Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2y^2+y^2z^2+z^2y^2=xyz$

1)

$P=\frac{9}{1-2(x^2+y^2+z^2)}+\frac{2}{xyz}$

2)

$T=\frac{x^4}{y^2(x^2+z^2)}+\frac{y^4}{z^2(y^2+x^2)}+\frac{z^4}{x^2(z^2+y^2)}$

[trauvang97]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2y^2+y^2z^2+z^2y^2=xyz$

1)

$P=\frac{9}{1-2(x^2+y^2+z^2)}+\frac{2}{xyz}$

2)

$T=\frac{x^4}{y^2(x^2+z^2)}+\frac{y^4}{z^2(y^2+x^2)}+\frac{z^4}{x^2(z^2+y^2)}$

 

1) Từ giả thiết ta có: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=1\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{xyz}$

 

Viết lại biểu thức đã cho thành:

 

$P=\frac{9}{1-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+2\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

                  $2\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\geq \frac{18}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

 

Do đó: 

 

$P\geq 9\left (\frac{1}{1-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+ \frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right )\geq \frac{9.9}{1-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=81$

 

Vậy $minP=81$ $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

 

2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

 

$T\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})}\geq \frac{3(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})}{2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})}=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 29-06-2013 - 10:27