Bài 1 : CMR: Nếu p là số nguyên tố > 3 thì nó có 1 trong 2 dạng biểu diễn là:
p= 6k+1 hoặc p = 6k-1 ( p thuộc N*)
Từ đó => nếu p là 10p+1 đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 5p+1 chia hết cho 6
Bài 2 : CMR : có vô số số nguyên tố có dạng 4k+3 với k thuộc N
Bài 3 : Tìm số nguyên tố có 2 chữ số ab biết ba là số nguyên tố , a khác b và:
ab-ba là số chính phương

Bài 1: CMR có số tự nhiên tận cùng là $2011$ mà chia hết cho $2013$
Bài 2 : CMR có số tự nhiên $n$ sao cho $3^n -1$ chia hết cho $2011$.
Bài 3: 1 số tự nhiên $a$ chia $4$ dư $3$ , chia 9 dư 5 .Hỏi $a$ chia cho $36$ dư bao nhiêu ?
Bài 4 : Tìm số tự nhiên có $2$ chữ số biết nếu nhân số đó với $37$ được kết quả chia cho $31$ dư $15$.
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng cho $29$ dư $5$ , chia $31$ dư $28$.

Bài 1 : Cho $100$ số tự nhiên bất kì. CMR: luôn tìm được trong đó một số hoặc vài số có tổng chia hết cho $100$.
Bài 2 : 1 số chính phương gồm có 4 chữ số $0,2,3,5$ . Hỏi số đó là số nào?
Bài 3 : CMR : $1^3+2^3+3^3+..........+n^3 ( n \in \mathbb{N})$ chính phương.

Bài 1 em làm thế này được không anh:
gọi 100 số đó là $a_1;a_2;a_3;...................;a_{100}$
xét 100 tổng:
$s_1=a_1$
$s_2=a_1+a_2$
$s_3=a_1+a_2+a_3$
..........
$s_{100}=a_1+........+a_{100}$
Nếu trong 100 tổng này có 1 tổng chia hết cho 100 thì bài toán được CM
Nếu trong 100 tổng này không có số nào chia hết cho 100 thì khi chia cho 100 sẽ có 99 số dư:1,2,3............99
=> có 2 tổng có cùng số dư
=> hiệu 2 tổng này chia hết cho 100
=> ĐPCM

À quên anh nói rõ hơn bài 3 dc ko

Perfectstrong: Em tập gõ latex lại nhé. Còn bài 3, em chứng minh cái đẳng thức anh đưa ra. Sau đó áp dụng vào thì thấy được biểu thức cần cm là bình phương một số tự nhiên mà.

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lớn hơn $3$ và $p-q=2$. Chứng minh rằng $p+q$ chia hết cho $12$.

Mod. Đề nghị bạn học gõ công thức toán và gõ Tiếng Việt có dấu trên diễn đàn, cảnh cáo lần 1.

em lam` the' nay` dc ko
$p-q=2 \Rightarrow p=2+q$
$\Rightarrow$ $p+q=2+q+q= 2 ( q+1)$
q nto' >3 => $q+1 :2 \Rightarrow 2(q+1) :4$
Ta co' $p^{2}-q^{2}$ chia het cho 3
That vay neu' $p=3k+(-1)1$ thi` $p^{2} :3$ du 1
$q=3k +(-) $ 1 thi` $q^{2} :3 $ du 1
$\Rightarrow$ $p^2-q^2$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $(p+q)(p-q)$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $( p+q).2$ chia het cho 3
$\Rightarrow$ $p+q $chia het cho 3
$\Rightarrow$ DPCM
Ai cho y kien vs
Mod. Đề nghị bạn học gõ công thức toán và gõ Tiếng Việt có dấu trên diễn đàn, cảnh cáo lần 2

