Chứng minh $M=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}+\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}$ là một số nguyên.
#1
Đã gửi 15-07-2013 - 14:22
#2
Đã gửi 16-07-2013 - 19:18
Chứng minh $M=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}+\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}$ là một số nguyên.
Đặt $a=\sqrt[4]{2}$ thì $a^2=\sqrt{2}\ ;\ a^3=\sqrt[4]{8}\ ;\ a^4=2\ ;\ a^6=a^4.a^2=2a^2$
Ta có:
$\bullet$ $A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}=\frac{1}{a^2+a-1}=\frac{(a^2-1)-a}{(a^2-1)^2-a^2}=\\\\\\=\frac{a^2-a-1}{3(1-a^2)}=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)}{3(1-a^4)}=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)}{-3}$
$\bullet$ $B=\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{(a^3+2a)+(a^2+3)}=\\\\\\=\frac{(a^3+2a)-(a^2+3)}{(a^3+2a)^2-(a^2+3)^2}=\frac{a^3-a^2+2a-3}{a^5+3a^4-2a^2-9}=\frac{a^3-a^2+2a-3}{-3}$
$\bullet$ $C=\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{a^3+a+1}=\frac{(a^3+a)-1}{(a^3+a)^2-1}=\frac{a^3+a-1}{a^6+2a^4+a^2-1}=\\\\\\=\frac{a^3+a-1}{3(1+a^2)}=\frac{(a^3+a-1)(1-a^2)}{3(1-a^4)}=\frac{(a^3+a-1)(1-a^2)}{-3}$
Do đó
$M=A+B+C=\\\\\\=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)+a^3-a^2+2a-3+(a^3+a-1)(1-a^2)}{-3}=\\\\\\=\frac{a^5-a^4-2a+5}{3}=\frac{a(a^4-2)+3}{3}=1$
- Zaraki, Yagami Raito, letankhang và 3 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, tài liệu và . |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, chuyên đề, tài liệu và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Bắt đầu bởi aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Bắt đầu bởi Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức và . |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh