1. Họ tên: Nguyễn Phi Long

2. Sinh năm: 03/06/2005

3. Nghề nghiệp: Học sinh lớp 10 Toán THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa

4. Địa chỉ Mail/ Số điện thoại liên lạc (nếu có): [email protected] / 0772428926

5. Nick trên Diễn đàn: pcoVietnam02 

6. Vị trí muốn đăng kí: Biên tập viên

7. Ý kiến thêm: Acc cũ của em bị xóa và không phục hồi lại được nên em chuyển sang nick này. Em thấy các bạn có nhu cầu kiếm những tài liệu về phương trình hàm số học, tổ hợp v.v. thì em xin đăng kí vào chức vụ này vì em từng là 1 moderator của AoPS nên cũng có nhiều kinh nghiệm và nhiều chuyên đề hay muốn cho các bạn. Em muốn giúp diễn đàn phát triển và thực hiện mong mỏi của em là giải được hết các bài toán trên diễn đàn này để mọi người coi đây là một diễn đàn bổ ích và tin cậy. 

Gợi ý: 

Gọi $P(x,y)$ là các phép thế của phương trình hàm trên

$P(1;1) \Rightarrow f(f(1)-1)=0$

$P(1; f(1)-1) \Rightarrow f(1)(f(1)-1)=0$ 

Chỗ này vì sao lại đặt $y=f(1)-1$ là vì mình muốn triệt tiêu cái $f(f(x)-y)$ và $f(x^2)$ đi vì nó khá là vướng thì để làm vậy ta cần

$f(x)-y=x^2 \Rightarrow y=f(x)-x^2$ , cho $x=1$ thì được phép thế trên. Mình đặt bằng 1 vì mình cần đưa về hệ thức $f(1)$ để làm việc cho dễ vì có đk $f(1)>0$ và quả thực ta có biểu thức như trên và ta suy ra $f(1)=1$ .

$P(1;0) \Rightarrow f(0)=0$

$P(0,x) \Rightarrow f(-x)=f(x)$ là một hàm chẵn

$P(1,x) \Rightarrow f(x-1)=1-2y+f(x)$ (1)

Từ (1) và $f(0)=0$ , $f(1)=1$ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n^2$, $\forall n \in \mathbb{N}$

Hint: $f(k+1) = f(k)+2(k+1)-1 = k^2+2k+1 = (k+1)^2$

Hơn nữa ta lạ có $f$ là một hàm chẵn nên $f(x)=x^2$ , $\forall x \in \mathbb{Z}$

Thử lại thấy đúng

Bài 88: a) Tìm x;y;z nguyên sao cho $x+y+z=xyz$            

Bài này dễ nên mình gửi luôn bài mình đã làm từ lâu ở AoPS

About equation $x+y+z=xyz$ we can solve in this way.

Bài 89: Tìm n nguyên dương và các số nguyên tố $p_{1};p_{2};...;p_{n}$ thỏa $(p_{1}-1)^{2}(p_{2}-1)^{2}...(p_{n}-1)^{2}\mid (p_{1}p_{2}...p_{n})^{2}+1$

$+TH_{1}$: $n=1$

Nếu $p = 2 \Rightarrow 1|2^2+1$ (đúng)

Nếu $ p\geq 3 \Rightarrow$ $VT \vdots 4$ , $VP \vdots 2$ , nhưng lại không chia hết cho 4 nên vô lý

$+TH_{2}$: $n \geq 2$

Nếu chứa $p_{i} = 2$ thì $VT$ chẵn , $VP$ lẻ nên vô lí

Nếu $p_{i}$ lẻ thì $VT \vdots 2^n$ mà $n\geq 2$ $VT \vdots 4$, còn $VP$ chia 4 dư 1,3 nên cũng vô lí

Vì vậy chỉ có 1 đáp án duy nhất là $n =1$ , $p=2$

Xin chào, mình là pcoVIetnam02 . Có một số bạn đã biết, mình từng làm một chuyên đề phương trình hàm trên tập rời rạc nhưng sau đó vì diễn đàn bảo trì nên topic cũng không cánh mà bay. Và vì các bạn cũng bắt đầu thi Olympic 30/4 rồi nên mình sẽ làm luôn một chuyên đề về phương trình hàm trên tập số thực với khá là nhiều cách giải khác nhau để các bạn có thể trang bị cho kì thì VMO sắp tới. Yêu cầu rất đơn giản:

$1)$ Tích cực tham gia, bàn luận và giải các bài toán mình đưa ra (tất nhiên sẽ có bài dễ nhưng mà lâu lâu thôi, vì sắp thì VMO rồi nên mình sẽ coi như các bạn đã biết được cơ bản của phương trình hàm).

