi đọc lời giải của người khác), khi đó thì ngoài việc người khác cho bạn lời giải họ còn có thể giải thích thêm tại sao con đường bạn đi không ra, tại sao làm thế này mà không làm thế khác. Trao đổi đòi hỏi các bạn phải nêu suy nghĩ và bỏ thời gian. Bất kể thứ gì cũng không thể đòi hỏi chất lượng nếu không bỏ thời gian và công sức.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thoả :

$$n^2+4f(n)=\left [ f(f(n)) \right ]^2,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Xét $F$ là tập giá trị của $f$, $m \in F$ thì tồn tại một số nguyên $n$ thỏa mãn $f(n)=m$. Ta có:

$$n^2+4m=f(m)^2 \Rightarrow 4m=(f(m)-n)(f(m)+n)$$

Khi đó tồn tại một số nguyên $t$ là ước của $m$ để mà $f(m)-n=2t,f(m)+n=\frac{2m}{t}$

Từ điều này suy ra $f(m)=t+\frac{m}{t}$

Mặt khác ta có: $m^2+4f(m)=f(f(m))^2 \Rightarrow m^2+4t+\frac{4m}{t}=f(f(m))^2$

$$1 \le t^2 \le m^2 \Rightarrow (t^2-1)(t^2-m^2) \le 0 \Rightarrow t^2+\frac{m^2}{t^2} \le m^2+1 \Rightarrow \left(t+\frac{m}{t} \right)^2 \le (m+1)^2$$

$$\Rightarrow -m-1 \le t+\frac{m}{t} \le m+1$$

Khi đó $4t+\frac{4m}{t}$ là một số nguyên chẵn khác 0 và $ -4m-4 \le 4t+\frac{4m}{t} \le 4m+4$, ta chú ý là $m^2+4t+\frac{4m}{t}$ là một số chính phương nên $t+\frac{m}{t}$ nhận một trong 3 giá trị là $0,1-m,m+1$

Vậy nhận xét đầu tiên là $f(m)$ nhận một trong 3 giá trị $0,1-m,1+m$ với $m \in F$.

Nhận xét thứ 2 là nếu $f(n)=n+1$ thì suy ra $f(n+1)=n+2$.

Vì từ biểu thức ban đầu ta suy ra $(n+2)^2=f(n+1)^2$

kết hợp với nhận xét 1 dẫn đến $f(n+1)=n+2$

Quay lại với nhận xét 1 thì $f(m)=1-m$ chỉ khi tồn tại $t$ nguyên để $t+\frac{m}{t}=1-m$ ta giải ra $m=6$

Suy ra $f(6)=-5$ và $f(-1)=6$ hoặc $f(1)=6$.

Tuy nhiên thay $n=6$ vào biểu thức ban đầu suy ra $16=f(-5)^2$, kết hợp nhận xét 1 suy ra $f(-5)=-4$.

Từ điều này và nhận xét 2 suy ra $f(-1)=0,f(1)=2$, mâu thuẫn.

Suy ra nhận xét 3 chặt hơn nhận xét 1 là $f(m)$ chỉ nhận giá trị là $0$ hoặc $m+1$ với $m \in F$

Dựa vào điều này không khó để chứng minh $f(0)$ chỉ nhận 2 giá trị là $0$ hoặc $1$ và suy ra được $f(m)=m+1$ với $m \ne 0, m \in F$.

Cụ thể hơn thì nếu $f(0)=0$ suy ra $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$

còn nếu $f(0)=1$ suy ra $f(a)=0 \Leftrightarrow a=-1$

Như vậy với một số $t \le F$ và $t \ne 0$ tồn tại $n$ để $f(n)=t$ ta có: $n^2+4t=(t+1)^2 \Rightarrow n^2=(t-1)^2$ suy ra $n=t-1$ hoặc $n=1-t$ tức là với $n \in Z$ thì $n=1-f(n)$ hoặc $n=f(n)+1$.

Nếu tập $F$ tồn tại một phần tử $k$ nhỏ nhất mà khác 0 (chú ý là từ nhận xét 2 nếu $k \in F$ và $k$ khác 0 thì mọi số lớn hơn $k$ đều thuộc $F$) thì do điều trên suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$ nên $k \le 2$.

Với $k \le 1$ thì với $n \le k-2$, ta có $n+1<k$ nên $f(n)$ không thể bằng $n+1$ mà phải bằng $1-n \ge 3-k > k$

do $k \in F$ nên suy ra $f(k-1)=k$.

Như vậy một hàm thỏa mãn đề bài là $f(n)=1-n$ với $n \le k-2$ và $f(n)=1+n$ với $n \ge k-1$ trong đó $k$ là một số nguyên cố định bé hơn 2.

Với $ k =2$ thì $f(0)$ không thể bằng 1 nên $f(0)=0$ và $f(1)=2$, suy ra hàm thỏa mãn là $f(0)=0, f(n)=1-n, n \le 0$ và $f(n)=1+n$ với $n \ge 0$.

Nếu $F$ không có phần tử nhỏ nhất thì suy ra hàm $f$ là $f(n)=n+1$ với mọi số nguyên $n$.

Cho em hỏi tại sao $t+\frac{m}{t} \ne 0$?

đây chính là $f(m)$ và ở trên vẫn cho $f(m)$ có thể bằng $0$ cho đến một đoạn dựa vào $f(0)$ để lập luận $f(m)=m+1$ với $m$ khác 0.

Ý em là chỗ này.

à anh viết nhầm thế thôi, chứ ở dưới a vẫn cho nó nhận 3 giá trị trong đó có 0.

Không biết ngoài mấy nghiệm thầy nêu có một cách nào để moi ra thêm nghiệm của nó không nhỉ?

Ta thử biến đổi một chút phần $A(n,m)$. Ta có $P(n+1,m)=P(n,m)+A(n+1,m-1)=\frac{1}{2(m+2)}(A(n+1,m)+A(n,m)+A(1,m))$

Như vậy suy ra $P(n+1,m)-P(n,m)=A(n+1,m-1)=\frac{1}{2(m+2)}(A(n+1,m)-A(n-1,m))$

Lại đặt $B(n,m)=\frac{A(n,m)}{2^m.(m+2)!}$

Ta có thể suy ra $B(n+1,m-1)=B(n+1,m)-B(n-1,m)$

Với dãy truy hồi 2 biến thế này không biết có làm được bằng hàm sinh không? Kiểu giống như công thức Pascal.

Với mỗi số nguyên dương $n,m$ Xét tổng:

$$P(n,m)=\sum_{k=1}^n \prod_{r=0}^m(k+2r)$$

________________

$1)\quad$ Chứng minh rằng $P(n,m)$ là một đa thức bậc $m+2$ của $n$

$2)\quad$ Chứng minh rằng $P(0,m)=P(-1,m)=0$

Nói cách khác

$\qquad$ Trong phân tích nhân tử đa thức có chứa $n(n+1)$

$\qquad$ và $P(-2m,m)=P(-2m-1,m)=0$ nếu $m$ chẵn.

Nói cách khác

$\qquad$ (Trong phân tích nhân tử đa thức có chứa $(n+2m)(n+2m+1)$ nếu $m$ chẵn.

$3)\quad$ Biết rằng: $2(m+2) P(n,m)=\prod_{k=0}^m (2k+1)+A(n,m)+A(n-1,m)$

$\qquad$ Tìm $A(n,m)$.

Nói cách khác

$\qquad$ Tìm cách tính tổng $P(n,m)$

Đặt $A(k,m)= \prod_{r=0}^{m+1}(k+2r)$, như vậy $P(n,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)$, khi đó ta có:

$$P(n,m+1)=\sum_{k=1}^nA(k,m)=\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)$$

Mặt khác ta lại có $A(k-2,m)=(k-2)A(k,m-1)$ với $k \ge 3$. Do đó ta có thể viết lại $P(n,m+1)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$

Ta suy ra:

$$\sum_{k=1}^nA(k,m-1)(k+2m+2)=\sum_{k=3}^n(k-2)A(k,m-1)+A(n-1,m)+A(n,m)$$

$$ \Rightarrow (2m+4)\sum_{k=1}^nA(k,m-1)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$

$$ \Rightarrow (2m+4)P(n,m)=A(n-1,m)+A(n,m)+A(1,m-1)$$

Đến đây nếu $n$ chẵn thì có thể rút gọn $A(n,m)$ được còn nếu $n$ lẻ thì em thử mà chưa làm được.

Phải nói rằng, bao nhiêu kỹ thuật phân tách, mẹo mực để sáng tạo ra được một bài toán đã bị một chiêu biến hoá kỳ ảo của em giải quyết ngon lành. Chiêu này em học được ở đâu vậy? Có thời gian mong em viết một bài hướng dẫn cách sử dụng và phạm vi ứng dụng của nó được không?

