Cho phương trình:

 

$$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}+m+15=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}$$

$$x\in \mathbb{R}$$

 

a) Giải phương trình khi $m=1$

 

b) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

Cho $f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)$ và $af^2(x)+bf(x)+c=0$ vô nghiệm. CMR: $ac<0$

Giải bất phương trình $\frac{x}{x^2-x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}\geq \frac{2}{3}$

Tính tổng $S=\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{400}$

202. Cho $(O;R)$ và $AB$ là một tiếp tuyến cố định có độ dài $2a$, $A$ là tiếp điểm. Gọi $O’$ là tâm đường tròn di động có bán kính $R’$ tiếp xúc với $AB$ tại $B$ và cắt $(O)$ tại $C$ và $D$.
a) Chứng minh rằng $CD$ đi qua một điểm cố định.
b) Tìm điều kiện của bán kính $R’$ để $(O’)$ và $(O)$ cắt nhau
c) Tìm hệ thức giữa $R$ và $R’$ để $(O)$ và $(O’)$ trực giao. Tính $CD$ trong trường hợp đó.

Dựng $\Delta ABC$ biết $AB=2a;OH=c$ ($O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, $H$ là trực tâm), $OH//AB$.

Cho $\Delta ABC$ ($AB<AC$) có $\widehat{BAC}=60^o$, đường phân giác trong của góc $BAC$ cắt $BC$  tại $D$. Từ $D$ kẻ các tia $Dx//AC,Dy//AB$ cắt $AB,AC$ thứ tự tại $M,N$.

a) Chứng minh $MN^2=MB.MC$

b) Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MND$ cắt $BD$ tại $E$. Gọi giao điểm của $BN$ với $CM$ là $F$. Chứng minh tứ giác $MBEF$ nội tiếp đường tròn

Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$).
CMR: nếu pt có nghiệm hữu tỉ thì $1$ trong các hệ số $a,b,c$ là chẵn

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y=-x^2$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $I(0;-1)$ có hệ số góc $k$. Gọi giao điểm của $(P)$ và $d$ là $A, B$. Giả sử $A,B$ có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$

a) Chứng minh $|x_1^3-x_2^3|\geq 2$

b) Tính diện tích $\Delta OAB$ theo $k$ và tìm $k$ để diện tích đó đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện: Với mọi số nguyên dương $m\in (0;1999)$ tồn tại số nguyên $k$ sao cho: $\frac{m}{1999}<\frac{k}{n}<\frac{m+1}{2000}$.

Chứng minh $n\geq 1999$

Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $M$ bất kì trên cạnh $CD$. Đường phân giác của góc $ABM$ cắt $AD$ tại $N$. Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho tỉ số $\frac{BN}{MN}$ lớn nhất

 

<Trích đề thi chọn HSG lớp 9 TP. Thanh Hóa _ 2007 - 2008>

Tam giác $ABC$ nhọn và $\widehat{A}=60^o$. CM: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}=\frac{3}{a+b+c}$

Cho \Delta ABC nhọn. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho tích các khoảng cách từ $M$ đến các cặp đỉnh và cạnh đối diện của $\Delta ABC$ bằng nhau.
-----------------------------------
p/s: trường hợp $M$ nằm trong tam giác thì mình làm được rồi, nhờ các bạn giúp mình trường hợp nằm ngoài và nằm trên cạnh.

Cho $5$ đường tròn, trong đó mỗi bộ $4$ đường tròn đều có $1$ điểm chung. Chứng minh $5$ đường tròn đó cùng đi qua $1$ điểm.

$\Delta ABC$ có $AB=c,BC=a,CA=b$ và các trung tuyến tương ứng $m_a,m_b,m_c$. Tìm $Min$ của $P=\frac{a^3}{m_a^3}+\frac{b^3}{m_b^3}+\frac{c^3}{m_c^3}$

Cho $2$ đường tròn $(O_1;R_1)$ và $(O_2;R_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $A$. $B, C$ lần lượt di động trên $(O_1;R_1) , (O_2;R_2)$ sao cho $\widehat{BAC}=90^o$.
1) CMR: Trung điểm $M$ của $BC$ luôn thuộc $1$ đường thẳng cố định.
2) Hạ $AH\perp BC$.
a) Tìm tập hợp các điểm $H$.
b) CMR: $AH\leq \frac{2R_1R_2}{R_1+R_2}$

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. $E$ là điểm di động trên $CD$ ($E\neq D$). Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $BC$ tại $F$, đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $A$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$.
a) Chứng minh $\Delta AFK$ vuông cân.
b) $I$ là trung điểm của $FK$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn đi qua $A,C,F,K$ và $I$ chuyển động trên đường tròn cố định.
c) Chứng minh $4$ điểm $A,B,F,I$ cùng thuộc 1 đường tròn.
d) Đặt $DE=x$ ($x>0$), tính độ dài chu vi $\Delta AEK$ theo $a$ và $x$.

Cho $\Delta ABCD$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$, $N$. $CM$ cắt $BN$ tại $I$. So sánh $S_{BIC}$ và $S_{AMIN}$

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, $I$ bất kì thuộc $AH$, Gọi $P,Q$ lần lượt là giao của $BI$ với $AC$ và $CI$ với $AB$. Chứng minh $AH$ là phân giác góc $PHQ$

Giải phương trình: $(ax^2+bx+c)(cx^2+bx+a)=0$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$) biết rằng: $x=(\sqrt{2}+1)^2$ là $1$ nghiệm

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Biết rằng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACG$. Các trung tuyến tương ứng với các cạnh $BC=a,AC=b,AB=c$ là $m_a,m_b,m_c$

a) Chứng minh $\frac{m_a}{m_b}=\frac{sinB}{sinA}$

b) Chứng minh $sin\widehat{CAG}+sin\widehat{CBG}\leq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3}=9\\ \sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-2}=3 \end{matrix}\right.$

Cho $\Delta ABC$ ($AB<AC$) có $\widehat{BAC}=60^o$, đường phân giác trong của góc $BAC$ cắt $BC$  tại $D$. Từ $D$ kẻ các tia $Dx//AC,Dy//AB$ cắt $AB,AC$ thứ tự tại $M,N$.

a) Chứng minh $MN^2=MB.MC$

b) Đường tròn ngoại tiếp $\Delta MND$ cắt $BD$ tại $E$. Gọi giao điểm của $BN$ với $CM$ là $F$. Chứng minh tứ giác $MBEF$ nội tiếp đường tròn

Mọi người ai giúp mình bài này với!

Câu c) Gọi $I$ là giao của $EF$ và $MN$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $MN$