Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có mặt hai chữ số $2$ và $3$

Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $\left [ 1;4 \right ]$ và $a+b+2c=8$. Tìm GTLN của $P=a^3+b^3+5c^3$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}y^3+3y^2+\sqrt{x}(3x^3+12x\sqrt{x}+9)=\sqrt{x}(x^4+3x^2+8x)+6x(x^2+1)+4 & & \\ x^2+4y^2+9=6x+8y & & \end{matrix}\right.$

Lời giải là như thế này 

Đưa pt (1) về dạng $(y-1)^3+6(y-1)^2+9(y-1)=(x\sqrt{x}-\sqrt{x})^3+6(x\sqrt{x}-\sqrt{x})^2+9(x\sqrt{x}-\sqrt{x})$

Sau đó xét hàm số $f(t)=t^3+6t^2+9t$ để giải. Nhưng mình chưa biết làm thế nào mà người ta biết cách đưa phương trình (1) về dạng như trên

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$ và $max\left \{ a,b,c \right \}\leq 4$. Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}$

Giải phương trình $\left\{\begin{matrix}2xy^3-3y^2-4xy+\frac{43}{27}=0 & & \\ 6x^3y+3xy^3+5xy=6x^2y^2+2x^2+y^2+1 & & \end{matrix}\right.$

 

Lời giải.

Ta có:

$6x^{3}y+3xy^{3}+5xy=6x^{2}y^{2}+2x^{2}+y^{2}+1$

$\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow xy=\frac{1}{3}$ (vì $2x^{2}-2xy+y^{2}+1=\left ( x-y \right )^{2}+x^{2}+1\geq 1>0$)

Thay $xy=\frac{1}{3}$ vào phương trình đầu ta được:

$y^{2}=\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$ hoặc $y=-\frac{1}{3}$

Với $y=\frac{1}{3}$ ta được $x=1$, với $y-\frac{1}{3}$ ta được $x=-1$.

 

Cho mình hỏi tí, mình không biết làm cách nào bạn phân tích đc thành $\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của $\frac{1}{2a+b+2\sqrt{2bc}}-\frac{8}{\sqrt{2a^2+2(a+c)^2+3}}$

Giải phương trình $x^4+4x^3+12x^2+18x+24=0$

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:

$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.

Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:

$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$

   $\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$

   $\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$

   $=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị. 

Cho mình hỏi cái đoạn này sao bạn biết nhân tử và mẫu cho $\sqrt{2}$ để phía dưới mẫu có thể áp dụng BĐT vậy

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+2+(y^2-y-1)\sqrt{x^2+2}=y^3-y & & \\ 2x+xy+2+(x+2)\sqrt{y^2+4x+4}=0 & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $\left | x-1 \right |+\sqrt{2x-x^2}+x^2+x+1=\sqrt{6x^2+3}+\sqrt{2x-1}$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ có tổng bằng 1. Tìm GTLN và GTNN của $P=(a-b)(b-c)(c-a)$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$

 

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq -2$.

$\left ( x+2 \right )\left | x \right |+x^{3}-2x^{2}+x-4=\left ( x+1 \right )\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )\left ( \sqrt{x^{2}}-2 \right )+\left ( x+1 \right )\left ( x-\sqrt{x+2} \right )+x^{3}-3x^{2}+2x=0$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left [ \frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right ) \right ]=0$

Xét phương trình:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

Dễ thấy nếu $-2\leq x\leq 0$ hoặc $x\geq 1$ thì phương trình vô nghiệm, xét $x\in \left ( 0;1 \right )$ phương trình tương đương:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+4}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ (thỏa mãn điều kiện).

 

Với $x\geq 1$ thì mình hiểu nhưng tại sao với $-2\leq x\leq 0$ thì pt lại vô nghiệm vậy bạn

Giải phương trình $(x+2)\left | x \right |+x^3-2x^2+x-4=(x+1)\sqrt{x+2}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\frac{xy+1}{x+y-1}+\frac{x+y-4}{x+y-xy}=0 & & \\ \sqrt[4]{x+y-xy}+\sqrt[4]{x+y-1}=\sqrt{x}+\sqrt{y} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh với $a,b>0$ ta có $\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+xz>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}$

Đặt: $S=a(b^2+c^2+7)+b(c^2+a^2+7)+c(a^2+b^2+7)$ và P là biểu thức VT.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $PPS\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh: $(a+b+c)^3\geq S$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3$ (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

bạn chứng minh giúp mình với mình không biết

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$, chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+7}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2+7}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7}}\geq 1$

Bài toán Trong mptđ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AB=3AM$, đường tròn tâm $I(1;-1)$ đường kính $CM$ cắt $BM$ tại $D$, phương trình đường thẳng $CD: x-3y-6=0$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$,biết đường thẳng $BC$ đi qua $E(\frac{4}{3};0)$ và $C$ có hoành độ dương

Tác giải giải như sau:

$AC:y=k(x-1)-1$

$CD:y=\frac{1}{3}x-2$

Ta có $tan \widehat{ACD}=tan \widehat{ABD}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow $$\left | \frac{k-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}k} \right |$=$\frac{1}{3}$

...

Mình ko biết vế trái ở đâu ra

Giải phương trình $(4x+1)\sqrt{x+2}-(4x-1)\sqrt{x-2}=21$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=5x & & \\ -2x^3+10x^2-17x+8=2x^2y & & \end{matrix}\right.$