Mọi người gợi ý giúp em câu c với ạ! 

 

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại E và D, BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại F.

1. a/ Chứng minh : AF vuông BC tại F và tứ giác giác BEHF nội tiếp.
2. b/ Tia DE cắt đường thẳng BC tại S. Chứng minh: SE.SD = SB.SC.
3. c/ Tia AH cắt (O) tại K (F nằm giữa A và K). Chứng minh : SK là tiếp tuyến của (O)

Em có vẽ hình nhưng không biết cách nào chèn hình ảnh lên được! Mong các bác hỗ trợ giúp em câu c. Gợi ý cũng được ạ! 

Hints
Giả sử K' là điểm thuộc (O) : SK' là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh EFOD nội tiếp. Từ đó chứng minh dc tam giác SK'F đồng dạng vs tam giác SOK'(c-g-c) nên K'F vuông vs BC hay K' trùng K

Cho $\Delta ABC, BC=a, AC=b, AB=c.$ Điểm M bất kì. Chứng minh $MA.cos\frac{A}{2}+MB.cos\frac{B}{2}+MC.cos\frac{C}{2}\geq \frac{a+b+c}{2}$
P/s: welcome vmf come back

Bạn dùng bất đẳng thức phụ gì ở gần cuối đoạn vậy

cái đầu thì cauchy schwarz còn cái sau thì cauchy ab$\leq \frac{(a+b)^2}{4}$

 

 

bài 82: Tìm x;y nguyên dương sao cho $x^{2}y+x+y$ chia hết cho $xy^{2}+y+1$

$x^2y+x+y\vdots xy^2+y+1\Leftrightarrow y(x^2y+x+y)-x(xy^2+y+1)\vdots xy^2+y+1$
$\Leftrightarrow y^2-x\vdots xy^2+y+1$
Nếu $y^2=x$. Thay vào phương trình GT $y^5+y^2+y\vdots y^4+y+1$ (hiển nhiên đúng) 
Nếu $y^2>x\Rightarrow y^2-x\geq xy^2+y+1\Leftrightarrow y^2(1-x)-x-y-1\geq 0$ (vô lí vì x,y nguyên dương)
Tương tự cho th còn lại

Từ phương trình 2 có thể đưa về 

$a^3+3a=x^3+3x$ với $a=y-1$

Suy ra $x=y-1$

có thể hỏi hơi stupid nhưng mk không hieeur sao lại đưa về dc dạng này. (nếu đưa về vậy thì vẫn thừa 3y mà nhỉ)

Bài 86: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $q^3+1\vdots p^2$ và $p^6-1\vdots q^2$

1-1
Pt GT có dạng $a^3+a=b^3+b$ với a=$2x^3$, b=x+1
1-2
Pt (2) đưa về $(x+2y)^3=x^3+y^3+1+3(x+1)(y+1)(x+y)=(x+y+1)^3$ hay y=1 từ đó thay vào tìm x
 

III-1
Ta có $\widehat{MIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}=\widehat{AEF}=\widehat{MEC}\Rightarrow$ MEIC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{IMC}=90^{\circ}$
Tương tự $\widehat{INC}=90^{\circ}\Rightarrow$ BNMC nội tiếp
III-2
Dễ thấy CDIEM, BDINF nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CDM}=\widehat{CIM}=\widehat{NIB}=\widehat{BDN}$
$\Rightarrow \widehat{IDN}=\widehat{IDM}\Rightarrow DP=DQ\Rightarrow PQ//BC$
P/s: cho mk xin hints của câu c) với ạ

cho mk hỏi câu I ngoài cách cần cù bù siêng năng (thay $x^2=2-y^2$) ra thì còn cách nào khác không nhỉ

https://diendantoanh...n-khtn-vòng-1/ 
có đây rồi này bạn

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2 & \\ y^2+2y+2=(y+2)\sqrt{x^2+1} & \end{matrix}\right.$
P/s: ở vmf lúc trước nhưng chưa có lời giải
 

Cho những ai quan tâm đến nghiệm

${x = y = 0},; {x = y = \frac{-4}{3}}$

how to

P/s: tiếp nối anh syndicate

Ảnh mới up trước đây luôn

có 2 bản cx dc

Gọi D là tâm (AQR). G đối xứng với A qua D
GQ, GR cắt BE, CF tại I và J. Dễ cm dc HIGJ là hình bình hành, HG cắt IJ tại S
Gọi M trung điểm BC thì theo bổ đề hình thang ta sẽ dc H, S, G, M, K thẳng hàng (tính chất quen thuộc)
Vẽ đường kính AK của (ABC) thì dễ thấy L, G, K thẳng hàng
Từ đó HL sẽ đi qua trung điểm BC
P/s: cách này có gọn hơn cách của bạn 12decmath không nhỉ, mk cx không chắc đúng không nữa     





 

Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh tỉnh Hà Nam năm học 2020-2021

3a)
Đặt $2x^2+1=a, x+7=b$. BTVT $a^2+5b-25=ab\Leftrightarrow (a-5)(a-b+5)=0$
Đến đây chắc dễ rồi

Cho những ai cần câu 5c)
Gọi G, I là giao của CF và BE với (O). Dễ thấy $\Delta AMN$ cân tại A nên MN//BC thì ta cần cm AH phân giác $\widehat{MAN}$
Kết hợp với $\Delta AGH,\Delta AHI$ cân tại A nên ta cần cm $\widehat{GAP}=\widehat{IAQ}\Rightarrow PG=IQ$
Mà $\frac{PG}{QC}=\frac{PF}{CF}, \frac{IQ}{PB}=\frac{QE}{BE}$ nên để PG=IQ thì cần cm $\frac{PB}{QC}=\frac{PF}{CF}.\frac{BE}{QE}=\frac{PF}{QE}.\frac{AE}{AF}=\frac{PB}{AQ}.\frac{AE}{QE}$
Từ đó cần cm $\frac{AQ}{QC}=\frac{AE}{QE}\Leftrightarrow \frac{AP}{QC}=\frac{AE}{QE}$ (hiển nhiên đúng)

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

1 hướng khác nhưng phần đầu giống bạn 12DecMath
Sau khi cm dc KM//AN thì ta có $\frac{MD}{MH}=\frac{MN}{MH}=\frac{AK}{KH}=\frac{DS}{DH}\Rightarrow \frac{MH}{DH}=\frac{MD}{DS}=\frac{KM}{KI}\Rightarrow AK//DI$ hay AKDI là hbh

Pt (1) $\Leftrightarrow y(4x^2+xy+4x)=y(2y^2+5y)$
Dễ thấy 1 nghiệm y=0, thay vào pt (2) sẽ được x=0
Hpt còn lại $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x^2y+xy+4x-2y^2-5y=0 & \\ 2x^2y-4xy^2+x-14y=0& \end{matrix}\right.$
Lấy pt đầu trừ 2 lần pt (2) sau đó thu gọn dc x=$\frac{2y^2+23y}{8y^2+y+2}$
Thử thế vào pt còn lại
P/s: không biết còn cách nào nx không

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

Tâm (BEDC) nằm trên BC rồi thì sao 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau dc ạ

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

a) Ta có $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}$ mà $\widehat{DCB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{KDB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}$ hay BTKD nội tiếp
b) Giả sử (BEO)$\cap$ (CDO) = L', dễ cm dc $\overline{A,L',O}$ và AEL'D nội tiếp
Ta có BTKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KTD}=\widehat{KBD}=\widehat{BCD}=\widehat{AED}\Rightarrow$ ATED nội tiếp mà AEHD nội tiếp
nên ta dc A, T, E, H, L', D thuộc 1 đường tròn hay $HL'\perp AO$
Tương tự ta cũng dễ cm dc SL'$\perp AO\Rightarrow \overline{S, H, L'}\Rightarrow L'\equiv L$ hay có dpcm
c) Từ câu b) ta đã cm dc L là giao của (BEO) và (CDO) nên gọi giao điểm của DE và BC là S' sau đó cm tương tự câu b) 



P/s: mk không chắc chắn lắm về bài này nên cs sai sót mong mọi người thông cảm ạ  

Cho mình hỏi tính chất quen thuộc chứng minh kiểu gì vậy? 

Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của $\Delta ABC$ tiếp xúc với BC tại P
Từ đây việc cm BD=CP có lẽ là ez vs các bạn rồi
Gọi X đối xứng với D qua I, ta có BI, BJ là phân giác trong ngoài $\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \frac{AI}{AJ}=\frac{NI}{NJ}=\frac{ID}{PJ}=\frac{IX}{JP}\Rightarrow \Delta AIX\sim \Delta AJP(c-g-c)\Rightarrow \overline{A, X, P}$



P/s: đây là hình mk lấy ở đề thi hsg toán 9 hà nội năm nay vì một phần bài hình của đề cũng có áp dụng tính chất này và mk cũng hơi nhác vẽ hình trên GeoGebra nữa 

Bài 102​
Tìm (a; b; p) với a, b $\in Z^{+}$, p là số nguyên tố sao cho 4p = b$\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}$



 

giải hệ phương trình

Từ pt (2) có dc (5x-2)($2y^4x-8y^4-1)=0$ 
$x=\frac{2}{5}$ và $y^2=\frac{1}{\sqrt{2x-8}}$ thay vào pt đầu tìm x, y