$2)$ Ủng hộ các bạn đưa ra cách làm của bài đó, phương pháp, trình bày rõ ràng mạch lạc.

$3)$ Nếu muốn gửi bài tập cho các bạn khác cùng làm nhớ ghi số thứ tự (sau số của bài cuối cùng được đăng), đăng khoảng từ 1-5 bài và nếu không ai giải được (mình sẽ cố gắng giải cho các bạn) thì người đăng phải gửi lời giải của bài đó. 

Mong các bạn sẽ hưởng ứng vì chuyên đề này không mấy ai quan tâm, thêm cả việc không quá nhiều người học THPT ở group này nên cũng khó khăn cho mình. Nhưng vì đam mê thì làm thôi chứ biết sao   

Sau đây là những bài tập đầu tiên (lấy lại từ những bài trước mình đã làm): 

$\boxed{1}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa 

$g(x+y)+g(x)g(y)=g(xy)+g(x)+g(y)$ , $\forall x,y\in \mathbb{R}$

$\boxed{2}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 +y$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

$\boxed{3}$ Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ , $\forall x,y\in \mathbb{R^+}$

Mình sẽ cho các bạn đáp án trước và gợi ý nhỏ của các bài sau:

$\boxed{1}$ $f(x)=0 , f(x)=2 , f(x)=x$

Gợi ý: Đặt f(1)=a , sau đó các bạn cố gắng tính giá trị của $a$ bằng các phép thế. Rồi chia trường hợp và giải.

$\boxed{2}$ $f(x)=x$ , $f(x)=-x$

Gợi ý: Bài này dễ ở chỗ các bạn chỉ cần thế thôi là sẽ có đáp án. Tuy nhiên nó chưa phải là đáp án cuối cùng của bài toán nên cần lập luận một chút để khẳng dịnh hai phương trình hàm trên thỏa.

$\boxed{3}$ $f(x)= \frac{1}{mx +c}$ ($m,c$ là các hằng số)

Gợi ý: Phần đầu của bài này tương đối dễ khi các bạn có thể dễ dàng đặt sao cho đưa về dạng phương trình hàm Jensen:

$f(\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2}$. Tuy nhiên phần sau lại không dễ vì bạn phải giải phương trình hàm Jensen trên tập $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$

Đề cho x,y,z nguyên chứ không phải nguyên dương đâu bạn

Bài này nếu nguyên sẽ vô số nghiệm vì ta sẽ dễ dàng lấy nghiệm $(n;0;-n)$ và các nghiệm khác như $(1;2;3)$ , $(-1;-2;-3)$

Đây là một bài khá thú vị dành cho các bạn học sinh lớp 10 đã học về dãy số:

$\boxed{4}$ Cho các hàm $f:\mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(n+1)=f(n-1)-f(n)$ , $f(1)=1$ , $f(2)=0$ 

Chứng minh rằng: $|f(n)| \leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

bài này là dãy mà

Đúng rồi nhưng bài này là phương trình hàm nhưng lại sử dụng phương pháp tuyến tính sai phân cấp 2 thôi. Bạn làm thử đi 

Khác chứ. Nhưng lời giải của nó khá khó nên anh khuyên em nên thử sức với 2 bài đầu tiên

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi 

Bài này là đa thức nhưng mà sử dụng phép thế chứ không liên quan đến phương trình hàm lắm. Nhưng nếu bạn có đáp án thì gửi luôn để mọi người tham khảo còn nếu không thì mình sẽ giải cho.

Em làm hơi dài:

Suy ra $f(x)^2=x^2$.

Do đó ta có f(1) = 1 hoặc f(1) = -1.

+) TH1: f(1) = 1: Thay x = 1 vào (*) ta có $f(f(y)+1))=y+1$.

Nếu tồn tại y khác 0 sao cho $f(y)=-y$ thì $f(-y+1)=y+1$. Rõ ràng $f(-y+1)=-y+1$ hoặc $y-1$ khác $y+1$.

Từ đó với mọi y khác 0 ta có $f(y)=y$. Thử lại thấy thỏa mãn

+) TH1: f(1) = -1: Tương tự ta có $f(y)=-y$ với mọi $y\neq 0$.

Vậy $f(x)=x;f(x)=-x$.