Bài 1:Cho $x \geq 1$ . Tim min: $s= \sqrt{x-1} + \sqrt{2x^{2}-5x+7}$
Bài 2 :Cho $0<x<2$ .Tim min : $S=\dfrac{2}{2-x} + \dfrac{1}{x} 3)$
Bài 3:Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,.......,a_{2010} > -1$
$$a_1+a_2+a_3+..........+a_{2010} =2$$
CMR: $\sqrt{a1+1}+\sqrt{a2+1}+............+\sqrt{a2010+1} \leq 2011$
Bài 4:Cho $0\leq a,b\leq 2011$. CM:
$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{a^{2}+(2011-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(2011-a^{2})} + \sqrt{(2011-a)^{2}+(2011-b)^{2}} $$
$$\geq 2\sqrt{2}.2011$$


Mod. Sau khi gõ xong thì bạn kẹp chúng bởi
[color=#ff0000]

[/color]
$công thức$

Có cách nào ko dùng schwarz mà làm dc ko?

CMR: $1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+..........+\dfrac{1}{2012^{2}} <\dfrac{5}{3}$
Tổng quát bài toán basel:
CMR : $1+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{2^{3}}+........+\dfrac{1}{n^{2}} <\dfrac{\pi ^{2}}{6}$

Cho $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1$
Tìm max $abc$

Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...

Sao ông kia suốt ngày hỏi bài trên TTT thế , đề nghị mod xem lại

MoD: MoD không thể kiểm soát được tất cả. Nên rất cần sự cộng tác của các bạn. Nếu có ý kiến thì bạn hãy lập tức gửi đến BQT để có thể xử lý

Đây là những bài trên TTT mà. Sao lại post lên làm gì

Cho $b^{2}-4ac$ và $b^{2}+4ac$ chính phương. CMR: $abc \vdots 30$.

Mod: Gõ Tiếng Việt có dấu.

Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Tia ax vuông góc với AD cắt BC tại E. Tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F
a) Gọi A' đối xứng A qua EF. CM: CEFA' là tứ giác nội tiếp
b)CMR: EF đi qua O
p/s: Sorry mấy anh mod em để tiêu đề thế kia tại vì nếu để như bình thường thì chả ma nào phải xem bài cả @@

MoD: Rất thông cảm với bạn lần này nhưng sẽ không có lần sau.

toàn đề thi HSG HN cả :
Bài 1: Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng không lớn hơn 2004.CMR:luôn tìm được 6 số đã cho thỏa mãn: 6 số này chia được thành 3 cặp số mà mỗi cặp đều có tổng=53
Bài 2:Cho 100 điểm phân biệt và một đường tròn (O) cố định có bán kính 1cm.CMR: tồn tại 1 đa giác 2004 đỉnh nội tiếp đường tròn(O) sao cho: tổng các khoảng cách từ mỗi đỉnh của đa giác đó đến 100 điểm đã cho đều không nhỏ hơn 100 cm
Bài 3:Cho 10 điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và năm trong một tam giác đều có cạnh là 2 cm. CMR: luôn tìm được 3 điểm trong 10 điểm đã cho, 3 điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: là tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$ cm2 và có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng 45 độ
Bài 4 : Trong hình chữ nhật kích thước 7x10 cm ta đặt 7 điểm khác nhau một cách hú họa. CMR: luôn tìm được 2 điểm trong 7 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 5cm
Bài 5: Cho 9 điểm khác nhau trên 1 đường tròn. Ta tô màu 9 điểm đó một cách hú họa để được 5 điểm màu đỏ và 5 điểm màu xanh.Sau đó ta thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau:
-Giữa 2 điểm liền nhau ta xác định điểm mới, điểm này được tô màu đỏ nếu 2 điểm liền nhau cùng màu và được tô mà xanh nếu 2 điểm liền nhau khác màu
Hỏi sau một số hữu hạn lần thực hiện phép biết đổi trên ta có thể thu được kết quả các điểm toàn là màu đỏ không
Bài 6: 1 dãy phố được đánh số nhà theo nguyên tắc cùng chẵn hoặc cùng lẻ.Biết rằng tổng của các số chỉ số nhà của dãy là 1325, hãy xác định số nhà thứ 13 kể từ đầu dãy
Bài 7: Trên mặt phẳng cho 17 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.Tất cả các điểm được nối với nhau từng cặp bằng các đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng đó được tô 1 trong 3 màu: xanh ,đỏ , vàng. CMR: luôn tìm được một tam giác có các cạnh cùng màu
Bài 8: Cho 37 điểm , không có 3 điểm nào thẳng hàng năm ở bên trong hình vuông có cạnh bằng 1.CMR: luôn tìm được 5 điểm trong 37 điểm đã cho thỏa mãn: các tam giác được tạo bởi 3 điểm bất kì trong 5 điểm đó có diện tích S$\leq$ 18
CHÚC MỪNG VMF 8 tuổi

