Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuanewton]

cho a,b,c dương a+b+c=3

chứng minh 

\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 05-07-2013 - 10:27

[trauvang97]

cho a,b,c dương a+b+c=3

chứng minh 

$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geqslant \frac{3}{2}$

 

Ta có: $\frac{a}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}$

 

Đặt biểu thức vế trái là $P$

 

Viết lại biểu thức đã cho thành: 

 

$P=(a+b+c)-\left (\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \right )\geq 3-\left ( \frac{ab+bc+ca}{2} \right )$

 

$P\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

[hoctrocuanewton]

Ta có: $\frac{a}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}$

 

Đặt biểu thức vế trái là $P$

 

Viết lại biểu thức đã cho thành: 

 

$P=(a+b+c)-\left (\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1} \right )\geq 3-\left ( \frac{ab+bc+ca}{2} \right )$

 

$P\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

còn các nào khác không bạn