Cho đg tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đg tròn (O). Đg thẳng MO cắt (O) tại E và F ( ME$<$MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B. A và C nằm khác phía với đg thẳng MO ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đg thẳng MO. CM AHOB nội tiếp 

$OH.OA=MC^2=MA.MB$

...

 

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

 

1. $y=-1+\frac{2x^2}{x^2+1} \geq -1$. Tìm được $min_y=-1 \leftrightarrow x=0$

2.(2) $\leftrightarrow yx^2+x(y-1)+y=0$

Nếu: $y=0$ thì $x=0$

Nếu: $y \neq 0$ thì xét:

$\Delta =(y-1)^2-4y^2=-3y^2-2y+1 \geq 0$

$\Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3}$

...
3.$y=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{(x+\frac{1}{x})+1}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

...

Spoiler

Trở lại thời lớp 9 tí   

$\boxed{ Bài 39}$

    Cho tam giác $ABC$ với $AD,AM$ lần lượt là đường phân giác ,đường trung tuyến .Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt cạnh $AB,AC$ tại $U,V$ .Gọi $T$ là trung điểm $UV$ .Chứng minh rằng $MT$ song song với $AD$

Chơi ké nữa.

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì $MT\equiv AD$

+ Xét trường hợp tam giác ABC không cân tại A.

Ta có: $\dfrac{BU}{BM}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CV}{CM} \rightarrow BU=CV$

Lấy $U', B'$ đối xứng $U,B$ qua $AD; UU' \cap AD=E; BB' \cap AD=F$ 

Từ đó dễ chứng minh được tứ giác $ETMD$ là hình bình hành $\Rightarrow MT||AD$

Nghiệm lẻ. Nghi vấn sai đề.

Em cũng thích khoe bạn gái.    (Mặc dù đang giận nhau nhưng mình có quyền vì em là người chụp) 

Các bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi HSG tỉnh

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

        

ĐK: ..

$PT\Leftrightarrow (1+x^2)\sqrt{1-x}-(2x+x^2)\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}-\sqrt{x}+x^2(\sqrt{1-x}-\sqrt{x})-\sqrt{x}(2x-1)$

$\Leftrightarrow (1-2x)[\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+x^2]=0\rightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$

Giải phương trình:

250. $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

251. $\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1$

Bài 2: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+\sqrt[6]{1-x}=1$

           b) $\sqrt[3]{x^{2}-2}=\sqrt{2-x^{3}}$

           d) $19+10x^{4}-14x^{2}=\left ( 5x^{2}-38 \right )\sqrt{x^{2}-2}$

a. ĐK: $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \le x \le 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)(1+x)}+\sqrt[4]{x^2+x-1}-1+\sqrt[6]{1-x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x})+\frac{x^2+x-2}{(\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}[\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}(x+2)}{\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}]=0\rightarrow x=1$

b.$PT\Leftrightarrow (x^2-2)^2=(2-x^3)^4\Leftrightarrow (x^2-2-(2-x^3)^2)(x^2-2+(2-x^3)^2) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^6-4x^3-x^2+6=0 & \\ x^6-4x^3+x^2-2=0 & \end{bmatrix}$

..

Còn câu b bài 1 + câu 2d thầy chữa luôn đi ạ.

 b) $\sqrt{1-x^{2}}=\left ( \frac{2}{3}-\sqrt{x} \right )^{2}$

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

 

$\begin{cases} 2x(1+\dfrac{1}{x^2-y^2})=5 \\  2(x^2+y^2)(1+\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2})=\dfrac{17}{2} \end{cases}$

Hệ tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}(x+y)+(x-y)+\dfrac{x+y+x-y}{(x+y)(x-y)}=5 & \\ (x+y)^2+(x-y)^2+\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2}=\dfrac{17}{2} & \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a, x-y=b$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5 & \\ \\a^2+\dfrac{1}{a^2}+b^2+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{17}{2}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5  & \\   \\(a+\dfrac{1}{a})^2+(b+\dfrac{1}{b})^2=\dfrac{25}{2} & \end{matrix}\right.$

Bài toán 16: Giải phương trình:

$$(2x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{3x+2})=4(x+1)$$

cái này có công thức định kì

Là công thức gì vậy bạn? Bạn viết ra được không?