Chính xác rồi đó. Nhưng khúc này ta có thể làm theo cách này nhanh hơn: 

Giả sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=-a, f(b)=b$. Ta chứng minh khi thế vào phương trình hàm đề bài thì $a=0, b=0$. Điều đó cho ta nhận cả hai hàm như trên. Việc còn lại ta chỉ cần thay vào là xong thôi

có f(n+1)=f(n-1)-f(n) mà f(n)=f(n-2)-f(n-1)

=> f(n+1)=2f(n-1)-f(n-2)

=>f(n+1)=2f(n-3)-3f(n-2)

=>f(n)=(-1)^k(F_k+1f(n-k)-F_kf(n-k-1))

=>f(n)=(-1)^n-2(F_n-1f(2)-F_n-2f(1))

=>f(n)=(-1)ⁿF_n-2

lim ra vô hạn mà mn

Bài này mình sẽ giải theo hướng phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Đầu tiên tính nhẩm $f(3)=-1$. Ta nghĩ ngay đến phương pháp dãy số, vì dãy trên nếu nhẩm nhiều giá trị $f$ sẽ cho ra dãy khá giống với dãy Fibonacci. 

Đặt $f(n) = u_{n}$

Ta sẽ có được $u_{n+1} - u_{n} +u_{n-1} = 0$

Phương trình đặc trưng: $\lambda ^2- \lambda +1=0$

Suy ra sẽ có nghiệm $\lambda = \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\imath$

Do đó $u_{n} = A cos (n \frac{\pi}{3}) + B sin (n \frac{\pi}{3})$ 

Thay $n=1$ , $n=2$ rồi giải hệ ta được $A=1$ , $B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Vậy $f(n) =  cos (n \frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{3}sin (n \frac{\pi}{3})$

Còn ý chứng minh bất đẳng thức kia dễ, các bạn tự làm. 

$\boxed{8}$ (Olympic 30-4): Tìm tất cả hàm số $f:(0;+\infty)\rightarrow(0;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện: $f(x+f(y))=xf\left ( 1+f\left ( \frac{y}{x} \right ) \right )$.

Một số bài tập mới cho mọi người: 

$\boxed{9}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

$f(1-x)=1-f(f(x))$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

$\boxed{10}$ Tìm tất các hàm $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ thỏa

$f(1+xf(y))=yf(x+y)$ , $\forall x,y \in \mathbb{R^+}$

Đáp án và gợi ý câu 6 và 7: 

$\boxed{6}$ $f(x)=x$ và $f(x)=-x$

Gợi ý: Đưa về dạng $f(x)f(y)=xy$ để có được $f(x)=\frac{1}{c}x$ rồi sau đó thay vào ta được $c=1$ hoặc $c=-1$ 

$\boxed{7}$ $f(x)=0$ 

Gợi ý: Sử dụng phương pháp CDE (thêm biến) để dễ dàng hơn trong việc đổi vị trí các biến để có được: 

$f(x+y)=f(x)+f(y)-c$

Tới đây đặt $g(x)=f(x)+c$, ta có được hàm Cauchy. Do đó $f(x)=mx-c$ . Thay vào phương trình hàm đề bài ta có $m=0 , c=0$

Vậy $f(x)=0$

Câu 2: Đặt $f(t)=t^2$ , $g(t) = t+2$   

Giả sử $x = max${$x,y,z$}

Ta có được $x\geq z$ và $x \geq y$ 

$g(x) \geq g(y)$ và $g(x) \geq g(z)$ (vì $x,y,z \geq 0$ nên $f(t) , g(t)$ đồng biến trên $[0; \infty)$ )

Suy ra $g(x) \geq f(x)$ và $g(z) \leq f(z)$

Giải 2 cái bất phương trình trên được $-1 \leq x \leq 2$ với lại $z \geq 2$ hoặc $z \leq -1$

Kết hợp các điều kiện trên ta có $x=z=2$ hoặc $x=z=-1$ 

Thay vào cũng được $y=2$ hoặc $y=-1$

Vậy $x+y+z$ là số nguyên.

Bài 4a: Bài này có thể giải được nếu ta lập luận, sử dụng phép chọn

Ta có $a^2+3b^2=7^9$

$\Leftrightarrow a^2-4b^2+7b^2=7^9$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a+2b) = 7(7^8-b^2)$

Ta có thể chọn $b=7^4$ để $VP=0$ thì ta sẽ có $a=2b$ do đó $a=2.7^4$

Như vậy ta đã chọn được 2 số nguyên dương $a,b$ sao cho thỏa mãn YCBT.

Ơ em tưởng hàm Cauchy có nghiệm nhiều hơn như thế nữa chứ

Mình xét hàm cộng tính nha em, nên nó sẽ là $f(x)=cx$ , $c$ là hằng số

Bài tập tiếp theo (bài này mới thấy đăng nhưng mà hình như xóa mất tiêu, định up lời giải lên nhưng thôi gởi lên đây vì thấy cũng hay) :

$\boxed{11}$ Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục $ f: [0; \infty) \rightarrow [0; \infty)$ thỏa:

Ảnh mới up trước đây luôn

Lời giải có thể có vấn đề vì nếu x, y, z là ba nghiệm phân biệt của phương trình $t^3-3t+1=0$ theo thứ tự nào đó thì cũng thỏa mãn hệ đó.

