Ở trường em từ khóa K64 không còn dạy môn đại số giao hoán, mà đây là một môn nền tảng cho những kiến thức sau này nên em muốn viết một series tổng hợp các kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán dựa trên cuốn Introduction to Commutative Algebra của Atiyah. Em có một số thắc mắc mong được các anh chị giải đáp:
Hiện tại có ai trên diễn đàn từng viết một nội dung tổng hợp như vậy chưa ạ?
Các chứng minh cho các định lí và mệnh đề có cần chứng minh chi tiết không ạ?
Có thể đưa các bài tập trong sách vào được không ạ? Vì có rất nhiều bài tập hay có thể thảo luận ạ.
Ngoài ra em rất mong nhận được thêm các góp ý ngoài các câu hỏi trên vì em là lính mới trên diễn đàn VMF ạ :3
Em xin cảm ơn trước ạ.
Ai cũng đều gặp khó khi mới học đại số giao hoán, nhưng những nội dung đại số giao hoán trong box toán hiện đại chỉ là về cụ thể một khía cạnh nào đó của đại số giao hoán nên giả sử tổng hợp lại theo nghĩa viết lại tất cả những gì trong Atiyah thì chưa ai làm.
Trước khi trả lời tiếp hai câu hỏi của em thì bài em vừa đăng gây hiểu nhầm cho anh là mở rộng/ hạn chế ideal là cả một chủ đề em muốn đăng ( mà thực ra nó đúng là một chủ đề), nhưng trong đó lại không có một insight hay câu hỏi nào cả nên anh không hiểu em đang làm gì. Còn nếu em đăng tổng hợp thì hãy viết luôn chủ đề là đại số giao hoán. Từ đó em cứ thoải mái đăng lên.
Hai câu hỏi tiếp theo anh nghĩ có lẽ những ai cũng đang học đại số giao hoán trả lời thì tốt hơn.
Ý kiến thêm: có lẽ em cần mục đích rõ ràng hơn cho việc tổng hợp. Đại số giao hoán có kích thước rất lớn, nhưng cày cuốc kiến thức cơ bản để học cái khác thì lại ngắn (tiêu chuẩn là một kỳ học, tự cày thì chắc hết 6 tháng - 1 năm, trước đây anh tự đọc thì bỏ hẳn 3 chương trong Atiyah: Artin rings, completion, dimension). Nên anh nghĩ nếu bài tổng hợp này mục tiêu chỉ là để giúp em thì chắc không giúp gì nhiều. Anh nghĩ em chỉ cần đưa thắc mắc cụ thể về lý thuyết và bài tập lên, và có thể đọc song song với lý thuyết số để lấy motivation. Chẳng hạn như quyển sách này của Milne https://www.jmilne.o...seNotes/ANT.pdf
- Đây là tôi kể lại những việc làm của cá nhân tôi từ cách đây gần 60 năm về trước. Vậy nó hoàn toàn trái ngược với những gì bạn thấy ở VIASM như thế nào?
- Từ kinh nghiệm của bản thân tôi có thể rút ra kết luận là "muốn nhà máy tự áp dụng được vận trù học thì phải có phương pháp giải rất đơn giản và nhà máy phải có người làm được dễ dàng các vấn đề này" và"Muốn áp dụng vận trù hoặc bài toán tối ưu vào thực tế sản xuất kinh doanh phải có cách giải rất dễ dàng nhanh chóng thì dần dần mọi người mới có thể tiếp thu và dần thấy toán học rất cần cho họ". Ý kiến của bạn thế nào?
- Vận trù học đã có ở nước ta từ hơn 60 năm về trước, đến nay nó đã lớn mạnh như thế nào? Như vậy là nó phát triển nhanh hay chậm?
Rất mong nhận được câu trả lời của bạn.
Cháu không phải trẻ con nên bác đừng có đánh lạc hướng kiểu như vậy bác ạ. Nếu đến mai bác vẫn không đưa ra được bằng chứng nào thì cháu sẽ xoá bài bác ạ.
Cháu nói thực là bác viết không có đầu có đuôi gì cả. Cháu không có thời gian để cố gắng đọc để hiểu ý của người khác, vì bác có dành thời gian của mình để giúp người đọc đâu để cháu dành thời gian cho bác ?
Chủ đề này mình sẽ không xoá vì giờ có chứa các thông tin khác.
Xin trả lời bạn Nxb như sau:
Bài của tôi là về làm thế nào để việc áp dụng vận trù học ở Việt Nam được tốt hơn, không phải là ở nơi nào khác trên thế giới. Câu trả lời của tôi và hỏi lại bạn cũng là về áp dụng vận trù học ở Việt Nam. Không biết tại sao bạn lại viết: "Cháu không phải trẻ con nên bác đừng có đánh lạc hướng kiểu như vậy bác ạ". Nếu bạn không biết gì về tình hình áp dụng vận trù học ở Việt Nam thì tốt nhất nên viết là không biết, không nên trả lời kiểu như vậy.
Thông tin này hoàn toàn trái ngược với những gì mình thấy ở VIASM. Nếu bác không đưa ra được dẫn chứng là vận trù học không được áp dụng nhiều vào thực tế như những năm 1960 trong 48h tới thì mình sẽ xoá bài này để tránh lan truyền fake news.
Thay $x=0,y=a$ vào (1) ta có $f(0)=a+\varphi(f(0))$.
Thay $x=a;y=0$ vào (1) ta có $f(\varphi(a)+f(0))=0=f(a)\Leftrightarrow \varphi (a)+f(0)=a$.
Mặt khác $\varphi(f(0))\geq 0$ và $\varphi(a)\geq 0$ nên $f(0)=a\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$.
Từ đó thay $x=0$ vào (1) ta có $f(f(y))=y,\forall y\in\mathbb R$.
Thay $y=0$ vào (1) ta có $f(\varphi(x))=\varphi(f(x)),\forall x\in\mathbb R$.
Do đó ta có thể viết lại phương trình hàm đã cho thành $f(\varphi(x) + f(y))=f(f(y))+f(\varphi(x)),\forall x,y\in\mathbb R$.
Mà $f$ là toàn ánh nên $f(\varphi(x)+y)=f(y)+f(\varphi(x)),\forall x,y\in\mathbb R$.
Đến đây nên xử lí như thế nào nhỉ
Ta có thể giải tiếp như sau. Do $\phi$ có ảnh là toàn bộ tập số thực không âm nên phương trình cuối có thể viết lại thành $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với $x$ không âm và $y\in \mathbb{R}.$ Do đó, $f(x)+f(-x)=f(0)=0$ hay là $-f(x)=f(-x)$ với $x\geq 0.$ Với $x<0$ thì $f(x)=f(-(-x))=-f(-x).$ Như vậy $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}.$ Điều này và $f(f(y))=y$ dẫn tới $f(x)=\pm x$ với mọi $x\in \mathbb{Q}.$ Do $f(\phi(x))=\phi(f(x))$ nên $f(x)\geq 0$ với $x\geq 0.$ Từ đó ta có $f(x)=x$ với $x\in \mathbb{Q}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, chọn một dãy $\{x_n\}$ các số hữu tỷ sao cho $x_n\to x.$ Phương trình $f(f(y))=y$ dẫn tới $f(x_n)\to x$. Do đó phương trình $f(\phi(x))=\phi(f(x))$ và tính liên tục của hàm $\phi$ dẫn tới $f(\phi(x))=\phi(x)$ và do $\phi$ có ảnh là $\mathbb{R}_{\geq 0}$ nên $f(x)=x$ với $x\geq 0.$ Do $f(-x)=-f(x)$ nên ta kết luận $f(x)=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$
Nhận xét: công thức cụ thể của $\phi$ không đóng vai trò nào cả, có thể lây $\phi$ tổng quát hơn chẳng hạn $\phi$ liên tục có ảnh là toàn bộ $\mathbb{R}_{\geq 0}.$ Và lời giải $f(x)=x$ lại là một lời giải vô nghĩa, vì cách mô tả tốt nhất hàm $f(x)=x$ chính là hãy nói rằng nó là hàm $x$. Mặt khác hoàn toàn có thể hỏi một nhà toán học nào đó ở Viện toán học hoặc trường Tự nhiên để kiếm một bài toán không nhằm đưa ra lời giải mà để khảo sát các tính chất của hàm đó thông qua phương trình hàm. Tuy nhiên bộ giáo dục không hề tôn trọng các nhà khoa học, giống như việc tổ chức kỳ thi trắc nghiệm mà cộng đồng toán học Việt Nam đã phản đối kịch liệt.
