Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $a=2+\sqrt{5}; b=2-\sqrt{5}; c=1.$
a) Đặt $S=a^{n}+b^{n}+c^{n}.$ Chứng minh: $S\in\mathbb{Z}\forall n\in\mathbb{N}$ tùy ý.
b) Tìm số dư khi chia $S$ cho $4$ với $n=1000.$

[Juliel]

Cho $a=2+\sqrt{5}; b=2-\sqrt{5}; c=1.$
a) Đặt $S=a^{n}+b^{n}+c^{n}.$ Chứng minh: $S\in\mathbb{Z}\forall n\in\mathbb{N}$ tùy ý.
b) Tìm số dư khi chia $S$ cho $4$ với $n=1000.$

Đặt $S_{n}=a^{n}+b^{n}+c^{n}$

a) Ta có : $a^{n}=(2+\sqrt{5})^{n}=A+B\sqrt{5};b^{n}=(2-\sqrt{5})^{n}=A-B\sqrt{5}$

Suy ra $S_{n}=a^{n}+b^{n}+c^{n}=2A+1\in Z$

 

(Lưu ý bài này có thể dùng quy nạp)

b) Đặt $T_{n}=a^{n}+b^{n}$

Ta có : $a^{n+1}+b^{n+1}=(a+b)(a^{n}+b^{n})-ab(a^{n-1}+b^{n-1})\Leftrightarrow T_{n+1}=4T_{n}+T_{n-1}$

Tương tự $T_{n+2}=4T_{n+1}+T_{n}=4(4T_{n}+T_{n-1})+T_{n}\Rightarrow T_{n+2}-T_{n}\vdots 4$

Như vậy $T_{n+2},T_{n}$ có cùng số dư khi chia cho 4

Suy ra $T_{1000},T_{2}$ có cùng số dư khi chia cho 4

$\Rightarrow T_{1000}\equiv T_{2}\equiv 0(mod4)\Rightarrow S_{1000}\equiv 1(mod4)$

Vậy : $S_{1000}$ chia 4 dư 1.