$a^{2}+2b^{2}+5c^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}+mb^{2}+(5-n)c^{2}+nc^{2}$

Bây giờ AD bdt côsi:

$\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}\geq 2ab\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}$

$\frac{a^{2}}{2}+(5-n)c^{2}\geq 2ac\frac{\sqrt{5-n}}{\sqrt{2}}$

$mb^{2}+nc^{2}\geq 2\sqrt{mn}bc$

Ta tìm m,n sao cho:$\sqrt{mn}=\sqrt{\frac{2-m}{2}}=\sqrt{\frac{5-n}{2}}$

m=$\frac{5+\sqrt{65}}{4};n=\frac{\sqrt{65}-7}{4}$

Do đó $\geq 2\sqrt{mn}(ab+bc+ac)=2\sqrt{mn}$

Mình thấy m>2 nên $\sqrt{2-m}$ vô nghĩa. Mà điều kiện dấu bằng mình nghĩ không chỉ có thế, còn phải thỏa mãn bất đẳng thức cauchy áp dụng cho từng bộ 2 số.

điều kiện dấu bằng xảy ra không thỏa mãn rồi bạn ạ. Bạn có cách nào khác không?

Mình có bài tập này muốn nhờ mọi người giúp. Theo mình đoán là dùng bunhia nhưng điều kiện dấu bằng xảy ra khó mà tìm được nên dường như là không khả thi.

$ab+bc+ca=1; a,b,c>0$,

Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$ P= a^2+ 2b^2+ 5c^2$

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{26}{3}$
Với x,y,z thuộc [1;3]
Các bạn giúp mình nhé!

đạo hàm $(\frac{4}{t^3})'=-\frac{4}{2t^2}dt = du =>\frac{dt}{t^2}=-\frac{du}{2}$

Nhưng bạn đạo hàm nhầm rồi!
à là bạn nhầm nguyên hàm với đạo hàm! ^^

mình nghĩ là đạo hàm của $\frac{4}{t^2}$ không phải bằng ...''du'' đâu!

các mem làm giùm mình với ạ
$\int \frac{x^3dx}{x^{12}-x^6+4}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB=BC=CD=a, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60độ. Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Chứng minh 4 điểm A,H, I, K đồng phẳng.
Cảm ơn mn nhiều

mọi người giúp mình bài này
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. M là một điểm nằm trong miền tam giác ABC. Gọi góc giữa SM với SA, SB, SC lần lượt là x,y,z. Chứng minh hệ thức $ cos^2 x+cos^2 y+cos^2 z =1$

mọi ng tìm giúp mình giới hạn này nh
$lim_{x \to 0} x sin\frac{2}{x}$

giải giùm mình nhé các mem
$lim \left (u_{n} \right )$ với
$u_{1}=1$
$u_{n}=u_{n-1}+\frac{1}{n}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{\frac{32x}{32+x}}+(48-x)\sqrt{\frac{32+x}{32x}}$
Với x thuộc (0;48]

Mình thành thật xin lỗi với tên topic ban đầu đã đặt!

$(x^3-9x^2+23x-15)^{16} $
tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển trên.
Trình bày cho mình kĩ nhé, và ra kết quả là số cụ thể
Cảm ơn mọi ng đã lưu tâm!

Bài này có mem nào có ý tưởng khác k? Mình quả thật bó tay

Sai rồi bạn à!
Dấu bằng xảy ra, theo cách làm của bạn, là khi $ a=b=c= 1 $ , nhưng mà $ a+b+c $ có phải luôn luôn không đổi và bằng 3 đâu!

Bài giải này sai ở một chỗ: trong trường hợp xét $2^4=16$ trường hợp không có chữ số 0, rõ ràng số 11111 thỏa mãn => trùng với trường hợp xét $1^4=1$ trường hợp không có chữ số 0,2.

Theo mình là đã đúng r, vì tác giả đã sử dụng quy tắc cộng mở rộng đấy chứ
$\left | A \cup B \right |= \left |A \right |+\left | B \right | - \left | A \cap B \right |$
Với A là tập hợp các số k có số 0
Và B là tập hợp các số k có số 2

chọn một đỉnh
vì 2 đỉnh kề nó k thể tạo ra 1 tam giác (từ đây mình nói đến 1 tam giác là 1 tam giác tm đề bài)
còn lại 9 đỉnh
Số đoạn thẳng tạo bởi 9 điểm đó là $C_{2}^{9}$, trong đó có 8 đoạn thẳng trùng với cạnh của đa giác
Vậy có $C_{2}^{9}-8$ đoạn thẳng tạo với đỉnh đã chọn để tạo ra 1 tam giác.
Tương tự với các đỉnh còn lại.
Vì trong cách làm, mỗi tam giác bị trùng lặp 3 lần (vì 3 đỉnh của tam giác đều được chọn ra một lần)
ta có : $ 12(C_{2}^{9}-8)/3 = 112 $ tam giác
Theo mình là như vậy!

Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$. a,b,c>0
k là hằng số
P/s: bài này mình đã post r nhưng mà chưa nhận đc câu trả lời thỏa đáng.
Mong các mod đừng xóa bài này nhé!

uh
bạn giải đúng rồi đó mình giải lại cũng ra 510.

Mình nghĩ là k đúng đâu
Nếu làm như các bạn thì hóa ra chọn 3 viên bi cũng tính đến cả thứ tự của các viên bi trong các chọn ah
Kết quả 510 phải chia cho 3! thì mới ra đáp án đúng. Vì với mỗi 3 viên bi có 3! hoán vị nhưng dù là hoán vị nào trong 3! hoán vị đó thì cũng biểu hiện cho một cách chọn ra 3 viên bi.
Nhân đây mình xin đưa ra một ý kiến thế này:
Bài toán yêu cầu : chỉ được dùng 2 quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân thì ta cứ giải theo cách dùng chỉnh hợp hoặc tổ hợp hoặc cả 2, miễn sao nhanh nhất, sau đó bám sát vào định nghĩa của cách bạn đã dùng (nghĩa là chỉnh hợp hoặc tổ hợp đó) để lý luận.

$(2+2x+x^2)^{2008}$
Tìm hệ số của $x^6$ trong khai triển
Các mem tìm giúp mình kết quả gọn nhất nhé!

Bài 2 hình thức thì rất khó nhưng lại dễ. Còn bài này xusinst giải đi, hình thức dễ nhưng lại khó!

Bài 3:

Giải hệ phương trình sau:

$\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x\sqrt {y - x^2 } + 3y^2 x = 14 \\ x^2 - xy + y^2 = 3 \\ \end{array} \right.$

dễ dàng thấy được y>x>0
$x^2 - xy + y^2 = 3 \Leftrightarrow (x- \dfrac{y}{2})^2+ \dfrac{3y^2}{4}=3 \Rightarrow y \leq 2$ *
$2x\sqrt {y - x^2 } + 3y^2 x = 14 \leq y+3y^2x\leq 2+12x \Rightarrow x\geq 1$
coi pt thứ hai là pt với ẩn x
điều kiện để pt có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 là
$\\ \left\{ \begin{array}{l}( x_{2} -1) (x_{1} - 1) \geq 0 \\ ( x_{2} -1) +(x_{1} - 1) \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{2} x_{1} - ( x_{2} +x_{1}) +1 \geq 0 \\ x_{2} +x_{1} - 2 \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-y-2 \geq 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow y \geq 2$ **
Từ * và ** , kl pt có nghiệm
(1,2)

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho tam giác ABC có trực tâm H(3;3), C(7;1) và các đường cao AD, BE. Hãy tìm tọa độ điỉnh A,B biết trung điểm cạnh AB là M(2;3) và đường thẳng DE đi qua N(2;-2)
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho E(4;1). VIết pt đường thẳng (d) đi qua E và cắt tia Ox tại M, cát tia Oy tại N sao cho OM+ON đạt giá trị nhỏ nhất
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(2;10) và đường thẳng d: y=8. Điểm E di động trên d. Trên đường thẳng AE lấy F sao cho vec{AE}.vec{AF}=24.
Điểm F chạy trên đường cong nào? Viết pt đường cong đó.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường tròn: (I): x^2+y^2-4x-2y+4=0 và (J): x^2+y^2-2x-6y+6=0. CMR: 2 đường tròn cắt nhau và viết pt tiếp tuyến chung của chúng.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ©: x^2+y^2+4x-6y+9=0., K(-1;4) và đường thẳng (d): x-y-3=0. Tìm các điểm trên (d) để từ đó kẻ đc 2 tiếp tuyến đến đường tròn © sao cho đường thẳng đi qua các tiếp điểm cũng đi qua K.
6. Cho 2 điểm A(3;1) và B(-1;2) và 1 điểm C ko trùng với O(0;0) di động trên đường thẳng x-y=0. Đường thẳng AC cắt trục hoành tại M, đường thẳng BC cắt trục tung tại N. CMR: MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
7. Cho tam giác ABC cân tại A có (AB): x+2y-5=0 và (BC): 3x-y+7=0. Viết pt đường thẳng AC biết AC đi qua F(1;-3)
8. Trong mặt phẳng Oxy hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết cạnh BC nằm trên đường thẳng (d): x+7y-31=0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài AB.
P/s: trên đây có cả bày khó, cả bài dễ, mọi người làm giúp mình nhé, tks mọi người nhiều

Nhiều quá ta
Bài 2 có vẻ dễ: OM+ON nhỏ nhất đạt giá trị bằng 0 khi đường thẳng đi qua gốc tọa độ
vậy pt đường thẳng là x-4y=0

1. a, Cho $ \tan B=2$, $ \tan C=3$. CMR: $A= \dfrac{\pi} {4.}$
b, Cho $(1+\ cot B)(1+\cot C)=2$. CMR: $A= \dfrac{\pi}{4.}$
2. Cho $\tan A.\tan B=3, \tan B.\tan C=6$. CMR: tam giác có 1 góc bằng 45 độ
3. a, Cho $\cos (\dfrac{C}{2}). \cos (A-B)+ \cos C. cos (\dfrac{(A-B)}{2})=0.$ Tính $\sin A+\sin B$
b, Cho $\cos C(\sin A+\sin B) = \sin C.\cos (A-B).$ Tính $\cos A+\cos B.$
4. Tính cá góc của tam giác biết $\sin (B-A)\sin C + \sin A+\cos B=\dfrac{3}{2}$
5. Gọi $a,b,c$ là các cạnh đối diện với các goc tương ứng của tam giác ABC.
a, Cho $\sin^{2} B+ \sin^{2} C= 2\sin^{2} A$. CMR: $A\le{60}.$
b, $2(a.\cos A+ b.\cos B+ c.\cos C) = a+b+c.$ CMR: tam giác ABC đều:D
c, CMR: $0< \sin A+ \sin B+ \sin C -\sin A.\sin B - \sin B.\sin C - \sin C.\sin A<1$

Tớ giải câu 3
aaaa$sinA+sin B= 2 sin \dfrac{A+B}{2} cos \dfrac{A-B}{2}$
$\cos (\dfrac{C}{2}). \cos (A-B)+ \cos C. cos (\dfrac{(A-B)}{2})=0.$
$ sin \dfrac{A+B}{2} cos (A-B) - \cos(A-B) cos \dfrac{A-B}{2} =0$
Đặt A-B= 2Y, A+B=2X
$ sinX cos2Y- cosY cos2X=0$
$ sinX (2 cos^2 Y-1) - cosY (1- 2 sin^2 X)=0$
$ (sin X+ cosY)(1- 2 sin X cosY)=0$(Làm hơi tắt nhé)
$ 2 sinX cosY= 1= sinA+sin B$
Cậu thông cảm nhé tớ tài hèn sức mọn k giúp dc nhiều