Viết 2 số $5^{2023}$ và $2^{2023}$ cạnh nhau thì sẽ tạo thành số có bao nhiêu chữ số?
------------------------------------------
Tối mới có thời gian lọ mọ
Mình nhờ hồi lớp 7-8, tức là vào 2007-2008, sau khi học xong luỹ thừa số hữu tỷ thì cô giáo giải thích cho bọn mình về luỹ thừa số thực và logarit. Lúc đó không có cơ sở toán học chắc chắn, nhưng mà nếu giáo viên hiểu bản chất thì vẫn có thể giải thích được cho bọn mình hiểu.
@vmtri Qua cách em nói mình thấy không ổn. Nếu mục tiêu của mình chỉ là học hay làm nhằm giỏi hơn người khác thì mọi người đều bỏ nghề hết em ạ. Đầu tiên em phải cảm thấy yêu thích việc học của mình đã nhé.
@vmtri Chắc chắn những ai học chuyên thì lúc đầu học đại học sẽ có lợi thế hơn so với các bạn khác, nhưng lâu dài sẽ học các môn hoàn toàn mới nên những kiến thức trong khi học phổ thông không còn giúp ích gì nữa (ngoại trừ toán rời rạc).
Ý tưởng xây dựng phạm trù dẫn xuất xuất phát từ A. Grothendieck và được học trò của ông là Jean-Louis Verdier khai triển trong luận án tiến sĩ, với mục tiêu là tổng quát hoá đối ngẫu Serre. Tuy nhiên, cần một bài viết khác để nói về câu chuyện này. Ở đây ta chỉ xem xét phạm trù dẫn xuất như một cách tiếp cận đối với đại số đồng điều.
Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù aben. Phạm trù dẫn xuất $D(\mathcal{A})$ được định nghĩa như địa phương hoá của phạm trù các phức đối dây chuyền $Comp(\mathcal{A})$ theo các ánh xạ tựa đẳng cấu. Ta bắt đầu với định nghĩa địa phương hoá của một phạm trù.
Thủ tục địa phương hoá của một phạm trù tương tự với địa phương hoá của một mô đun. Tức là với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$ và mỗi tập $S$ các cấu xạ trong $\mathcal{C},$ tồn tại một phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ cùng với một hàm tử $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}$ sao cho mọi hàm tử $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ thoả mãn ảnh của $S$ trong $\mathcal{D}$ là các đẳng cấu thì $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ phải tách qua được $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}.$
Phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ có thể được xây dựng như sau:
(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.
(2) Tập các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được sinh bởi hợp của các cấu xạ trong $\mathcal{C}$ và tập các nghịch đảo được bổ sung cho các cấu xạ trong $S$.
Cách xây dựng này mặc dù đơn giản, nhưng rất khó để mường tượng một cấu xạ giữa hai vật trong $S^{-1}\mathcal{C}$ là gì, vì sau quá trình bổ sung các nghịch đảo, ta cần bổ sung các cấu xạ mới để đảm bảo $S^{-1}\mathcal{C}$ là một phạm trù. Chẳng hạn, xét phạm trù $\mathcal{C}$ định nghĩa như sau:
Đặt $S=\{f,g\}$. Các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được bổ sung thêm gồm có $f^{-1}, g^{-1}$ là các nghịch đảo của $f,g,$ và một loạt các cấu xạ khác, chẳng hạn: $g^{-1}h’, g^{-1}h, hf^{-1}, f^{-1}h’,\dots$
Trong trường hợp $S$ thoả mãn tính chất của một hệ nhân tính (có thể so sánh với tập con nhân tính trong địa phương hoá của mô-đun), ta có thể xây dựng $S^{-1}\mathcal{C}$ rõ ràng hơn.
Định nghĩa 1. Tập $S\subseteq Mor(\mathcal{C})$ được gọi là một hệ nhân tính trái nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(1) $id_x\in S$ với mọi $x$ và nếu $f,g\in S$ và tồn tại $g\circ f$ thì $g\circ f \in S.$
(2) Nếu có các ánh xạ $g:x\to y, t: x\to z$ sao cho $t\in S$ thì tồn tại $s:y\to w, f: z\to w$ sao cho $s\in S$ và $sg=ft.$
(3) Nếu $ft=gt$ với $t\in S$ thì tồn tại $s\in S$ sao cho $sf=sg.$
Tương tự ta có định nghĩa hệ nhân tính phải là đối ngẫu của định nghĩa trên. Với tập $S$ thoả mãn định nghĩa trên thì ta có thể xây dựng phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ như sau:
(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.
