Cho tam giác ABC, phân giác AD. Gọi BC=a,AC=b,AB=c.

CMR:AD²=$\frac{bc(b+c-a)(b+c+a))}{(b+c)^{2}}$

Bài này bạn tham khảo ở NC-PT toán 8 tập 2 có: $AD^2=AB.AC-BD.CD$

Lại có $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+AC}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}BD=\frac{ac}{b+c} \\CD=\frac{ab}{b+c} \end{matrix}\right.$

Nên $AD^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}=\frac{bc(b+c-a)(b+c+a)}{(b+c)^2}$

 không có hình, thông cảm

------------------------------------------

Bác nào chỉ em cách đưa hình lên với

Thế có cần vẽ thêm đường phụ không. theo mình thì vẽ ra ngoài BC 1 góc bằng $\frac{\angle A}{2}$

Bạn cứ dùng hình trong sách í  cách đó là vẽ ra ngoài BC một góc $\frac{\angle A}{2}$ đó bạn

Các bạn giúp mình bài này nhé

Cho $x$, $y$ $>$$0$ thỏa mãn $x$+ $xy$+ $y$ $=$ $8$

Tìm GTNN của BT: P=$x^{3}$+$y^{3}$+ $x^{2}$+ $y^{2}$+ $5(x+y)$+ $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$

Ta có $8=x+y+xy\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x+y\geq 4$

Lại có $P=x^3+y^3+x^2+y^2+\frac{19}{4}.(x+y)+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{y}{4}+\frac{1}{y}$

          $\geq \frac{(x+y)^3}{4}+\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{19}{4}.(x+y)+1+1\geq 16+8+19+2=45$

Vậy GTNN của P là 2 khi $x=y=2$

Cho

1/ Tìm min:

    a, $x-\sqrt{x-2015}$

    b, $x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015$ với x,y>0

 

a/$A= x-\sqrt{x-2015}=x-2015-\sqrt{x-2015}+\frac{1}{4}-\frac{8059}{4}=(\sqrt{x-2015}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{8059}{4}\geq \frac{-8059}{4}$

vậy $Min_A=\frac{-8059}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x-2015}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2015\frac{1}{4}$

b/$B=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015\Rightarrow 3B=3x-6\sqrt{xy}+9y-6\sqrt{x}+6045$

$=x-6\sqrt{xy}+9y+2(x-3\sqrt{x}+\frac{9}{4})+6045-\frac{9}{2}=(\sqrt{x}-3\sqrt{y})^{2}+2(\sqrt{x}-\frac{3}{2})^{2}+6040,5\geq 6040,5 \Rightarrow B\geq 2013,5 \Rightarrow Min B=2013,5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=3\sqrt{y}\\ \sqrt{x}=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

 

5/ Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CM $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

 

Ta có : $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

Khi đó : $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

cm tương tự, cộng lại suy ra đpcm

nek mọi người ơi chỉ giúp mình mấy bài này nha, mình mới tham gia nên chưa rành lắm:

1) Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{^{2}}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

2) Cho a,b,c>0 thỏa abc=1. CMR: $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$

3) Cho các số thực a,b,c thuộc [0;1]. CMR: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\leq 2$

cảm ơn nhiều hen.     

 1. Biến đổi tương đương thành $\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{1}{(a+c)(a^2+c^2)} \right ]\geq 0$

 Giả sử $a\geq b\geq c$ là xong

 Hoặc biến đổi trong ngoặc vuông và viết tiếp hiệu thành:

 $\sum \frac{ab(a-b)^2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+c)(b+c)(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\geq 0$ đúng

 2. Áp dụng $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

                   $\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

 3. $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+bc+1}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

 p/s : 10 tuổi mà làm mấy bài này rồi à :v

TÌM X NGUYÊN ĐỂ $\frac{2x-5}{3x-9}$ cũng nguyên

$\frac{2x-5}{3x-9}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{6x-15}{3x-9}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 2+\frac{3}{3x-9}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 3\vdots (3x-9)$

Đến đây thì dễ rồi

Em xin hỏi các anh chị bài này:
Tìm x, y nguyên thoả mãn: $x^{2} - 2x - 2014 = y^{2}$
Cái này cũng gọi là phương trình nghiệm nguyên đúng ko ạ?