Câu 2: $2)$ (Cách 1) $(q+p)^p = (q-p)^{2q-1}$ (1)

Dễ dàng thấy được  từ phương trình (1).
Gọi $d=GCD(p;2q-1)$. Vì $d|p$ và $p$ là số nguyên tố, ta có $d=1$ hoặc $d=p$.
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1: $d=1$. Do đó tồn tại 2 số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho.
.
Do đó từ phương trình (2)
,
hay nói cách khác là $4^{q-1}<q$, điều này là không thể vì $q \geq 3$. Điều mâu thuẫn này dẫn đến phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp 2: $d=p$. Do đó tồn tại một số nguyên dương  sao cho: $2q-1=(2r+1)p$. Vì vậy từ phương trình (1) ta có
.
Hơn nữa ta lại có:
 và ,
thay vào phương trình (3) ta sẽ có:
.
Đặt . Từ phương trình (4) ta có:
, vì vậy ta lại có thêm được
,
Suy ra $p|3$, hay $p=3$, là một nghiệm của phương trình (5). Do đó , suy ra $q=5$.
Nên $(p,q)=(3;5)$ là nghiệm của phương trình (1).
Giả sử $r \geq 2$. Từ phương trình (4) suy ra
,
điều đó cho ta được 
.
Vì vậy phương trình trên vô nghiệm với $r \geq 2$.
Vậy $(p,q)=(3;5)$.

Mình nghĩ không cần dài vậy đâu 

Xét p khác q; để ý ta thấy (p-q; p+q)=2 mà theo đề bài thì p+q và p-q phải có cùng tập ước nguyên tố nên... (đoạn này mình xin gợi ý thế thôi ) 

Xét q=p ; cái này thì dễ rồi ...

Vì vậy nên mới có cách 2 ngắn hơn, chẳng qua mình đợi cmt của các bạn thôi

Câu 2: $2)$ (cách 2)

Cũng dễ thấy $q>p$ do đó $(q-p)^{2q-1} \vdots (q-p)^p$

$\Rightarrow (q+p)^p \vdots (q-p)^p$

$\Rightarrow (q+p) \vdots (q-p)$ 

$\Rightarrow 2q \vdots (q-p) $

Mà ta lại có $(q, q-p) = 1$ nên $2 \vdots (q-p)$

Suy ra $q-p = 2 \Rightarrow q=2+p$

Thay vào đề bài ta được $(2p+2)^p = 2^{2p+3}$

$\Rightarrow (p+1)^p=8.2^p$

Vì thế nên 8 phải là lũy thừa mũ $p$

$8=2^3 \Rightarrow p=3$.

$\Rightarrow q=5$

Vậy $(p,q)=(3;5)$

Xin chào, mình là pcoVienam02. Như các bạn có thể thấy thì hiện tại trên Diễn đàn đang có nhiều TOPIC, nhưng mà nó có thể làm các bạn học hơi khô khan. Nên mình sẽ cải biến TOPIC thành một loại mới, chính là Marathon.

Vậy Marathon là gì?

Marathon (mình sẽ lấy format từ diễn đàn mình đang làm việc - AoPS), gồm 2 thể loại chính:

+ Marathon loại 1 tức là người đăng chủ đề sẽ gửi bài toán đầu tiên (bài toán gốc). Người nào giải được bài toán gốc sẽ tiếp tục đưa ra câu hỏi thứ hai để những người giải được sau đó sẽ đưa ra câu hỏi tiếp theo, và cứ liên tục như thế.

+ Marathon loại 2 là người đăng chủ đề sẽ là người chấm điểm, và có nhiệm vụ gửi các bài toán theo thứ tự (mỗi lần 1 bài), ai giải được sẽ được 1 điểm (người giải sớm nhất). Nếu ai giải sai mà có người chỉ được điểm sai sót trước khi người đăng đáp án bài đó nhận ra sẽ được 0,5đ. Sau một số hữu hạn bài (thường là 100-200 bài) thì ai có số điểm cao hơn thì sẽ chiến thắng. 

Thì loại 1 chỉ mang tính chất học hỏi và cũng có khá nhiều rủi ro vì nếu có người gửi bài quá khó thì Marathon coi như chấm dứt. Vì vậy dựa trên tình hình diễn đàn thì mình sẽ tổ chức Marathon loại 2 cho các bạn vì mục đích vừa học hỏi vừa có sự thi đua giữa các bạn của 3 miền Tổ Quốc. 

*Lưu ý: Thời hạn giải mỗi bài là 2 ngày. 

Để khai mạc kì Marathon phiên bản mới mình sẽ 'khui' bài tập đầu tiên (khá dễ):

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa