Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$ 

                                 ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

Áp dụng kĩ thuật AM-GM ngược ta có:

$a-\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{ab^{2}-1}{b^{2}+1}\leq \frac{ab^{2}-1}{2b}=\frac{ab}{2}-\frac{1}{2b}$

$\Leftrightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}+\sum \frac{1}{2b}\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng:  $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Cho a,b,c là các số dương.Tìm MAX của:

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}$

Khi thay $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (a,b,c)$ thì bài toán trên tương tự bài toán sau:

Biết $\sum x^{2}=3$

Chứng minh $\sum \frac{xy}{z}\geq 3$

Ở đây

ai giải bài này đi

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq\frac{1}{2}$

Ai giúp mình với mình đang cần lắm

Mình cảm ơn trước nhé

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(3a+b+3b+a)}}=\frac{1}{2}$

Bài 8 (Selection Of Kiev To UMO). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng

\[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geqslant \frac{3}{2}.\]

Áp dụng AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{2}$

Tương tự cộng lại ta được:

$\sum \frac{a}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c})\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c).\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 3 (Korea Winter Program Practice Test). Cho ba số thực không âm $x,\,y,\,z$ thỏa mãn

\[(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27.\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x^4+y^4+z^4.$

Bài này đề gốc là tìm cả min cả max chứ anh?

Bài 32. (Kyiv Mathematical Festival)

1. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=2.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}+2(a+b+c) \geqslant 6.\]

2. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1} \geqslant \frac{3}{2}.\]

2. Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{(ab)^{2}}{abc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+ab+bc+ca}=\frac{3}{abc+1}\geq \frac{3}{2}$(vì $abc\leq 1$ theo AM-GM)

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

1. Tương tự câu 2 ta chứng minh được:

$\sum \frac{ab}{c+1}\geq 6-2\sqrt{6}$

Mà $2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{6}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm

Bài 6 (Hong Kong TST). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$$

Không biết giải bài ở đây có vi phạm không anh nhỉ  
$VT=\sum \frac{a^3+1+1+6}{a^3(b+c)} \ge \sum \frac{3a+6}{a^3(b+c)}=\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)}$ 
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)} \ge \frac{27}{2}$ (*)
Chợt nhận thấy bài toán quen thuộc của IMO 1995  
Nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a^3(b+c)} \ge \frac{3}{2}$ 
Áp dụng suy ra $\frac{6}{a^3(b+c)} \ge 9$ 
Lại có $\sum \frac{3}{a^2(b+c)}=\sum \frac{3(bc)^2}{b+c} \ge \frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a}$ (1) 
Lại có $(\sum ab)^2 \ge 3.abc(a+b+c)$ nên từ (1) suy ra $\frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a} \ge \frac{9}{2}$ 
Cộng lại suy ra (*) được chứng minh 
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\frac{27}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách khác

8/     $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

$VT=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5$

$VP=5-(x+1)^{2}\leq 5$

$VT=VP\Leftrightarrow x=-1$

Bài 447:Các bài tập có cùng dạng:

1)$x^2=4+2\sqrt{2x+4}$

2)$5x^2+1=2\sqrt{\frac{2x}{5}+\frac{1}{5}}$

3)$4x^2+4x+1=2\sqrt{4x+2}$

4)$49x^2-65x+17=3\sqrt{2x+1}$

5)$75x^2-79x+28=2\sqrt{3x-4}$

1, ĐK: $x\geq -2$

Đặt $\sqrt{2x+4}=t$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}=4+2t \\ &t^{2}=4+2x \end{matrix}\right.$

Dễ rồi...

Các bài còn lại đều tương tự, dạng này ở topic có rất nhiều, bạn có thể tham khảo ở các trang trước

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Đặt $2015=t$

Khi đó pt(1)$\Leftrightarrow (x+\sqrt{y^{2}+t})(y+\sqrt{x^{2}+t})=t$

$\Leftrightarrow xy+x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t}+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=t$

$\Leftrightarrow xy+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-t=-(x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t})$

Bình phương 2 vế ta có:

$x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+ty^{2}+tx^{2}+t^{2}+t^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=x^{4}+tx^{2}+y^{4}+ty^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$

$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}+2t^{2}-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt=x^{4}+y^{4}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}=2\left [ t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)} \right ]\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}\geq 0$

$\Leftrightarrow t-xy\geq \sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$

$\Rightarrow x^{2}y^{2}-2txy+t^{2}\geq x^{2}y^{2}+t(x^{2}+y^{2})+t^{2}$

$\Leftrightarrow t(x+y)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x+y=0$

Thay vào pt(2) ta được:

$\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7}$(*)

ĐK: $x\geq 0$

(*)$\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2)=2x-2+x(\sqrt[3]{x+7}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=2(x-1)+\frac{x(x-1)}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=2+\frac{x}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$(**)

Ta dễ dàng chứng minh được pt(**) vô nghiệm với $x\geq 0$

Vậy $(x,y)=(1;-1)$

Bài 460: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 \\ &x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

Có khá nhiều bài khó trong topic chưa có lời giải. Vì vậy ta sẽ tiếp tục với một bài dễ hơn như sau:

Bài 476: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &(5-x)(1+x^{4}y^{4})=(1+x^{2}y^{2})^{3} \\ &x^{2}y^{2}+x^{2}+x+y^{2}=4 \end{matrix}\right.$

Bài 544: $\left\{\begin{matrix} &2(\sqrt{x+1}+1)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}+4y+16} \\ &x^{2}+\dfrac{4y}{x}=2(9x-1)\sqrt{2x^{3}-y} \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nếu mình không nhớ không nhầm thì là vầy:

$$\left ( ax+by \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$

Nếu vậy thì sao có đoạn này được nhỉ? Mình không rành bất đẳng thức cho lắm nên có gì sai sót mong bỏ qua...

Đây là lỗi của e khi ghi sai đề. Nhưng nếu bài toán như lúc đầu thì ý tưởng của Lawliet hẳn đã tối ưu nhất chưa

Bài 527: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 298: $\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x-1)^{2}(x+1)+\frac{1}{3}(y+1)=0 & \\ &(y-1)^{2}(y+1)+\frac{1}{3}(z+1)=0 & \\ &(z-1)^{2}(z+1)+\frac{1}{3}(x+1)=0 & \end{matrix}\right.$

+) $x=y=z=-1\Rightarrow$ Thoả mãn

+) $x> -1$, từ pt(1)$\Rightarrow y< -1$

$\Rightarrow$ Từ pt(2)$\Rightarrow z> -1$

$\Rightarrow$ Từ pt(3)$\Rightarrow x< -1$(mâu thuẫn)

+) $x< -1$ cũng không thoả mãn

Vậy $(x,y,z)=(-1;-1;-1)$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 181: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$

P/s: Những bài có lời giải đã được tô màu đỏ

Bài này ta có 1 cách khá hay 

Đặt $y=\sqrt{x^{2}+1}\geq 1\Rightarrow x^{2}=y^{2}-1$

Khi đó pt$\Leftrightarrow (4x-1)y=2(y^{2}-1)+2x+1$

$\Leftrightarrow 2y^{2}-(4x-1)y+2x-1=0$

$\Delta =(4x-1)^{2}-8(2x-1)=16x^{2}-24x+9=(4x-3)^{2}$

$\Rightarrow$ Pt có 2 nghiệm $y=2x-1$(TM) và $y=\frac{1}{2}$(loại)

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}=2x-1$

Dễ rồi...

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

ĐK: $x\geq 1$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x-3> 0\Leftrightarrow x> \frac{3}{2}$

Pt$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ (\sqrt[3]{x-1}-1)+(\sqrt{x-1}-1) \right ]=3x-2-4(2x-3)$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5x-10=0$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)(x-2)\left [ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{2(2x-3)}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+1}+5)=0$

$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

đề nghị chủ topic thống kê lại những bài làm rồi và chưa làm đi nào

Bạn có thể xem ở trang 16

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 86: $\sqrt{2(4x^{2}-x-6)}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

Bài 87: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}+\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}=3(x+y) \\ &\sqrt{x+2y+1}+2\sqrt[3]{12x+7y+8}=2xy+x+5 \end{matrix}\right.$

bài 378: mình giải được rồi (bằng phương pháp liên hợp). Bạn nào có cách giải khác chia sẻ mình nhé.

Nếu bạn đã làm được bài này bằng pp liên hợp thì bạn cứ post lời giải lên để mọi người tham khảo 

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$

Bài 362: $\begin{cases} & \sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}+\sqrt{5y^{2}+2xy+2x^{2}}=3(x+y) \\ & 2x^{2}y+xy^{2}-47x+66=\sqrt[3]9xy+43x+6{} \end{cases}$

Ta có:

$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=\sqrt{(2x+y)^{2}+(x-y)^{2}}\geq 2x+y$

Tương tự: $\sqrt{5y^{2}+2xy+2x^{2}}\geq 2y+x$

$\Rightarrow VT\geq VP$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y$

Thay vào pt(2) là pt bậc 3 nhưng số hơi xấu nên có lẽ phải dùng công thức cardano

P/s: Bài này phải là bài 363 nhé, a sử lại đi