5 replies to this topic

[01652155580a]

Giải các phương trình vô tỷ

 

1, $\sqrt{x+3}+ 2x\sqrt{x+1} = 2x+\sqrt{x^{2}+4x+3}$

2, $x^{3}+(4+x^{2})\sqrt{4-x^{2}}= 8-2x\sqrt{4-x^{2}}$

3, $\sqrt{3x+1} -\sqrt{6-x} +3x -14x-8=0$

4, $\sqrt{x-8} +\sqrt{10-x} =x ^{2}-18x+83$

 

Giúp em với cấp bách lắm rùi 

Edited by banhgaongonngon, 14-07-2013 - 13:50.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

1. ĐK: $x \geq -1$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{x + 3} + 2x\sqrt{x + 1} = 2x + \sqrt{(x + 1)(x + 3)}$ 

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{(x + 1)(x + 3)} - \sqrt{x + 3} \right ] - 2x.(\sqrt{x + 1} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 3} - 2x) = 0$

 

Bạn tự giải tiếp nhé.

 

4. ĐK: $8 \leq x \leq 10$

Nhận thấy:

• $VT = \sqrt{x - 8} +\sqrt{10 - x} \leq \sqrt{2(x - 8 + 10 - x)} = 2$
• $VF = x^2 - 18x + 83 = (x - 9)^2 + 2 \geq 2$

Phương trình có nghiệm khi x = 9.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

2. ĐK: $-2 \leq x \leq 2$

Phương trình ban đầu tương đương:
$(x^3 - 8) + (x^2 + 2x + 4)\sqrt{4 - x^2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + (x^2 + 2x + 4)\sqrt{4 - x^2} = 0$

 

$\Leftrightarrow (x^2 + 2x + 4)(x - 2 + \sqrt{4 - x^2}) = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{4 - x^2} = 2 - x$ (Do $x^2 + 2x + 4 > 0$)

Phương trình này cơ bản rồi nhỉ?

 

3. ĐK: $\dfrac{-1}{3} \leq x \leq 6$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{3x + 1} - 4 + 1 - \sqrt{6 - x} + 3x^2 - 14x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3x - 15}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \dfrac{x - 5}{1 + \sqrt{6 - x}} + (x - 5)(3x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 5) \left ( \dfrac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \dfrac{1}{1 + \sqrt{6 - x}} + 3x + 1\right ) = 0$

Do $x \geq \dfrac{-1}{3}$ nên $\dfrac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \dfrac{1}{1 + \sqrt{6 - x}} + 3x + 1 > 0$

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

[01652155580a]

 

 

 

• $VT = \sqrt{x - 8} +\sqrt{10 - x} \leq \sqrt{2(x - 8 + 10 - x)} = 2$

 

mình không hiểu đoạn này lắm, bạn chỉ rõ hộ mình được không?

[Phạm Hữu Bảo Chung]

@01652155580a:
Áp dụng bất đẳng thức: $a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)}$
BĐT này cũng tương đối dễ chứng minh thôi! Hì

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 14-07-2013 - 14:32.

[01652155580a]

@01652155580a:
Áp dụng bất đẳng thức: $a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)}$
BĐT này cũng tương đối dễ chứng minh thôi! Hì

thanks bạn nhiều