làm thế nào để viết các kí tự toán nhỉ
mình cũng có một cách làm nhưng không biết viết

cảm ơn các bạn đã chỉ dẫn nha, đây là cách giải của mình
$P = \dfrac{{({x^2} - 1)({y^2} - 1)}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} + 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} + 2xy}}{{{x^2}{y^2}}} = 1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{2}{{\dfrac{1}{4}}} = 9$
$x + y = 1 \Leftrightarrow 1 - {x^2} - {y^2} = 2xy \\$
$1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \\ $
không biết có được không

mình có một cách khác nè, chậm hơn, dùng bdt bunhiaxcopki
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge {3^3} \Leftrightarrow 9\sqrt[3]{{abc}} \ge abc\left( 1 \right) \\ $
$ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\left( 2 \right) \\ $
từ 1 va 2:
$3(a + b + c) \ge abc \Leftrightarrow 4(a + b + c) \ge a + b + c + abc \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{1}{4} \\ $
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow ab + bc + ca = abc \\ $
$ \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + ab}}} \right)\left( {a + bc + b + ca + c + ab} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \\ $
$ \Leftrightarrow VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + ab + ac + bc}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{4} \\ $
Hơi lằng nhăng một chút

mình có nó đấy, để mình thử gửi lên nha.

cho mình hỏi câu này nha, mình làm mãi không ra, dạo này đầu óc hơi bã đậu quá
Khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức sau:
với mọi x;y thuộc R, x và y lớn hơn hoặc bắng 3, x^2 lớn hơn hoặc bắng 3y, CMR:
xy+3 lớn hơn hoặc bằng 2(x+y)

Bài 1
$(C_{2n+1}^{0})^{^{2}} = (C_{2n+1}^{2n+1})^{2}$ Hằng đẳng thức Pascal, tương tự

$(C_{2n+1}^{2})^{2} = (C_{2n+1}^{2n-1})^{2}$

..........................................................................
$(C_{2n+1}^{2n})^{2} = (C_{2n+1}^{1})^{2}$ Cộng theo hai vế ta co đpcm.
Mọi người xem thử

Xin lỗi mọi người nha, mình post bài hôm trước vi phạm tiêu đề nên hôm nay mình post lại đề bài.

Chia mỗi cạnh của 1 hình vuông làm n phần bằng nhau, ta được n² hình vuông nhỏ, trong mỗi hình vuông nhỏ, kẻ các đường chéo. Hỏi trong hình có tất cả bao nhiêu hình vuông.

Đây là trường hợp n=4 ( các bạn tải hình dùm mình, mình không biết post ảnh)
Kết quả :
S1=1
S2=10
S3= 31
S4= 72
S5= 137
Tính S50, S100, S1000
(tìm công thức tổng quát thôi chứ không đếm được đâu)

Các anh chị làm giúp em bài này:
Bài 101: cho a,b,c không âm, Cmr:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$
em mới chứng minh được trong TH $b\geq a\geq c$ thôi, cảm ơn các anh chị nhiều

Theo mình thì không đúng rồi, mình đã tìm ra công thức tổng quát, và cũng đếm thử thì đều trùng nhau. Theo công thức của bạn thì s4=68 sai rồi, S4 = 72 cơ.
Đây là công thức mình tìm được, các bạn kiểm định:

$S_{n}= \dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2}$ với n chẵn

$S_{n}= \dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2}-\dfrac{1}{2}$ với n lẻ

nói chung là $S_{n}= \left [\dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2} \right ]$ với mọi n.

Tổng quát BDT 3 của anh Vietfrog
BĐT 3 dạng tổng quát
$\dfrac{{a_1{}}^{n}+{a_{2}}^{n}+{a_3{}}^{n}+...+{a_n }^{n}}{n}\geq \left ( \dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_n}{n} \right )^{n}$

Chứng minh theo tư tưởng BDT Holder
Đặt S= ${a_1{}}^{n}+{a_{2}}^{n}+{a_3{}}^{n}+...+{a_n }^{n}$

$\dfrac{{a_{1}}^{n}}{S}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+...+\dfrac{1}{n}\geq n\sqrt[n]{\dfrac{{a_{1}}^{n}}{S*n^{n-1}}}=a_{1}\sqrt[n]{\dfrac{n}{S}}$ ( BDT Cosi với n số)

Tương tự với các số a2, a3,...,an.

Cộng hai vế của n BDT trên ta sẽ suy ra điều phải chứng minh

@vietfrog:Cảm ơn Hoàng rất nhiều , nhưng em lưu ý gõ công thức và Tiếng Việt có dấu nhé . Sưu tầm thêm BĐT phụ nha.

Hướng làm của mình là như sau: chia hình vuông S_n làm hai phần là hình vuông S_{n-1} và hai đường biên ngoài có độ dài n hình vuông nhỏ
$S_{n}=S_{n-1}+M$

Tìm M bằng cách tìm số hình vuông tạo bởi đường biên ngoài ( có cả tạo với hình vuông trong nữa), chia ra làm hai loại hình vuông là hình vuông nằm ngang và hình vuông nằm chéo.
Với cách làm như vậy sẽ tìm được $S_n$
Nếu không bạn nào làm thì khi trường mình thi học kỳ xong mình sẽ post cách tìm

Mình xin tổng hợp lại một số BĐT 3 biến ở trên vào một dãy, mình nghĩ là nó sẽ dễ nhớ hơn vì khá đẹp mắt. Các chứng minh chỉ dùng BĐT Cosi.
Với mọi a,b,c dương ta có:

$\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq \dfrac{\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( a+b+c \right )}{3^{2}}\geq \dfrac{(a+b+c)^{3}}{3^{3}}\geq \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq $


$\dfrac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\geq \sqrt{\left ( \dfrac{ab+bc+ca}{3} \right )^{3}}\geq abc\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a^{3}}+\dfrac{1}{b^{3}}+\dfrac{1}{c^{3}}}$

_______________________________________________________________________________________

Ứng dụng:

CM BĐT trang 66 Sáng tạo bất đẳng thức mà không dùng chuẩn hóa

$\sqrt[3]{\dfrac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{8}}\geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$

Nhìn dãy trên thấy ngay VT và VP cách nhau bởi $\sqrt[3]{\dfrac{\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )}{9}}$ nên ta CM như sau:

Ta có: $\left ( a+b\right )\left (b+c \right )\left ( c+a \right )= \left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )-abc\geq \dfrac{8}{9}\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{8}\geq \dfrac{\left ( ab+bc+ca\right )\left ( a+b+c \right )}{9}$ (1)

Vì $\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )$ nên

$\dfrac{\left ( ab+bc+ca\right )\left ( a+b+c \right )}{9}\geq \sqrt{(\dfrac{ab+bc+ca}{3})^{3}}$ (2)

Từ 1 và 2 suy ra đpcm.

Còn các giải nào khác cho câu 3 không, mình chưa học tích phân

Bắt đầu đếm số hình vuông ngang trước vì nó dễ hơn mà.
Dễ thấy tính chất sau:

Cho 1 dãy gồm n phần tử, gộp k phần tử liên tiếp làm một nhóm $\Rightarrow$ có (n-k+1) nhóm.

Như vậy, trong một đường biên ngoài của hình vuông n đang xét, với mỗi cách gộp m hình vuông con liên tiếp, ta sẽ chỉ ra được một hình vuông tạo thành. Suy ra, trong 1 đường biên sẽ tạo ra được $\sum_{m=1}^{n}n-m+1=1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Trong hai đường biên có n hình vuông ngang bị đếm hai lần (n hình vuông có đỉnh là đỉnh của hình vuông lớn bị đếm hai lần), như vậy số hình vuông đếm ngang là:$2*\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}$
_____________________________________________________________________________

Bây giờ đếm hình vuông chéo. Nên đếm trong trường hợp cụ thể, ví dụ x=9, x= 10 để kiếm chứng rồi tổng quát hóa lên.

Có hai loại hình vuông chéo là hình vuông có 1 đỉnh ngoài cùng nằm trên mép của đường biên ngoài và hình vuông có đỉnh ngoài cùng là tâm của các hình vuông đường biên ngoài. Gọi các đỉnh ở biên ngoài là 0,1,2,...,x. Cách đếm như sau, các đỉnh từ 0 tới x/2 đếm chéo lên trên, các đỉnh từ x/2 tới x đếm chéo xuống dưới.

TH1: $n=2m$ (n chẵn), theo cách đếm như trong bảng sau, ta có kết quả:

Tổng số hình vuông chéo của một biên là: $2(1+2+3+...+2m)+2m-2=4m^{2}+4m-2.$

Sau hai lần đếm biên, số hình vuông đếm hai lần là: $4(m-1)+1=4m-3$

Như vậy, tổng số hình vuông chéo là $2(4m^{2}+4m-2)-(4m-3)=8m^{2}+4m-1=2n^{2}+2n-1$.

TH2: $n=2m+1$ làm tương tự như trên, ta được số hình vuông chéo là: $2n^{2}+2n$

Như vậy $S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n-1=S_{n-1} +3n^{2}+2n-1$ với n chẵn.
$S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n=S_{n-1} +3n^{2}+2n$ với n lẻ.

Dùng quy nạp toán học suy ra $S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}-\dfrac{1}{2}$ với n chẵn và
$S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}$ với n lẻ

Hay $S_{n}=\left [ \dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2} \right ]$

Có bạn nào còn cách khác thì post lên cho mình xem nha.

Theo mình thì không có cách nào cả.
Bàn cờ vua chia làm 8 cột là 1,2,3,4,5,6,7,8 và 8 hàng
Đặt con xe đầu tiên lên cột 1 thì có 6 cách (trừ đi hai ô nằm trên đường chéo).

Đặt con xe thứ hai lên cột 2 có 5 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và một ô nằm cùng hàng với con xe 1).

Đặt con xe thứ ba lên cột 3 có 4 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và hai ô nằm cùng hàng với con xe 1 và 2).

Đặt con xe thứ tư lên cột 4 có 3 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và ba ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3).

Đặt con xe thứ năm lên cột 5 có 2 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và bốn ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4).

Đặt con xe thứ sáu lên cột 6 có 1 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và năm ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4,5).

Đặt con xe thứ bẩy lên cột 7 có 0 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và sáu ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4,5,6).

Con thứ 8 có không cách.

Theo quy tắc nhân có 0 cách xếp như vậy.

Câu a
Theo mình như sau.
B1: Coi hai người đàn bà là một người, chửa cần xếp đứa trẻ, như vậy sẽ có 5 người, có 5 cái ghế nên có 4! cách sắp xếp ( trong SBT cung đã có nói).
B2: Như trên, sẽ có 2 cách sắp xếp hai bà theo chiều ngược xuôi kim đồng hồ
B3: Ứng với mỗi cách xếp B1,B2 lại chỉ có duy nhất 1 cách xếp đứa bé.
Theo quy tắc nhân có 4!.2.1=2.4!

Hoặc cũng có thể coi bộ ba (1 bà, 1 trẻ con, 1 bà) với đứa trẻ luôn ở giữa là một.

Theo mình:
Vì 0.(9) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên biểu diễn dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với a<b.
Nhưng ta luôn có $\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}$ với mọi a<b.
Vô lý vì không có số nào nằm giữa 0,(9) và 1 cả
Suy ra 0,(9) gần bằng 1
Hihi, mình cũng không rõ vấn đề này, chỉ post cho vui thôi.

Em cũng chưa làm được bài này nhưng nếu thử bằng Pascal thì kết quả là 4752 cách
Đây là code:


uses crt;
var s:array[1..8,1..8] of byte;
a,b,c,d,e,f,g,h,n:byte;
begin
for a:=1 to 8 do (* hang 1 *)
if (a<>1)and(a<>8) then
for b:= 1 to 8 do (* hang 2 *)
if (b<>2) and (b<>7)and(b<>a) then
for c:=1 to 8 do (* hang 3 *)
if (c<>3)and(c<>6)and(c<>a)and(c<>b) then
for d:= 1 to 8 do (* hang 4 *)
if (d<>4) and (d<>5)and(d<>a)and(d<>b)and(d<>c) then
for e:= 1 to 8 do (* hang 5 *)
if (e<>5) and (d<>4)and(e<>a)and(e<>b)and(e<>c)and(e<>d) then
for f:= 1 to 8 do (* hang 6 *)
if (f<>6) and (f<>3)and(f<>a)and(f<>b)and(f<>c)and(f<>d)and(f<>e) then
for g:= 1 to 8 do (* hang 7 *)
if (g<>7) and (g<>2)and(g<>a)and(g<>b)and(g<>c)and(g<>d)and(g<>e)and(g<>f) then
for h:= 1 to 8 do (* hang 8 *)
if (h<>8) and (h<>1)and(h<>a)and(h<>b)and(h<>c)and(h<>d)and(h<>e)and(h<>f)and(h<>g) then
n:=n+1;
writeln(n);
readln(n)
end.


Mọi người xem thử.

Mình xin làm bài 102 . Giả sử, $a\ge b\ge c$ Lúc đó, bằng biến đổi tương đương, ta có $a^2b + b^2c + c^2a \ge ab^2 + bc^2 + ca^2$

Theo em thì còn phải giả sử $a\leq b\leq c$ nữa.

Mời mọi người làm bài sau, khá hay:

Cho $x_{0}=2009$
$x_{n}=\frac{-2009}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}$


Tính tổng $S=\sum_{0}^{2009}(2^{k}*x_{k})$

Cảm ơn anh Xusinst, em đã sửa lại đề rùi

Bài 113:
Cho các số dương a,b,c. Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}+\frac{bc}{b^2-bc+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2-ac}$

$\frac{ab}{a^{2}-ab+b^{2}}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1}$

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x, \frac{a}{c}+\frac{c}{a}=y, \frac{c}{b}+\frac{b}{c}=z$

Ta được $x+y+z+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{z-1}=(x-1+\frac{1}{x-1})+(y-1+\frac{1}{y-1})+(z-1+\frac{1}{z-1})+3$
$\geq 6+3=9$ (Theo AM-GM)

$\Rightarrow A\geq 9$ khi và chỉ khi $x=y=z=2$ tương đương $a=b=c$

$$\frac{{{x^4}}}{{y + z}} + \frac{{{y^4}}}{{z + x}} + \frac{{{z^4}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{2}({x^3} + {y^3} + {z^3})$$ với $$x,y,z \ge 0$$

Bạn sử dụng BĐT sau:

$3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z) $ (1) với $a\geq b\geq c$ và $x\geq y\geq z$

$\left ( 1 \right )\rightarrow VT-VP=\sum (a-b)(x-y) \geq 0$ đúng vì dãy a,b,c và dãy x,y,z tăng.

Áp dụng 1 giả sử $x\geq y\geq z \Rightarrow \frac{x}{y+z}\geq \frac{y}{z+x}\geq \frac{z}{x+y}$
$\frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{z+x}+\frac{z^{4}}{x+y}\geq \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right )\geq \frac{1}{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})*\frac{3}{2}=VP$

Đ.P.C.M

Hoạt động gì vậy anh, em ở Đông Anh, Hà Nội. Có xa quá không

Mùng hai Tết cơ à, em chưa hỏi bố mẹ, không biết có được không.

Các ĐHVTHPT đánh lại số thứ tự bài nhé .Cho đẹp và dễ nhìn
Không hiểu tại sao chủ đề này lại trầm quá vạy
Bài ...:Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng là $3$.Chứng minh rằng$$\dfrac{4}{(a+b)^3}+ \dfrac{4}{(b+c)^3}+ \dfrac{4}{(c+a)^3}\ge \dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{b}{c+a}+ \dfrac{c}{c+a}$$

Em xin làm bài này, sử dụng AM-GM

ĐPCM tương đương $\sum \frac{4}{(3-a)^{3}}\geq \sum \frac{a}{3-a}$

Ta có: $\frac{4}{(3-a)^{3}}+\frac{a^{2}}{2}+\frac{a}{2}\geq \frac{3a}{3-a} (1)$

Chứng minh $\frac{2a}{3-a}\geq \frac{a^{2}}{2}+\frac{a}{2} (2) \Leftrightarrow a^{2}+1\geq 2a$ đúng.

Cộng theo vế (1) và (2) ta được $\frac{4}{(3-a)^{3}}\geq \frac{a}{3-a}$

Tương tự cho b và c rồi cộng lại, ta có ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$