Cho tam giác ABC, gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, p là nửa chu vi, D, E , F lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc A,B,C. CMR:$DE^{2}+DF^{2}+EF^{2}\geq 8\sqrt{3}p.r$

Bài 1:Cho M = $\sqrt[3]{22+10\sqrt{7}}+\sqrt[3]{22-10\sqrt{7}}$
Tìm xy để $4(x^{4}+x^{2}+1)=(x^{4}+2x^{2}+1)(M+2y-y^{2})$
Bài 2: Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2} & & & & & \\ \frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{-2}{3} & & & & & \\ x+y+z+t=5 & & & & & \\ xyzt=-6 & & & & & \end{matrix}\right.$

Bài 1:Cho a,b,c>0 , a+b+c=4
Tìm min M = $\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{4}}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}$
Bài 2:a) CMR: f(x)= $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên <=> 6a,2b,a+b+c,d là các số nguyên
b) CMR: A=$(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{2004}+ (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{2004}$ là 1 số tự nhiên

Cho tam giác ABC nhọn AA1,BB1,CC1 là đường cao tương ứng với cạnh BC,AC,AB , chúng cắt nhau tại H. D đối xứng với H qua AC.CMR:
a) AC.BD=AB.CD+AD.BC
b)* Gọi R , r là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
CMR: $\frac{1}{AA1}+\frac{1}{BB1}+\frac{1}{CC1}=\frac{1}{r}$ và $\frac{AA2}{AA1}+\frac{BB2}{BB1}+\frac{CC2}{CC1} \leq 1+\frac{R}{r}$ trong đó A2,B2,C2 là trung điểm BC , AC,AB

Cho a,b,c>0 , a+b+c=4
Tìm min M= $\frac{a^{4}}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{4}}{(c+a)(a^{2}+c^{2})}$

cho em hỏi cái dấu kia là dấu gì đó?
Anh có thể giải chi tiết hơn dc ko

chi tiết hơn dc ko ạ
Em ko hiểu cái dấu kia là gì

Cho tam giác đều ABC, M thuộc BC, N thuộc AC sao cho BM=CN
a)CMR: Khi M,N chuyển động trên BC,AC thì trung điểm I của MN thuộc 1 đường thẳng cố định
b)Xác định M,N để MN min

Bài 1: CMR với mọi N nguyên dương:
$2^{3n}+1\vdots 3^{n}$
Bài 2:CMR: với mọi N thuộc N*, n>1:
$n^{n}+5n^{2}-11n+5 \vdots (n-1)^{2}$
Bài 3: Cho pt $x^{2}-m(n+1)x+m+n+1=0$ có 2 nghiệm tự nhiên với m,n tự nhiên
CMR: m.n $\leq$ 4
Bài 4: Tìm x,y nguyên:
$(x+2)^{4}-x^{4}=y^{3}$

Bai1:Cho:
$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}=a & \\ y+\frac{1}{y}=b & \\ xy+\frac{1}{xy}=c & \end{matrix}\right.$
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=abc+4$
Bài 2: Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} 4xy-6x-6y+5=0 & \\ 4yz-6y-6z+16=0 & \\ 4xt-6x-6t=0 & \end{matrix}\right.$
Bài 3:
$\left\{\begin{matrix} 2(x-y)\sqrt{y}=\sqrt{x} & \\ (x+y)\sqrt{x}=3\sqrt{y} & \end{matrix}\right.$