Giải hệ phương trình

 

$\ \left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ \frac{xy+xz+yz}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

1. Chứng minh $\forall n\in N*, n>1. \exists p,q\in N*: n=p+q $ p,q có lượng ước nguyên tố bằng nhau

 

2. Cho p là số nguyên tố (p>5)

X= { p-n²  / n thuộc N* , n²<p }             Chứng minh rằng tồn tịa x,y thuộc X : x khác y, x khác 1 , x/y

3. Cho k>1 ; k thuộc N. Chứng minh rằng tồn tại p và tồn tại dãy : q₁<q₂<...<q_n<... sao cho

(p+kq_i) là số nguyên tố với i thuộc N*

 

4.Cho p nguyên tố. Tìm k thuộc Z. để $\sqrt{k^{2}-kp}\in N*$ 

Sử dung log

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

C2:

$(\frac{h_{a}}{h_{b}})^{2}+(\frac{h_{a}}{h_{c}})^{2}=1\Rightarrow (\frac{b}{a})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}=1\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ nên tam giác này vuông

C1:

Từ câu 2 ta có $(\frac{12}{15})^{2}+(\frac{12}{20})^{2}=1$ nên tam giác này vuông

$a,b,c\in IR^{+}$   :   $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}= 3$

 

C/M:        $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{(x+2)(x+8)}{x}=\frac{x^{2}+10x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+10\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}+10=18$

Min=18 khi x=4

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ta luôn dựng được một tam giác sao cho diện tích tam giác đó bằng diện tích tứ giác ABCD

$x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x+k)(x-3)^{3}$ khai trien ra dong nhat he so tinh dc a,b,c theo k lai co 9a+3b+c+81=0 thay vao giai k

Kéo dài DK: DK cắt AC tại P.

Chứng minh được $\Delta PAD = \Delta BAE  \Rightarrow$ PA=AC

$\Delta PCK $ có PA=AC và AH // PK $\Rightarrow$ KH = HC 

1.    $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-y^{2}-xy+5x+5y-6=0 & & \\ 20x^{2}-y^{2}-28x+9=0 & & \end{matrix}\right.$

 

2.    $\left\{\begin{matrix} x+1=y+z & & \\ xy+z^{2}-7z+10=0& & \\ x^{2}+y^{2}=17& & \end{matrix}\right.$

Cho $a;b;c \in N^{*}$ sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z$

Gọi d là ước chung của a và b.

Chứng minh $d\leqslant \sqrt{a+b}$

$-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0$

Tương tự ta có $b^{2}-2b-3\leq 0$ $c^{2}-2c-3\leqslant 0$

Cộng vế theo vế ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)-9\leq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 9+2.1=11$

Vậy max A=11 <=>$\left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-1 & & \\ c=3& & \end{matrix}\right.$(giả sử $c\geq a\geq b$)

HPT:     $\left\{\begin{matrix} y^{2}=(x+8)(x^{2}+2) & & \\ 16x-8y+16=5x^{2}+4xy-y^{2}& & \end{matrix}\right.$

Gợi ý:1,Nghịch đảo giả thiết xong bình phương lên áp tỉ lệ thức =>đpcm

          2,xét n=2k;n=2k+1 =>k=...=>n=

          3,Chia cả 3 vế cho abc xong giả sửa>=b>=c 

bài 3 có mấy nghiệm

Bài 1 bạn cứ xét từng hàm số rồi cộng bình thường sẽ thấy bằng nhau
Bài 3 để A nguyên tố thì 1 trong 2 thừ số phải bằng 1 và số còn lại nguyên tố. Từ đó giải thôu

bạn rút gọn bình thường là ra mà chỗ nào có x+y thay bằng 1

là sao? bạn giải kỹ hơn giùm mình đi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

kết quả A=-1/xy dùng cô si cho xy là ra

$2^{n}+3^{n}+4^{n}=(3-1)^{n}+3^{n}+(3+1)^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ (mod 3)

Vì T chính phương nên T chia 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu n =2k => T chia 3 dư 2 (loại) do đó n=2k+1( T chia 3 dư 1)

Với n $\geq$ 3thì$2^{n}+3^{n}+4^{n}=2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}=4^{k}.2+9^{k}.3+16^{k}.4=4^{k}+(8+1)^{k}+16^{k}.4\equiv 3$ (mod 8)

T chính phương => T chia 8 dư (0;1;4) do đó n<3

Giải n=(0;1;2)

$A=\frac{\frac{2}{3}(3x^{2}+6x+9)+12x^{2}-12x+3}{3x^{2}+6x+9}=\frac{2}{3}+\frac{12(x-\frac{1}{2})^{2}}{3x^{2}+6x+9}$

Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0

Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a² và b² cho 3 là

(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)

Vì a²+b²chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3

1.  Cho: $\frac{x^{2}-yz}{a}=\frac{y^{2}-zx}{b}=\frac{z^{2}-xy}{c}$

Chứng minh    $\frac{a^{2}-bc}{x}=\frac{b^{2}-ac}{y}=\frac{c^{2}-ab}{z}$

2.Tìm n sao cho $n.4^{n}+3^{n}\vdots 7$

3 Tìm a.b.c nguyên tố sao cho            20abc<30(ab+ac+bc)<21abc