Ngày xưa có một ông anh khóa trên chỉ cho em cái chiêu này và nhất là ông này đc đi IMO về nên trong lúc ôn có nhiều bài tập tính mấy tổng tổ hợp này, trong quá trình giải thì e cũng tìm ra một số kĩ thuật mới kiểu như thay đổi cận của sigma như bài trên. Thầy và các bạn có thể tham khảo về bài viết về hàm sinh trong tài liệu này (chuyên đề tổ hợp của MS):

 http://diendantoanho...-của-mathscope/

Thực ra nó còn một kĩ thuật nữa mà trong tài liệu có đề cập là giả sử với một tổng tổ hợp có một thành phần cố định là $m$ chẳng hạn (vd như $m$ hoặc $n$ ở bài trên) thì ta gắn thêm cho biểu thức một đại lượng $x^m$ sau đó cho $m$ chạy từ $0$ đến $\infty$ sẽ được một hàm sinh, dùng chuyển dấu sigma sẽ linh hoạt trong biến đổi hơn và có một số kĩ thuật nhỏ khác trong quá trình xử lí.

Thực tế thì ngày xưa lúc đấy chỉ chăm chăm vào giải toán nên kĩ thuật mới nghĩ ra cũng chỉ nhất thời để giải quyết bài toán đang làm chứ không chiêm nghiệm, phát triển nó thêm còn giờ thì không còn đủ hăng say để tiếp tục nữa và cũng quên nhiều rồi. Hehe thầy Thanh nếu có thể thì tham khảo và nghiên cứu đưa ra cái gì mới xem, em giờ k thể miệt mài ngồi tìm tòi đc nữa  

Nhận xét một chút về tài liệu trên thì nếu bạn nào mới học hoặc cần học kĩ năng có thể đem nó ra tham khảo. Tuy nhiên khi viết một cái gì đấy thì không nên học tập mấy ông này, đại đa số là đem dịch từ tài liệu tiếng Anh sang và gần như chả có cái gì mới do công sức tìm tòi họ bỏ ra cả. Thậm chí bài viết của em trong đấy nó cũng như vậy, chỉ toàn lời giải cho bài toán và lời giải cho bài toán rất giống phong cách post bài của em từ xưa đến giờ ở diễn đàn. Nó chẳng có một chút ý nghĩa gì cả!

Với $n,m$ là các số nguyên dương, chứng minh đẳng thức sau:

$$\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}{m\choose n-k}=(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {m-1\choose \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$$

Haha hôm qua em thấy topic của thầy rồi nhưng định bụng để đấy chưa làm để các bạn khác tham gia giải xem nhưng mà thấy thầy nhắc trên stt thôi thì vào hầu chuyện với thầy.

Vốn dĩ về mảng này em chỉ rành có một chiêu, gặp một cao thủ chuyên kĩ thuật biến đổi như thầy Thanh thì dẫu sao dùng một chiêu mà biến hóa đối đáp với thầy vài bài toán kể ra cũng là thành tựu rồi hehe.

Bây giờ ta xét đến vế trái là hệ số tự do của biểu thức:

$$\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}$$

Chỗ này hơi khúc mắc là sigma chỉ chạy đến $n$ nó chả ăn nhập gì với cái chỉnh hợp cả, nếu thay $n$ bằng $m-1$ thì đẹp. Chú ý là nếu $k>m-1$ hoặc $k>n$ thì hệ số tự do của ${m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}$ dĩ nhiên bằng $0$. Điều này có nghĩa là hoàn toàn thay được $n$ bởi $m-1$ trong dấu sigma kia. Voilà, chìa khóa đây rồi!

Vế trái biểu thức ban đầu bằng hệ số tự do của khai triển:

$$\Large \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k{m-1\choose k}\frac{(1+x)^m}{x^{n-k}}=\frac{(1+x)^m}{x^n}\Large \sum_{k=0}^n (-1)^k{m-1\choose k}x^k=\frac{(1+x)^m(1-x)^{m-1}}{x^n}=\frac{(1+x)(1-x^2)^{m-1}}{x^n}$$

hệ số tự do trong biểu thức này chính là VP.

Trên đường tròn cho n điểm, từ các điểm nói trên hiển nhiên ta có ${C_n}^2$ đoạn thẳng và tổng số các đa giác là

$({C_n}^3 + {C_n}^4 + {C_n}^5 + ... + {C_n}^n)$ .Hãy tìm số cách bỏ bi các đoạn thẳng sao cho không còn đa giác nào , biết rằng mỗi cách bỏ đi các đoạn thẳng như vậy thì mỗi điểm nói trên , vẫn tồn tại ít nhất một đoạn thẳng nhận nó làm đầu mút ?

Yêu cầu bài này phải phát biểu lại là với một cấu hình xóa đi các đoạn thẳng thỏa mãn 2 điều kiện nêu ra thì cấu hình này có nhiều nhất bao nhiêu đoạn thẳng.

Có nhiều nhất là $n-1$ đoạn thẳng (vd $1$ điểm nối với $n-1$ điểm còn lại chẳng hạn). Cái này liên quan đến định nghĩa cây ( đồ thị liên thông, không có chu trình) trong lý thuyết đồ thị.

Mình sẽ chỉ ra một cách chứng mình mình nghĩ ra (tham khảo sách về tính chất của cây với $n$ điểm có thể bạn sẽ tìm thấy chứng minh hay hơn).

- Hai điểm gọi là liên thông nếu có một đường đi tạo bởi ít nhất 2 đoạn thẳng nối hai điểm đó.

- Nếu một cấu hình thỏa mãn 2 điều kiện bài toán mà có hai điểm không liên thông, ta có thể nối chúng lại với nhau để có một cấu hình mới thỏa mãn yêu cầu mà có số đoạn thẳng lớn hơn. Do đó cần tìm max số đoạn thẳng trong trường hợp 2 điểm bất kì trong $n$ điểm liên thông với nhau.

- Xét một cấu hình thỏa mãn : không có đa giác, mỗi điểm trong $n$ điểm là mút của ít nhất một đoạn thẳng, cấu hình này có nhiều đoạn thẳng nhất và 2 điểm bất kì (khác 2 mút một đoạn thẳng) trong $n$ điểm liên thông với nhau. Xét tập $S$ chứa một điểm bất kì trong $n$ điểm.

- Mỗi bước ta xóa đi một đoạn thẳng thỏa mãn : đoạn thẳng này có một mút là một điểm thuộc $S$ và một điểm không thuộc $S$ và sau đó thêm cái điểm nằm ngoài $S$ của đoạn thẳng vừa xóa vào $S$.

- Rõ ràng khi tập $S$ chưa lấp đầy bởi $n$ phần tử thì luôn tìm được ít nhất một đoạn thẳng thỏa mãn để xóa. Nếu không các điểm trong $S$ không liên thông với điểm nào ngoài $S$.

- Khi đó tất cả các điểm thuộc $S$ mà không nối với nhau bởi một đoạn thẳng đã bị xóa thì liên thông với nhau.

- Khi tập $S$ đầy $n$ phần tử thì không còn đoạn thẳng nào nữa. Vì nếu tồn tại một đoạn thẳng nối 2 điểm trong $S$ mà đoạn này chưa bị xóa, khi đó tồn tại một đường đi lớn hơn 2 đoạn thẳng nối 2 điểm đó, như thế thì cấu hình ban đầu chứa một đa giác.

Vậy cấu hình ban đầu nêu ra có đúng $n-1$ đoạn thẳng.

Em thì may mắn hơn anh là được tiếp xúc với báo toán và diễn đàn toán từ sớm Nhưng em ngược anh ở chỗ là chỉ thích hình học. Em thích cái cảm giác cho chạy chạy các điểm trên hình vẽ bằng SketchPad rồi tìm ra những tính chất thú vị, vẽ các đường thẳng nối dài hết cỡ để xem có chi hay. Làm hình lâu nên em có một kiểu nhìn và mường tượng toàn bằng hình ảnh / hình học / sơ đồ, bất kể vấn đề gì. Tiếc là sau này không còn ngâm cứu toán hình nhiều nữa cơ mà cái cách tư duy thì vẫn còn đó, và em thấy nó rất hữu ích để áp dụng vô nhiều lĩnh vực khác.

Mỗi người có những điểm mạnh khác nhau và có những cách khác nhau để khai phá những ý tưởng của mình. Sẽ là thiển cận nếu cho rằng cứ phải giỏi tổ hợp hay số học các kiểu mới là thông minh. Điều quan trọng là cách tư duy của chúng ta giúp chúng ta làm được gì? Nếu chỉ dùng để làm toán thì đó là một điều đáng tiếc. Em có thể chia sẻ những áp dụng mà em thấy hay về cái cách tư duy của mình, điều đó có thể giúp khơi gợi cảm hứng từ các bạn khác và cũng giúp e hiểu hơn cách mà em tư duy nữa.

Dạo nãy bỗng dưng mình thấy nhớ cái thời học toán nên muốn viết một cái gì đó chia sẻ với các bạn đang học toán. Trước đây mình từng viết một bài chia sẻ rồi và bài này mình muốn chia sẻ ở một góc nhìn khác.

Thời cấp 2 thì mình dành thời gian cho toán khá là nhiều, trung bình 5-7 tiếng một ngày để học toán. Lúc đấy thì nhà không có máy tính, không có mạng và chỉ có mỗi 2 cuốn sách của Vũ Hữu Bình làm bạn thôi. Kể ra đó cũng là một điều may mắn, khi mà không có quá nhiều tài liệu thì sẽ phải tự mày mò, tự đặt ra toán để mà làm và nó hình thành cách tư duy của cá nhân mình. Một điều may mắn nữa là không lên mạng thì không biết đến những kì thi như VMO, IMO hay là sự tồn tại của nhiều ngôi sao trên diễn đàn, vì thế không phải cày cuốc những thứ trâu bò để bằng bạn bằng bè. Đối với mình việc làm toán chỉ đơn giản là vì niềm vui và mãi đến sau này nó vẫn vậy. Mục tiêu của việc học toán thì không hẳn làm được càng nhiều bài càng tốt, mình chỉ làm những bài nào mình thấy thích và với một cách giải mình thấy thích thôi  ). Phải thừa nhận 1 điều là kiến thức toán của mình không nhiều, nếu ai để ý sẽ thấy những lời giải mình post gần như chẳng bao giờ dùng định lí hay bổ đề từ bên ngoài vào vì mình không biết nhiều những thứ đấy. Làm một bài toán cũng không nhất thiết phải làm ra, cảm giác mày mò thấy vui là đủ rồi. Có một sự thật là mình chưa từng post một lời giải bài hình nào trên diễn đàn và mình bỏ gần như tất cả các bài hình trong các kì thi mình tham dự, đơn giản vì không thích học hình. Kể linh tinh về bản thân mình đủ rồi, bây giờ chúng ta vào vấn đề chính.

Chúng ta đều biết so với thế giới thì người VN học toán khá là giỏi. Tuy nhiên mình nhận thấy là cách tư duy của chúng ta dễ dàng thừa nhận kiến thức để dùng nó như một phương tiện giải toán thay vì thực sự hiểu nguồn gốc và bản chất của mọi thứ. Ví dụ nhiều bạn tính đạo hàm, tích phân rất giỏi, nhưng thực sự có bao nhiêu bạn thời cấp 3 hiểu được ý nghĩa đạo hàm, tích phân là gì và nó sinh ra như thế nào? Tại sao lại đặt tên là đạo hàm và tích phân? Hay lúc cấp 2 được học đồ thị của hàm bậc 2 là Parabol. Vậy các bạn có đặt ra câu hỏi parabol là hình gì và tại sao lại là Parabol? Có rất là nhiều những thứ khác mà chúng ta chẳng bao giờ hỏi tại sao. Và giải quyết những câu hỏi tại sao đó chắc chắn nó chả giúp mấy cho các bạn trong các kì thi đâu, nhưng nó sẽ làm bạn thấy vui và làm bạn nhìn việc làm toán bằng một cách khác. Chúng ta sẽ quay lại với những câu hỏi ở một trong những phần kế tiếp của bài viết này.

Có một sự thật là những kĩ thuật mà chúng ta dùng giải toán đa phần đều là bắt chước hoặc là kết hợp một cách tài tình những kĩ thuật mà mình đã được biết. Cũng có những lúc chúng ta tự sáng tạo ra những kĩ thuật mới nhưng điều đó đòi hỏi kinh nghiệm và kiến thức rất nhiều. Khi học vào một mảng mới thì các bạn cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản và biết vận dụng chứng minh được các tính chất cơ bản từ những kiến thức đó. Để làm được những bài toán trong một mảng mới, thường chúng ta phải bắt đầu với việc... đọc lời giải. Cái việc đọc lời giải nó cũng không phải là một chuyện dễ dàng, vì không chỉ đơn thuần hiểu các bước lời giải đưa ra để thấy nó đúng, mà hơn thế cần hiểu tại sao lại đưa đến một ý tưởng như thế? Lời giải này có điểm gì hay? Nó có ưu điểm, khuyết điểm gì? Nếu ta thay đổi bài toán một chút thì có dùng được nữa không? Giải quyết những câu hỏi như thế sẽ làm các bạn hiểu vấn đề hơn. Thử lấy một ví dụ đơn giản.

Đặt $S_1(n) = 1+2+3+..+n$. Chứng minh $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

Lời giải 1: Ta chứng minh quy nạp, giả sử bài toán đúng với $n$ thì $S_1(n+1) = S_1(n)+n+1 = \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Vậy bài toán cũng đúng với $n+1$.

(Một lời giải hoàn chỉnh cần tuân thủ đúng các bước quy nạp nhưng mình chỉ viết ngắn gọn để nắm được ý chính)

Lời giải này khá là đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên chúng ta chả thấy một chút bản chất vấn đề nào cả, nếu người ta không cho giá trị của vế phải biểu thức thì làm sao chúng ta lấy ra kết quả mà quy nạp? Đó là một điểm mà mình không thích lắm ở phương pháp quy nạp. Đôi khi chúng ta không thực sự hiểu rõ cách vận hành của bài toán khi dùng quy nạp.

Lời giải 2: Chúng ta đến với một lời giải hợp lí hơn 1 chút để lấy ra kết quả. Ta bắt cặp các số có tổng là $n+1$ khi đó sẽ tạo được $\frac{n}{2}$ cặp (cần biện luận rõ hơn chút về tính chẵn lẻ của $n$). Suy ra $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

Lời giải này rõ ràng chỉ cho chúng ta thấy cách tìm ra công thức ở vế phải phần chứng minh và khá là ngắn gọn. Tuy nhiên nhược điểm của nó là chỉ dùng được khi mà đây là tổng của một cấp số cộng. Nếu như cần tính tổng của $1^2+2^2+...+n^2$ thì làm thế nào?

Lời giải 3: Ta có:

$$ (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$

$$ n^2 - (n-1)^2 = 2(n-1)+1$$

$$...$$

$$2^2 - 1 = 2.1+1$$

Cộng theo vế lại thì ta có $(n+1)^2 -1 = 2S_1(n)+n \Rightarrow S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

Một cách chân thành thì lời giải thứ 3 này có vẻ xấu xí và dài dòng nhất. Nhưng nó lại là chìa khóa để có thể tính $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$ hay là $S_3(n) = 1^3+2^3+...+n^3$.

Vì vậy không hẳn một lời giải ngắn gọn đẹp mắt đã là tối ưu. Việc mở rộng bài toán có thể đưa đến cho chúng ta những ý tưởng mới mẻ hơn vì thế đừng nên hài lòng rằng lời giải đã chứng minh được cái mà ta cần chứng minh. Khi đọc một lời giải cần hiểu rõ ý nghĩa và tác dụng của nó như thế nào. Vì thế khi trình bày một lời giải trên diễn đàn cho người khác cũng nên chỉ cho họ thấy cách mà bạn đi đến lời giải hơn là chỉ việc chỉ ra quy nạp như lời giải đầu tiên.

Chúng ta quay lại với việc đặt câu hỏi. Đây là một kĩ năng rất quan trọng. Đa số trong chúng ta chỉ chú tâm đến việc giải toán hơn là đặt ra đề toán. Việc giải toán nó đơn thuần nằm ở kĩ năng, đôi khi một người giải toán tốt chỉ vì người đó có kĩ năng đặt ra những câu hỏi tốt. Có một sự thật là học sinh chúng ta giải rất nhiều bài IMO, nhưng gần như là không có đề thi IMO nào có đề bài do người VN đề xuất cả. Việc đặt ra những vấn đề đòi hỏi tầm nhìn và đôi khi đặt ra một đề toán hay nó còn khó hơn cả giải quyết vấn đề nữa. Hãy cùng xem xét một vấn đề đơn giản như hàm bậc 2 và parabol, thử xem là ta có thể đặt ra những câu hỏi gì?

Đầu tiên ta sẽ tự hỏi parabol là hình gì? Tính chất nó như thế nào? Khi đó ta sẽ suy ra tính chất của hàm bậc 2 dựa theo tính chất Parabbol! Đôi lúc mình còn tự hỏi là người ta định nghĩa Parabol từ trước rồi như hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật và rồi họ nhận ra hàm bậc 2 có dạng hình Parabol hay là cái hình thể hiện hàm bậc 2 được người ta đặt tên là parabol? Cần bao nhiêu điểm thì dựng được 1 parabol? Để xác định 1 hàm bậc 2 ta cần 3 tham số, vậy cần 3 phương trình để tìm ra 3 tham số, do đó khả năng là cần ít nhất 3 điểm để dựng được Parabol hoặc là biết điểm đáy Parabol và một điểm khác đáy thì sẽ dựng được! Ta thấy hình Parabol luôn đối xứng qua 1 trục, đồ thị của hàm bậc 2 thì trục đối xứng luôn thẳng đứng, vậy với 1 Parabol mà trục bất kì ko nhất thiết thẳng đứng thì cần ít nhất mấy điểm mới xác định được Parabol? Nhớ lại thầy cô khi vẽ parabol thường lấy 1 điểm đáy và 2 điểm đối xứng nhau thuộc đồ thị rồi vẽ 2 đường cong đối xứng tạo thành Parabol. Nhưng vấn đề là đường cong đó dựng như thế nào? Cong như thế nào mới chuẩn  )? Chúng ta thường vẽ rất cảm tính, thử tìm hiểu xem cơ sở để vẽ đường cong đó là như thế nào?