(2) Với mỗi cặp $x,y\in \mathcal{C},$
$$Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(x,y)=\{x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y \mid s\in S\}/\sim,$$
trong đó $\sim$ được định nghĩa như sau: Ta nói $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E(x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $a:z\to z’$ sao cho $af=f’,as=s’.$ Từ đó, ta định nghĩa $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y) \sim (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y)$ sao cho $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E (x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y) \text{ và } (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)E(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y).$$
Ta định nghĩa phép hợp thành trên phạm trù $S^{-1}{\mathcal{C}}$ như sau: Cho hai cấu xạ $p=[(x\xrightarrow{f} a \xleftarrow{s}y)]$ và $q=[(y\xrightarrow{g} b \xleftarrow{t}z)].$ Theo tiên đề (2) trong định nghĩa của tập nhân tính trái, tồn tại $h:a\to c, u: b\to c$ với $u\in S$ sao cho $ug=hs$. Từ đó, ta định nghĩa $qp$ như là $$[(u\xrightarrow{hf}c\xleftarrow{ut} z)].$$ Có thể chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Cách xây dựng trong trường hợp $S$ là hệ nhân tính phải cũng tương tự.
Ví dụ 2. Cho $R$ là một vành giao hoán. Địa phương hoá của phạm trù $Mod(R)$ tất cả các mô-đun trên $R$ tại $S=\{M\to M, m\to rm \mid r\in R, M\in Mod(R)\}$ tương đương với phạm trù $Mod(S^{-1}R).$
Ví dụ 3. $K^{\bullet}, L^{\bullet}$ là các phức trong $Comp(\mathcal{A}).$ Một ánh xạ $f: K^{\bullet}\to L^{\bullet}$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu các ánh xạ $H^{i}(f)$ là đẳng cấu với mọi $i\in \mathbb{Z}.$ Đặt $Qis(\mathcal{A})$ là tập hợp tất cả các tựa đẳng cấu trong $Comp(\mathcal{A}).$ Có thể kiểm tra được $Qis(\mathcal{A})$ vừa là một hệ nhân tính trái, vừa là một hệ nhân tính phải. Ta định nghĩa phạm trù dẫn xuất của $\mathcal{A}$ là $Qis(\mathcal{A})^{-1} Comp(\mathcal{A}).$
Trong bài tới, ta sẽ tìm hiểu sâu thêm về phạm trù $D(\mathcal{A}).$ Phạm trù $D(A)$ nói chung không còn aben, nhưng $D(A)$ vẫn có cấu trúc của một phạm trù tam giác phân, từ đó ta vẫn khôi phục các xây dựng trong đại số đồng điều cổ điển.
Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.
Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Chúng được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các không gian $X, Y$ là liên thông đường).
Ta có thể gắn với mỗi không gian tô pô $X$ phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ mà tử đó các tập $\pi_0(X)$ và $\pi_1(X)$ có thể được trích xuất ra thuần tuý bằng ngôn ngữ phạm trù, độc lập hoàn toàn với không gian tô pô $X$. Phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ được định nghĩa như sau:
(a) Các vật là các điểm của $X$;
(b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.
Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$
Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng ngoài các nhóm $\pi_0(X), \pi_1(X)$, ta có thể định nghĩa một cách tương tự các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Theo đó, các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Lấy cảm hứng từ $\pi_{\leq 1}(X)$, ta mong muốn gắn với $X$ một phạm trù, tạm ký hiệu là $\pi(X)$, sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $\pi(X)$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc phức tạp hơn, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…
Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $\pi(X)$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích một phần xây dựng sắp tới đây của phạm trù $\pi(X)$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt.
Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$.
Ứng cử viên cho phạm trù $\pi(X)$ là $Sing_{\bullet}(X):$
Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:
(a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;
(b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$
Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần ở trên, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.
Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$.
Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này. Do đó, định nghĩa của $\pi_0(X)$ được phát biểu như sau:
Định nghĩa 4.Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e) \mid e\in S_1\}\subseteq S_0\times S_0.$
Chú ý là trong định nghĩa trên, quan hệ tương đương được “sinh” ra chứ không đồng nhất với $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}.$ Hiện tượng xảy ra ở trên có thể nói theo cách khác là tập $\{(d_1(e),d_0(e)\mid e\in S_1\}$ không định nghĩa một quan hệ tương đương trên $S_0$. Nói nôm na, các đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh nối $x$ và $y$, và ta xem như các cạnh này vô hướng (chẳng hạn như trên một bản đồ khi ta nối hai địa điểm với nhau thì cũng không thực sự có hướng nào cả).
Trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$ thì quan hệ tương đương ở trên tất nhiên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$
Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn
$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$
Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:
Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:
Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$
Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$
Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$
$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$
Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$
Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!
Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$
Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình. Người đọc hãy công nhận rằng tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình thoả mãn tính chất mở rộng trên là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958). Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$
Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$, $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Điều ngược lại cũng đúng:
Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$
Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:
Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.
Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.
Em nghĩ nguyên gốc của từ "phỏng vấn" đã bị thay đổi theo cách hiểu đại trà hơn, em nghĩ dùng "phỏng vấn" sâu sắc hơn với "giả thuyết" hay "phỏng đoán" (theory / heuristics).
Từ conjecture được dịch là giả thuyết từ lâu, trước cả khi bố mẹ mình được sinh ra, không thể tự tiện thay đổi mà không có lý do rõ ràng được.
Bài 1 VMO 2019 hay đấy chứ nhỉ, thấy style hơi lạ, giống như một bài tập bình thường của Toán Đại cương hơn là một bài Olympic. Mà anh lại thích kiểu ra đề như vậy, để học sinh ôn luyện những kiến thức nền tảng sau này cần dùng thì tốt hơn là luyện tricks.
Những dạng bài như thế này thì chắc là không có trong sách Olympic thông thường đâu mà đúng là cần tới sách Toán Đại cương như cuốn Baby Rudin ở trên (tiếng Việt chắc cũng có, Giải Tích của Trần Đình Long?)
Có lẽ là những bài toán kiểu này không có trong sách olympic thật. Nhưng em gửi cuốn sách như kiểu Rudin kia vì để làm những bài kiểu như thế chỉ cần để học cách diễn đạt chính xác trực giác của mình. Có lẽ đó là yêu cầu tối thiểu trong môn giải tích. Em nghĩ những bài toán trong Rudin còn mẹo và khó hơn thế này. Còn bài tập trong sách của Trần Đình Long thì cũng ở mức trung bình thôi anh ạ.
Chủ đề này để thảo luận về đường cong và mặt đại số. Trước mắt chúng ta sẽ đi theo trình tự như trong quyển sách của Fulton (http://www.math.lsa....n/CurveBook.pdf). Tuy nhiên ta sẽ chỉ trình bày về đường cong phẳng (trong A^2 hoặc P^2) và mặt trong không gian (A^3 hoặc P^3). Thực tế là trước khi có hình học đại số thế kỷ 20 thì trước đó đã có những nghiên cứu về hình học đại số. Vậy thật sự những bài toán hình học đại số nảy sinh từ đâu? Theo mình điều này không chỉ giúp ích cho người mới bắt đầu mà ngay với cả những người đã học hình đại số. Việc hạn chế số chiều và số biến như trên hi vọng sẽ giúp ta chỉ cần kiến thức về đa thức và không phải đề cập sâu hơn đại số giao hoán.
Em mong có ai đó có thể đăng bài khởi động topic này; bản thân em đang rất mong chờ về nó!