Mà giải hộ mình mấy bài ý luôn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$

 b, Mình ngu nên chưa hiểu cho lắm

         Đây là kì hạn 3 thánh rút lần hay là như câu a hở bạn

 Công thức chắc vẫn như trên nên có bạn cứ nhân theo cách bạn là OK

mình nghĩ bài này không áp dụng công thức trên được đâu. a là số tiền gốc. do người này không rút theo định kỳ nên theo từng đợt 6 tháng thì số tiền gốc sẽ tăng lên. nếu tính từng số tiền gốc thì phải tính 20 lần mình nghĩ phải có cách nào đó ngắn gọn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$ (chưa làm tròn)

 b, Theo công thức trên ta tính được sồ tiền là 462328035,5

         còn công thức tổn quát mình làm thế này

  Gọi A là tiền vốn + lãi khi rút
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r=$a(1+r)^{2}$

  .......................

 Tháng n (n=n):A = $a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{r-1}.r=a(1+r)^{r}$

 Vậy đó
 

    

Cái này phải là mũ 20 vì 10 năm, 6 tháng là 20 kì hạn.

5 hay 3 vậy bạn

  $\frac{1}{2001} hay \frac{2001}{1}$ vậy bạn

Mình chả tìm ra công thức tổng quát ở đâu hết .Hic

đề chính xác là thế đấy bạn ạ.  Câu này thì mình làm được rồi:

Tử $A=1+\frac{1}{2011}+..+\frac{1}{1005}+\frac{1}{1007}=2012(\frac{1}{1.2011}+..+\frac{1}{1005.1007})$

Mẫu $B=\frac{2012-1}{1}+..+\frac{2012-2011}{2011}=2012+2012.(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2011})-2011=2012(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2012})$

1.Cho đa thức $P(x)=(1+2x+3x^2)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_{30}x^{30}$.

a.tính tổng các hệ số bậc lẻ của x.

b. Tính chính xác giá trị của biểu thức: $A=a_0-2a_1+4a_2-8a_3+..-536870912a_29+1073741824a_30$

2. Tính $\frac{A}{B}$

$A=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+..+\frac{1}{2009}+\frac{1}{2011}}{\frac{1}{1.2011}+\frac{1}{3.2009}+\frac{1}{5.2007}+..+\frac{1}{2009.3}+\frac{1}{2011.1}}$

$B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{2012}}{\frac{2011}{1}+\frac{2010}{2}+..+\frac{1}{2001}}$

3. Cho $f(x)=\frac{x^2+4x-2}{x^2+3}$. Tìm min max (cái này có bấm bằng máy đc không nhỉ?)

4. Một người gởi tiết kiệm 100tr đồng vào 1 ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng vs lãi suất 0,65%/tháng

a. Hỏi sau 10 năm ng đó nhận dc bao nhiêu tiền (lãi+vốn). biết rằng ng đó ko rút lãi ở tất cả các định kỳ trc đó.

b. Nếu vs số tiền trên, ng đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng vs lãi suất 0,63%/tháng thì sau 10 năm dc bao nhiêu tiền.

Đã fix.

 

Đề ôn hsg lớp 9

( vừa làm sáng nay giờ post lên cho mọi người làm )

Câu 1( 4 điểm) : 

a, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì   $n^{5}-n \vdots 1 0$

b, Giải phương trình : $x^{2}+x+12\sqrt{x+1}=36$

 

 

1.

a. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 10 => ĐPCM

b. Đặt $\sqrt{x+1}=a$ sau đó rút x theo a là được.

1.

a. $x+\sqrt{3}=2$. Tính $A=x^5-3x^4-3x^3+x^2-20x+2014$

b. Cho các số nguyên dương a,b,c ($b \neq1$) sao cho $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là 1 số hữu tỉ.

cm: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

2. 

1. Cho hàm số bậc nhất: $y=ax+b$ có đồ thị đi qua M(1;4). Biết đồ thị hàm số cắt Ox tại P có hoành độ dương, cắt trục Oy tại Q có tung độ dương. Tìm (a;b) sao cho OP+OQ đạt min.

2. cm: Mọi điểm M(x;y) luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi (x;y) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=m & \\  x+(m-1)y=2& \end{matrix}\right.$

3.

1. Gpt: $2x(2+\sqrt{4x^2+1})=(x+1)(2+\sqrt{x^2+2x+2})$

2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn $y^3=x^3+2x^2+3x+2$

4. Cho x,y dương. Tìm min:

---> --->

 

b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
 

 

Do $a,b,c$ nguyên nên 1 3 số luôn nhận các giá trị 1 hoặc -1 Do $abc=1$ nên trong 1 trong 3 số phải có 2 số cùng âm hoặc cả 3 số cùng dương.

xét:

TH1: 2 số cùng âm. Giả sử $a=b=-1;c=1$ ( do a,b,c có vai trò như nhau nên có thể tuỳ chọn biến). Thay vào ta tính dc: $Q=\frac{1}{2}$

Hoặc có thể do ở mẫu của các phân thức giá trị của a,b,c luôn dương nên có thể tìm luôn được $Q=\frac{1}{2}$ thay vì xét TH. Câu này nên đổi thành tính GT biểu thức luôn nhỉ.  

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Ta có: $\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+b+c$ (1)

Thật vậy:

Đặt $x=\sqrt{a} \geq 0;y=\sqrt{b} \geq 0;z=\sqrt{b} \geq 0$

(1) $\Leftrightarrow \frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+x}\leq 3+x^2+y^2+z^2$

$=\frac{yz+zx+yx+{x}^{3}z+{x}^{2}y+{x}^{3}y+{y}^{2}z+{y}^{3}x+{y}^{3}z+{z}^{2}x+{z}^{3}x+{z}^{3}y+{z}^{3}y x+{y}^{2}zx +{x}^{2}yz+{y}^{3}zx+3\,yzx+{x}^{3}yz+{z}^{2}yx+{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} }{( 1+x ) ( 1+ y ) ( 1+z )} \ge 0$

(luôn đúng)

__________________

Khủng quá.

 

 

Câu 2 ( 6 điểm ) 

       a, Giải phương trình : $2x^{2} - 8x - 3 \sqrt{x^{2}-4x -8} =18$ (1)

      

 

DKXD: $x\geq 2(1+\sqrt{3});x\leq 2(1-\sqrt{3})$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2-4x-8)-3\sqrt{x^2-4x-8}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^2-4x-8}=a\geq 0$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow 2a^2-3a-2$

Dễ dàng giải dc pt này. Tìm a tìm x loại nghiệm.

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

Bài 3. Cho góc nhọn xOy và điểm C cố định thuộc tia Ox. Điểm A di động trên tia Ox phía ngoài đoạn OC; điểm B di động trên tia Oy sao cho luôn có CA=OB.

Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 4. Tìm các chữ số a,b,c biết: $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Bài 5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chững minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên (số học sinh của lớp không ít hơn 10)

________________________________

Mấy hôm nay bận túi bụi không kịp vào chém bài của mọi người . >.<

 

Cầu 5: 1đ Giải phương trình :$2014x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2014} +x^{2} = 2013.2014$

 

 

Bài 4 ( 3 điểm ) Giải phương trình : 

 $\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}$

 

Đặt ẩn phụ.

$\sqrt{x+1}=a; \sqrt{1-x}=b$ (dk)

$PT \Leftrightarrow a^2+2a^2+b^2=b+3ab\Leftrightarrow (a-b)(2a-b+1)=0$

TH1:a=b, dễ rồi.

TH2: $2\sqrt{x+1}+1=\sqrt{1-x}$ 

bình phương

$\Leftrightarrow 5x+4+4\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow 5a^2+4a-1\Rightarrow a=\frac{1}{5}\Rightarrow x=\frac{-24}{25}$

 

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

 

PT tương đương:

$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+4k^2-4k+1+k^2-2k+1+1]=2x+1$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(x^2-2k+1)^2+(x^2+2)(k-1)^2+(x-1)^2=0$

khi $x=k=1$

Thật chẳng hiểu cái đề câu 5 hình nó vẽ như thế nào. Thành thử không làm nổi nguyên cái bài hình.

Đăng tiếp được chứ chủ pic??

Đề Kiểm tra ĐT đợt 3 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa.

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)
Câu 3: a)Tìm các số nguyên dương n sao cho $P=\frac{n(n+1)}{2} -1$ là số nguyên tố 
b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
Câu 4:a) Cho tam giác ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của I trên AB,AC,BC và H là hình chiều của F trên DE. Chứng minh rằng $AD=\frac{(AB+AC-BC)}{2}$ và HF là tia phân giác của góc BHC
b)Cho tam giác ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=20^o$  ,BC=a,AB=b.Chứng minh rằng $a^3+b^3=3ab^2$
Câu 5:a) Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $S_n=a^n+b^n+c^n$ với n thuộc N* ,biết $S \leq 5; S_2\leq 11$.

Chứng minh $S_n=3^n+2$

b) Tìm các số x,y thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+x=2$ và $\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}$ .

________

Đề mới đọc ko có đáp án nên cho làm chung với nhé!