$a^3(c-b^2)+b^3(c-a^2)+c^3(a-b^2)+abc(abc-1)=(a^2-b)(b^2-c)(c^2-a)$

 $$ Bai22:Sách nâng cao phát triển

1/a+1/b+1/c=1/a+b+c suy ra 1/a=1/a+b+c-1/b-1/c r tiep tuc lam not nhe
1a+1b+1c=1a

Đặt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}\Rightarrow a+b+c=x$

Xét $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow x(ab+bc+ac)=abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc$

$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Nên luôn có ít nhất 2 số đối nhau

Giả sử 2 số là $a$ và $b$ . Thay $b=-a$ ta có 

$\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{(-a)^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}$ với n lẻ

Tương tự $\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n+(-a)^n+c^n}=\frac{1}{c^n}$ với n lẻ

$\Rightarrow đpcm$

P/s : Mình nghĩ n phải lẻ chứ nếu n chẵn và n>0 ta luôn có $a^n=(-a)^n$ thay vào ta thấy trái với đề bài

Cần gì đặt 1/a+1/b+1/c=1/x làm gì,mà n lẻ đấy đề thiếu rồi

Cộng vào rồi dùng hằng đẳng thức a^3+b^3 nhé

Ta có:$ab+cd=ab.1+cd.1=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=abc^2+abd^2+cda^2+cdb^2=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)=bc.0+ad.0=0$

=>đpcm

 

có thay ngược lại được không bạn

Ta chứng minh $x + y = 0$ (*)

Một cách để làm điều đó là nhân lần lượt các biểu thức khác 0: $\sqrt{2014 + x^2} - x$ và $\sqrt{2014 + y^2} - y$ vào hai vế của đẳng thức đề cho

Khi đó sẽ thu được hai đẳng thức mới, mà từ đó rút ra điều phải chứng minh

 

Chứng minh (*) xong, ta sẽ có ngay $A = 0$

Viết hết ra được không ạ

Thay x+y+z vào biểu thức rồi pt đa thức thành nhân tử như trên ra(trong sách nâng cao và pt toán 8)

Cho a,b,c dương và $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{a

Sai đề chắc

Sử dụng dirichle

Hình như là dùng fecma nhỏ

a.Ta có: $a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^{5}=-c^{5}$

Thay vào ta có:$-c^{5}=a^{5}+b^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}

\Leftrightarrow a^{5}+b^{5}+c^{5}+5ab(a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3})=0

\Leftrightarrow a^{5}+b^{5}+c^{5}-5ab(c(a^{2}-ab+b^{2})+2ab)=0

\Leftrightarrow 2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(2a^{2}+2b^{2}+2ab)

\Leftrightarrow 2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Bạn viết hẳn ra được không?

Nhị thức newton có từ lớp 8 mà

Ta có: $n^{3}-7n=n(n^{2}-7)$.

Sau đó xét số dư khi chia $n$ cho $2,3$. Ta sẽ được dpcm.

Cách của bạn Dung Dang Do hay hơn

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

suy ra 4A=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+...+n(n+1)(n+2)((n+3)-(n-1))

=1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1).n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)

$4A+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^{4}+6.n^{3}+11.n^{2}+6n+1=(n^{2}+3n+1)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{4A+1}=n^{2}+3n+1$

đpcm.

n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2) rồi đặt ẩn phụ ra

Bài 4:$a+\frac{1}{a}\in Z<=>(a+\frac{1}{a})^n\in Z<=>a^n+\frac{1}{a^n}+\sum C_{k}^{n}.a^i.\frac{1}{a^{n-i}}=a^n+\frac{1}{a^n}+\sum C_{k}^{n}.a^{i-2}\in Z$

 

mà $\sum C_{k}^{n}.a^{i-2}\in Z=>a^n+\frac{1}{a^n}\in Z$

Bạn viết để mình hiểu được không, mình đang học lớp 8

 

Cho mình thử cách này nhé!   

Xét p=2 ta có:$2p^{3}-3=13$ thỏa mãn

              $2p^{3}+3=19$ thỏa mãn

    p=3 thì ko thỏa mãn

Xét p$> 3$ , vì p nguyên tố nên p có dạng 2k+1(trừ 3)

    ta có $2p^{3}-3=2\left ( 2k+1 \right )^{3}-3$

                   $=16k^{3}+24k^{2}+12k+1$

                   $=3\left ( 5k^{3}+8k^{2}+4k \right )+k\left ( k-1 \right )\left ( k+1 \right )\vdots 3$

     $\Rightarrow ko  phải  số  nguyên  tố$

 Vậy p=2

 

Cách hay đấy, tks

Sử dụng đồng dư ra bạn

Câu 2: Cũng dùng pp lùi vô hạn

 

Giả sử x, y, z đều lẻ. Khi đó, vế trái của pt lẻ, vế phải của pt chẵn, vô lý.

 

Vậy tồn tại một số chẵn trong x,y, z. Giả sử đó là x.

Khi đó đặt x = 2x', thay vào pt có $y^{2} + z^{2}$ chia hết cho 4 (*)

 

Ta có bổ đề: Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 và 1.

 

Vậy từ (*) ta suy ra cả y và z đều phải chẵn. Khi đó đặt y = 2y' và z = 2z'

 

Ta thu được: $x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} = 2x'y'z'$

 

Như vậy, tiếp tục, ta có thể cm được x, y, z chia hết cho $2^{k}$ với k nguyên dương tùy ý.

Từ đó, pt có nghiệm nguyên duy nhất: (x; y; z) = (0; 0; 0)

Cảm giác bạn thiếu cái gì đó thì phải

Cho hình bình hành ABCD,E thuộc BC.Gọi A',B',C' là chân đường vuông góc kẻ từ A,B,C xuống DE. Chứng minh rằng AA' = BB' + CC'

Bạn có thể ví  dụ không

Sử dụng Dirichle

nếu như thế mới chỉ có 8 cây phải có 9 cây cơ

Tưởng là 9 mà

đánh dấu các thỏi vàng chia thành 2 nhóm. 

Nhóm 1: từ 1 đến 5

Nhóm 2: Từ 6đến 10

bỏ thỏi 1 và thỏi 6 lên cân nghiêng về bên nào thì bên đó là vàng giả tiếp tục như vậy cho đến khi nào cân hết thăng bằng bên nào nặng thì ta tìm được thỏi vàng giả

Có 1 lần cân thôi

Sử dụng dirichle