5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Ta phân tích thành : $(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})=(4a+\frac{1}{a})-3a+(4b+\frac{1}{b})-3b+(4c+\frac{1}{c})-3c \geq 2.2+2.2+2.2-3(a+b+c)=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

6) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=\frac{3}{4} & & \end{matrix}\right.$. Tìm $Max A=\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}$

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ta có : $\sqrt[3]{(a+3b).1.1}\leq \frac{a+3b+1+1}{3}$ 

Tương tự                                         $\sqrt[3]{(b+3c).1.1}\leq \frac{b+3c+1+1}{3}$

                                                        $\sqrt[3]{(c+3a).1.1}\leq \frac{c+3a+1+1}{3}$

Cộng 3 BĐT trên ta có : $\sum \sqrt[3]{a+3b}\leq \frac{a+3b+b+3c+c+3a+2+2+2}{3}=\frac{4(a+b+c)+6}{3}=3$ 

mọi người hộ e bài này nhá giải pt với x là phần nguyên:
$x^{4}=2x^{2}+[x]$
$[\frac{x}{2}]+[\frac{x}{3}]=17(x \epsilon Z)$
$[\frac{2x-1}{3}]=[\frac{x+1}{2}]$

Câu 3.a Từ đk đã cho ta có 

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq 4$

$<=>1+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+1\geq 2+2=4$ (đfcm) 

e xin đóng góp mấy bài mong các anh vào đây cho ý kiến cùng lời giải :
Bài 1 :Tìm a $\epsilon Z$ để $\sqrt{a^{2}+a+23}$ thuộc Q
Bài 2 : Cho một nhóm 6 người.CMR có 3 người đôi một quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau
Bài 3 :Trên mặt phẳng có 2000 điểm .CMR có 1 hình vuông chứa trong nó đúng 1000 diểm còn lại nằm ngoài hình vuông
Bài 4 : Cho 6 điểm không có 3 điểm nào thằng hàng và khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một cắt nhau .Xét các tam giác có điểm là 3 trong 6 đỉnh trên .CMR có một đoạn nối 2 điểm là cạnh nhỏ nhất của tam giác này nhưng là cạnh lớn nhất của tam giác khác

Bài 1 : Chia cả hai vế cho $5^x$ ta có $\frac{3^x}{5^x}+\frac{4^x}{5^x}=1$ 

TH1:x>2 thì VT >1

TH2:x<2 thì VT<1

Vậy chỉ có x=1 là nghiệm của pt 

mấy a giúp e bài này
*cho a,b =1 . CM : $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

 

ĐỀ SỐ 3

Bài 1:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

$\frac{4}{4+1}+\frac{4.2}{4.2^4+1}+.....+\frac{4.n}{4.n^4+1}=\frac{220}{221}$

 

Ta có : $\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{(2n^{2}+2n+1)-(2n^{2}-2n+1)}{(2n^{2}+2n+1)(2n^{2}-2n+1)} =\frac{1}{(2n^{2}-2n+1)}-\frac{1}{(2n^{2}+2n+1)} =\frac{1}{2(n-1)n+1}-\frac{1}{2n(n+1)+1}$ ..... 

Mình chưa hiểu ý của bạn lắm

có nghĩa là người khác vào nhìn thấy bài nào tô màu đỏ tức là làm rồi nên họ không cần nữa bạn ạ  

Bài 3a . Chuyển vế và bình phương ta có : 

        $5x^2+14x+9=x^2+24x+5+10\sqrt{(x+1)(x^2-x-20)}$

$<=>5\sqrt{(x+1)(x+4)(x-5)}=2x^2-5x+2$

$<=>5\sqrt{(x+1)(x+4)(x-5)}=2(x^2-4x-5)+3(x+4)$ . Chia 2 vế cho $x+4$ ta có : $2\frac{x^2-4x-5}{x+4}-5\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}+3=0$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}$ có phương trình : $2t^2-5t+3=0<=>(a-1)(2a-3)=0$ 

.................

Chưa xét $x=-4$,

ĐKXĐ: $x\geq 5$ => $x=-4$ là k thỏa mãn 

 

ĐỀ SỐ 8

 

a.Giải phương trình:$\sqrt{5x^2=14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

 

 

Dấu gì thế bạn ??? 

Gợi ý:

Bài này ta biến đổi BDT đã cho về BDT sau:

$\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

Bài này đã có ở đây : http://diendantoanho...92-với-a2b2c21/

BĐT 2:
Với $ab \ge 1$ ta luôn có: \[\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\]
Chứng minh
Biến đổi tương đương:

\[\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}} \ge 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{(a - b)}^2}(ab - 1)}}{{(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + ab)}} \ge 0
\end{array}\]
Ta có đpcm.

cái này còn suy ra đc 1 đống bất đẳng thức tg tự hay sao ý ???