Xin lỗi mọi người mình đang bận và vẫn còn trong năm học nên hè mới rảnh rang viết được. Như mình nói, nếu mọi người có thể gõ một số phần thì cứ gõ ra rồi gửi mình. Cấu trúc của chúng vẫn thông dụng thôi: 1. Khái niệm tập hợp và các phép toán trên tập hợp (hợp, giao, tích hữu hạn). Lúc đầu thì tiếp cận bằng trực giác, sau đó nói về nghịch lý Russel và kết luật cần dùng tiếp cận tiên đề và nêu ra một hệ tiên đề cho lý thuyết tập hợp. 2. Nói về hệ tiên đề peano, từ đó chẳng hạn chứng minh nguyên lý quy nạp mạnh hoặc nguyên lý quy nạp Cauchy. 3. Định nghĩa quan hệ hai ngôi, từ đó định nghĩa ánh xạ, ánh xạ ngược, hợp thành ánh xạ, ảnh và ngược ảnh. 4. Nói về giao, hợp vô hạn, từ đó nói về tích vô hạn. 5. Nói về quan hệ tương đương, từ đó đưa ra một số áp dụ thú vị như xây dựng tập số hữu tỉ, hoặc đầy hóa. Ví dụ như đầy đủ hóa Q để ra R, Q_p. Có thể sẽ cần cho ai đó viết lý thuyết số. 6. Nói về bản số, tập đếm được. Từ đó nói về một số ví dụ thú vị, như là [0,1] không đếm được. Kiến thức trong đây có lẽ không khó đối với học sinh phổ thông. Nhưng theo mình rất có ích vì học sinh có thể tập dượt chứng minh toán học. Chẳng hạn trong topo điểm, chứng minh của chúng cũng chỉ quanh quẩn $x\in A, y\notin B,...$ nhưng lại nói được rất nhiều chuyện không tầm thường.
Em mới đọc qua bài viết đầu và thấy khá thú vị khi tổng quát hóa các mối quan hệ thường gặp trong toán sơ cấp Chúng ta có thể lấy thêm ví dụ hoặc đưa vào "thách đố" nho nhỏ với bạn đọc không anh?
Phần này chắc không có gì thách đố được, bài tập chỉ là để phục vụ việc giúp mình nắm được định nghĩa. Tuy nhiên nếu mọi người tìm được một số nội dung trong lý thuyết tập hợp mà thú vị thì cứ đăng lên và cấu trúc lại thành bài tập cũng được.
Mình nhận thấy khi viết lại từ đầu lý thuyết tập hợp bằng cách tiếp cận tiên đề thì thực tế có những vấn đề mình không hiểu rõ nên trước mắt mình sẽ tập trung viết những khía cạnh “practical” của chúng. Mình vừa đăng một bài như vậy lên. Mọi người có bổ sung góp ý hoặc có code thì thoải mái gửi cho mình.
Em mới đọc qua bài viết đầu và thấy khá thú vị khi tổng quát hóa các mối quan hệ thường gặp trong toán sơ cấp Chúng ta có thể lấy thêm ví dụ hoặc đưa vào "thách đố" nho nhỏ với bạn đọc không anh?
Với cả anh thấy những cái này không liên quan gì đến toán sơ cấp ở Việt Nam mà là trước giờ nó vẫn như vậy :v (tối thiểu 100 năm). Đây chỉ là kiến thức cơ bản, chỉ là học sinh hiện giờ không cần phải học. Chẳng hạn, người ta có thể thừa nhận mọi dãy Cauchy hội tụ hoặc mọi dãy tăng bị chặn trên có giới hạn, rồi đi tính giới hạn dãy số, mà anh nghĩ có thể hoàn toàn chỉ ra được là có vô số bài toán như vậy. Nhưng nếu chỉ làm vậy thì cuối cùng cái quan trọng nhất là số thực là gì thì lại không biết. Bây giờ khi đã biết định nghĩa số thực, thì có thể chứng minh được hai tính chất trên của số thực. Từ đó có thể thấy thực sự cái nào có nội dung toán học. Quay lại vấn đề của quan hệ tương đương, có thể thấy vai trò của nó như một phần trong việc sinh ra các cấu trúc toán học mới. Tất nhiên khi đã nắm được rồi thì quan hệ tương đương này không còn quá quan trọng về mặt kỹ thuật.
Chủ đề này để bàn về tài liệu lý thuyết tập hợp (chưa đăng). Trước mắt, mình sẽ đi theo quyển sách topology của Munkres. Có ai đóng góp được code thì gửi vào đây giúp mình nhé. Hi vọng tuần tới mình sẽ đăng được.
Mình xác định đối tượng đọc trên diễn đàn là học sinh lớp 9. Còn nếu lớp 12 rồi thì bạn nên đọc topology như quyển sách của Munkres ngay khi có thể.
Đã gửi bởi
on 15-02-2024 - 17:30
trong
Kinh nghiệm học toán
Chúng ta có thể lấy thêm ví dụ hoặc đưa vào "thách đố" nho nhỏ với bạn đọc không anh?