$PT\Leftrightarrow (x-1)^2-y^2=2015\Leftrightarrow (x-y-1)(x+y-1)=2015$

Đến đây thì xét các TH xảy ra là đk

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)=7

xét từng trường hợp x-y=1,-1,7,-7 và x²+xy+y²=7,-7,1,-1

chỗ này là x^2-y^3 mà bạn

Tìm nghiệm nguyên của pt sau: $2^{x}-3^{y}=1 (x>0 ; y\geq 0)$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc+a+c=b$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

 $abc+a+c=b\Rightarrow b=\frac{1-ac}{a+c}$

 Thay vào $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+\left ( \frac{1-ac}{a+c} \right )^2}+\frac{3}{1+c^2}$

                 $=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2(1-ac)^2}{(a^2+1)(c^2+1)}+\frac{3}{(1+c^2)}$

                 $=\frac{2a^2-2a^2c^2+3+3a^2+4ac}{(a^2+1)(c^2+1)}$

  Ta chứng minh $P\leq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (2c-a)^2+(4ac-1)^2\geq 0$ đúng

 Vậy $P_{max}=\frac{10}{3}$

Cho a, b, c, d > 0. Tìm GTNN của $P=\left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )\left ( 1+\frac{2b}{3c} \right )\left ( 1+\frac{2c}{3d} \right )\left ( 1+\frac{2d}{3a} \right )$

Theo Holder thì : 

 $P\geq \left ( 1+\frac{2}{3} \right )^4=\frac{625}{81}$

Sử sụng Cauchy-Schwarz cũng được :

  $P\geq \left ( 1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{c}} \right )^2.\left ( 1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{a}} \right )^2\geq \left ( 1+\frac{2}{3} \right )^4$

Hoặc dùng AM-GM bình thường ta có :

 $P=\prod \left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )=\prod \left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{a}{3b}+\frac{a}{3b} \right )$

       $\geq \prod \left ( \frac{5}{3}.\sqrt[5]{\frac{a^2}{b^2}} \right )=\frac{625}{81}$

Dấu "=" khi $a=b=c=d$

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$ thì ta có

$$b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2$$

$$a^2-ac+c^2=(a+c)^2-3ac\leq (a+c)^2$$

$$a^2-ab+b^2\leq a^2-ab+b^2+c(2a-b)+c^2=(a+c)^2+b^2-b(a+c)$$

$$\Rightarrow P\leq (a+c)^2.b^2.\left [ (a+c)^2-(a+c).b+b^2 \right ]$$

Đặt $m=a+c\Rightarrow m+b=3$

Ta có : $$P\leq m^2b^2(m^2-mb+b^2)$$

$$=\frac{4}{9}.\frac{3mb}{2}.\frac{3mb}{2}.(m^2-mb+b^2)$$

$$\leq \frac{4}{9}.\left ( \frac{m^2+2mb+b^2}{3} \right )^3$$

$$=\frac{4}{9}.\left [ \frac{(m+b)^2}{3} \right ]^3=12$$

Vậy $GTLN$ của $P$ là $12$ khi $(a,b,c)=\left ( 2,1,0 \right )$ và các hoán vị

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=12. CMR:

$\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1} \geqslant 3\sqrt{17}$

Theo mình thì phải là C/m nó $\leq 3\sqrt{17}$ mới đúng

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$P^2\leq 3\begin{bmatrix} 3(a+b+c)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3 \end{bmatrix}\leq 3\begin{bmatrix} 39+2\sqrt{3(a+b+c)} \end{bmatrix}=153$

$\Rightarrow P\leq 3\sqrt{17}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=4$

ừ, Mình ghi nhầm phải là $\leqslant$

 Đăng ảnh dìm lên xem nào 

Ăn ngon ghê

 Hội đình làng :v

em cũng từng bị dìm lúc đang trong bàn ăn ._. thật là 1 bi kịch ._.

 Cậu cũng bựa :v

Chú chém gió còn thua anh đấy

vậy hôm nào thi hông

 Em thách đấu một lần 2 người luôn đấy :v

 Dìm HN Tuấn đê :v

t có ảnh dìm Nhật Tuấn vs Hoàng Long  , có đăng ko mn

 Tau cá là trong bức đó có cả mi Quỳnh ơi 

 Doạ ma đâu 

 VMF-er ngày nay đâu rồi, vào quẩy đê Ảnh chụp em đang kị =.=

 Khoe tiếp :|

 Ảnh hồi bé này :v Chắc 4-5 tuổi gì đó :v

mặt đần đần 

 Đã bảo hồi bé

Nhìn giống ảnh ma

 Em lấy lạp chụp lại ảnh nên nó thế :|

Hoàng Nhật Tuấn chuẩn bị bị Lê Hoàng Long dìm

 Không có ảnh để dìm nó :|