Nghiệm lẻ mà bạn Mình tính ra $x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2}$

$\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x-2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+2}$

Nhân liên hợp lên ta có : $\frac{2x^2-1-2x^2-2x-3}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}=\frac{x^2-x+2-x^2+3x+2}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}$

<=>$\frac{-(2x+4)}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}=\frac{2x+4}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}$

<=>$\frac{2x+4}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}+\frac{(2x+4)}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}}=0$

$<=>(2x+4)(\frac{1}{\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2-3x-2}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{2x^2+2x+3}})=0$ 

.............  

Bình phương cả 2 vế: $\Leftrightarrow 2(x^4+4x^2+4)=5x^3+5\Leftrightarrow 2x^4-5x^3+4x^2-1=0$

Đến đây mò nghiệm , khá lẻ chắc sai quá

Tham khảo nghiệm đây nè (bậc 4 chắc cardano không xài được đâu )

http://www.wolframal...^2+2)=5√(x^3+1)

Mình có cách khác đỡ khủng hơn 

Ta có :$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

Mà $x^2+2=(x+1)+(x^2-x+1)$

Tới đây ra đặt $a=x+1,b=x^2-x+1$ và đưa về pt ẩn a,b  

 

b.$x^2-\sqrt{x+5}=5$

PTTĐ : $x^2+x+\frac{1}{4}=x+5+\sqrt{x+5}+\frac{1}{4}$ 

$<=>(x+\frac{1}{2})^2=(\sqrt{x+5}+\frac{1}{2})^2$

Ukm, có lẽ là thế. Nếu bạn thấy phương trình bậc 4 của bạn có các hệ số nho nhỏ, như pt đầu thì bạn có thể cho x nhỏ xuống đến 2; -2; -1
(con số -1 là dựa vào 2 nghiệm đầu tiên mà bạn tìm được. VD 2 nghiệm đầu tiên là 2,5946546354 và -1,121513215 thì bạn lấy thêm x là số trung bình cộng của hai nghiệm kia)

Bởi vì các phương trình bậc 4 có nghiệm không quá cao nên bạn có thể chọn các số như vậy

Mẹo:
1. Khi bạn muốn tìm khoảng nghiệm của x (để bạn nhập x tương ứng như cái số 10; -10; -1)

Bạn viết phương trình ra, ấn CALC

Máy hỏi X?

Bạn nhập thử 1 =

Giả sử máy tính ra được 2,15151201021

Ấn tiếp =

Máy hỏi tiếp X?

Nhập số cao hơn: 2 =

Giả sử máy hiện 3,21542111

Thấy cao hơn cái trước, bạn giảm x xuống bằng cách ấn tiếp =

Ấn 0=

Giả sử máy hiện một số âm: -0.15213115

Chứng tỏ phương trình có một nghiệm trong khoảng $0 \leq x \leq 1$

Khi ấy, bạn viết pt bậc 4 và ấn như bình thường, án Shift + Solve

Máy hỏi X?

Cho $X= \frac{1}{2}$

Máy sẽ tìm nhanh hơn khoảng nghiệm đó
________________________________________________
VD mang tính chất minh họa

Anh làm rõ cho em 1 ví dụ về  cái tìm mấy cái số 10,-10,-1 đi ạ . Có nhiều pt dùng 3 số đấy không làm được đâu ạ  

câu 1 : đặt u=$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ , v= $\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$ thì có phườn trình:u-($(v^{2}-u^{2})-v=0$ giải ra có u=v => x=2

Cho minh hỏi pài này với :

$\sqrt{2x+3}+\sqrt{4x-1}+2x^{2}+x-4=0$

PTTĐ <=> $(2x-1)(\frac{1}{\sqrt{2x+3}+2}+\frac{1}{\sqrt{4x-1}-1}+(x+1))=0$

Câu 2.2 

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$ có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b+c=3 & \\ 2ab-c^{2}=9 & \end{matrix}\right.$ giải hệ này ta tìm đc a=b=3,c=-3 rồi thay vào tìm x,y,z 

Bài 2 có vấn đề hay sao ý ??????? 

Bác nào làm câu hình đi câu này khó nhai thế ???

Câu ptnn:
Nhận thấy 19 và 97 đều là số nguyên tố, tức $\frac{19}{97}$ là phân số tối giản.
Để thuận tiện, ta đặt $y = -y$ . Từ điều trên ta được phép đặt $\left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ x^2 - xy + y^2 = 97k \end{matrix}\right.$ với $k$ là số nguyên 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y = 19k\\ xy = \dfrac{361k^2-97k}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy theo định lý $\text{ Viète}$, ta có $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình $3X^2 - 57kX + 361k^2 - 97k$

Lập $Delta$ phương trình trên, ta chặn được $0 < k < 2$, tức $k=1$.

Vậy $x+y = 19$ tới đây dễ dàng.

Bộ nghiệm của phương trình là $(x;y) = (11; -8) , (-8 ; 11)$

___
Câu hpt khá đơn giản, $x=y=z=0$ là 1 nghiệm, xét trường hợp 3 biến khác $0$ rồi nhân từng phương trình lại sẽ thấy điều vô lý.

mình tg câu hệ này còn nghiệm x=y=z=1/2 mà