Thường khi nhắc đến 1 khái niệm mình thường nghĩ đến ví dụ điển hình của khái niệm đó. Ví dụ tập hợp $n$ phần tử thì thường nghĩ đến tập từ $1$ đến $n$. Tư duy trên những thứ cụ thể vẫn dễ hơn. Khi nhắc đến hàm bậc 2 mình thường nghĩ đến $x^2$ và khi nhắc đến hàm chẵn thì mình cũng nghĩ đến $x^2$. Nó đem lại 1 sự liên hệ nào đó và mình nhận ra bản chất của hàm chẵn là hàm số có đồ thị đói xứng qua trục $Oy$ và hàm lẻ thì là hàm số có đồ thị đối xứng qua tâm $O$. Parabol luôn có một trục thẳng đứng phải không? Vậy có nghĩa hàm bậc 2 được xem như là "chẵn" với một trục nào đó. $x^3$ là một hàm lẻ, vậy liệu với mọi hàm bậc 3 thì ta có luôn tìm được một tâm đối xứng cho đồ thị hàm đó hay không? Hàm bậc 4 thì sao?

Đấy cứ liên tục đặt câu hỏi như thế thì chắc chắn chẳng thiếu toán để làm rồi! Đôi khi chỉ từ 1 bài toán đơn giản bạn có thể mở rộng ra rất nhiều lí thuyết thú vị. Để đặt được câu hỏi, đôi lúc cần tầm nhìn ở vấn đề, tư duy nhận xét và rõ ràng là nó không đơn giản tí nào cả. Thay vì tạo ra 1 bài toán bằng cách kết hợp nhiều phương pháp, kĩ thuật rồi thêm bớt cho nó ra một vẻ ngoài ưa nhìn, đi từ lời giải ra đề bài. Bạn có thể chọn một bài toán mình thích, phát triển các yếu tố trong vấn đề và đặt ra một giả thuyết đẹp rồi cố gắng chứng minh nó. Cách đó tuyệt vời hơn rất nhiều!

Cuối cùng mình sẽ đề cập đến vấn đề liên tưởng trong việc học toán. Đôi lúc chúng ta có thể nhìn vấn đề này bằng một cách khác hoặc bằng những thứ khác giúp chúng ta dễ hình dung hơn và dễ xử lí hơn rất nhiều. Những ví dụ có thể các bạn đã biết đến như là việc biểu diễn một tập con của tập gồm $n$ phần tử bằng một xâu nhị phân độ dài $n$ hay việc giải phương trình Pell bằng cái nhìn của số phức.

Ngày trước khi vừa vào lớp 10 phải làm quen với những khái niệm về tập hợp, thực sự là khá mơ hồ và mình thử liên tưởng quan hệ giữa hai tập hợp giống như quan hệ chia hết giữa hai số (cứ thử hình dung ta chỉ xét những số có khai triển thừa số nguyên tố đều có lũy thừa cao nhất là 1 tức những số không có ước dạng $p^2$) bạn sẽ thấy có gì đó tương đồng. Khi đó phép hợp và giao của 2 tập hợp nó giống như phép lấy UCLN và BCNN giữa 2 số vậy. Ở một khía cạnh nào đó bạn sẽ thấy có mối tương đồng giữa 2 phép toán này:

$$ a.b = UCLN(a,b).BCNN(a,b)$$

$$ |A| + |B| = |A \cap B| + |A \cup B|$$

Một ví dụ khác $a$ chia hết cho $b$, $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ chia hết cho $c$. Ta có thể thấy tương ứng bên tập hợp là $A$ chứa $B$, $B$ chứa $C$ thì $A$ chứa $C$.

Từ đó có thể từ tính chất của phép chia hết suy ra những tính chất của tập hợp (chiều ngược lại thì chưa chắc nhé!).

Trên đây mình đã đề cập 3 vấn đề chính là hiểu bản chất lời giải, phát triển vấn đề bằng cách đặt câu hỏi và nhìn nhận vấn đề bằng sự liên tưởng. Mình cũng đã lựa chọn đưa ra những vấn đề đơn giản để làm ví dụ cho các bạn dễ hiểu. Hi vọng là các bạn tìm thấy một chút gì đó thú vị hay là một chút cảm hứng gì đó từ bài chia sẻ này.

Qua đây mình cũng muốn chia sẻ thêm một chút với các bạn về tư tưởng khi các bạn tiếp cận với toán. Theo quan điểm cá nhân của bản thân mình thì tư duy sáng tạo nằm ở khả năng suy nghĩ critique, còn tư duy logic thì nằm ở kĩ năng nhiều hơn. Ở nước ta, việc thi cử và thành tích luôn được chú trọng, có quá nhiều những nơi luyện thi hay những tài liệu để rèn kỹ năng giải toán cho các bạn, nhưng không nhiều nơi dạy cho bạn cách tư duy phản biện. Đôi lúc cách tư duy phản biện của chúng ta có hình thành và tiến bộ nhưng có lẽ nó hơi vô thức. Các bạn cần ý thức để cải thiện việc này một cách chủ động. Đó là lí do vì sao mình luôn nhấn mạnh việc cần phải đặt những câu hỏi vì sao và cần phải hiểu những điều cốt lõi của vấn đề. Cách tư duy này không chỉ giúp cho các bạn mỗi việc làm toán, nó là nền tảng để các bạn có thể tư duy mọi vấn đề trong tương lai. Nên nhớ việc bạn giải thật nhiều bài toán hơn so với phần còn lại, không quan trọng bằng việc bạn tư duy khác biệt so với phần còn lại.

Với cá nhân mình nghĩ thì điều quan trọng nhất đó là các bạn phải tìm thấy được niềm vui khi học toán và học toán chỉ để vui chứ chẳng vì cái gì cả. Khi mình bước vào cấp 3 thì đó là điều mà mình không thể làm được nữa và rồi mình phải từ bỏ toán. Bởi vì ở môi trường ở Việt Nam, chúng ta quá bị áp lực bởi thành tích, nhưng chung quy đó không phải là thứ quan trọng nhất. Mình khuyên các bạn trẻ hơn đang tuổi học toán trên ghế nhà trường, các bạn nên xem việc học toán chỉ đơn giản như là niềm vui, niềm đam mê của bản thân thôi, đó không nên là thứ để ganh đua thành tích. Việc chia sẻ những gì bản thân bạn biết với người khác cũng là một thứ cần thiết. Không chỉ toán mà trong bất kì một lĩnh vực nào, các bạn nên tìm cho mình 3 người. Người thứ nhất giỏi hơn bạn, để bạn học hỏi từ họ mà tiến bộ, người thứ 2 cùng đẳng cấp với bạn để mà bạn cùng rèn luyện hỗ trợ nhau để tiến bộ và người người thứ 3 không giỏi bằng bạn, để bạn giúp đỡ chỉ bảo giải thích cho họ, bạn chưa thực sự hiểu rõ vấn đề nếu bạn chưa thể giải thích sao cho người khác hiểu, đó cũng là cách để bạn hiểu rõ hơn những thứ mà bạn đã biết và nó cũng sẽ giúp bạn tiến bộ.

Chúc các bạn có những thành công và luôn tìm được niềm vui với môn Toán và nếu có thể các bạn nên viết chia sẻ cách các bạn học toán với mọi người bởi nếu các bạn chưa thể giải thích cho người khác bạn học như thế nào thì hẳn là bạn vẫn chưa hiểu rõ cách mà bản thân mình học toán hehe.

Phải thừa nhận một điều với anh là em cũng vậy, lúc nhỏ chỉ cắm cuối làm các câu trong sách giáo khoa và sách bài tập, khi đó nhà em cũng không có mạng để học tập, cũng chỉ cài các cuốn sách Vũ Hữu Bình trong thư viện. Đến tận mãi khi em vào cấp 3, em mới biết đến mùi của các tạp chí nổi tiếng như Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ, mới biết thế nào là nguyên lý Dirichlet, và mới bắt đầu biết đến các kì thi dành cho các cao thủ như Olympic 30/4, VMO hay IMO. Và đến cuối năm lớp 11 em mới biết đến các diễn đàn nổi tiếng như diendantoanhoc.net, mathlinks.ro.

  Nói về Toán học, em thấy nó khá là hay, em rất thích lối học kiểu suy ngược, tức là từ một vấn đề cho trước, ta khai thác mọi khía cạnh từ chúng để rồi vỡ òa trong nó là một bầu trời kiến thức, đặc biệt lúc nhỏ em rất thích mò mẫm các bài hình học lớp 7, vì nó rèn chúng ta năng lực tưởng tượng hình để kẻ thêm đường phụ rồi giải quyết bài toán. Và chính cách suy luận ngược này, đã làm em cảm thấy toán bắt đầu hay ho và nhiều điều mới lạ.!!!

Đúng vậy, cách suy luận ngược anh cũng hay dùng trong các bài toán chứng minh. Cái này giúp chúng ta tìm ra được thêm nhiều tính chất tương đương nhau, tức là có cái này sẽ suy ra cái kia. Vì thế chỉ cần chứng minh được một trong các tính chất có thể giúp mình có được cả một bộ! Cách này cho chúng ta một cái nhìn tổng quan và liên kết vấn đề, giúp tầm nhìn chúng ta tốt hơn. Đó là cơ sở để em dự đoán những cái mới và hiểu vấn đề một cách sâu sắc hơn. Có thể khi đưa ra lời giải các bài toán trên diễn đàn, em có thể trình bày trình tự cách em tư duy và những tính chất mới em suy ra, như thế sẽ giúp các bạn khác nhiều hơn. Cảm ơn em vì đã chia sẻ cách học toán của em.