Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Chứng minh $M=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}+\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}$ là một số nguyên.

[DarkBlood]

Chứng minh $M=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}+\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}$ là một số nguyên.

 

Đặt $a=\sqrt[4]{2}$ thì $a^2=\sqrt{2}\ ;\ a^3=\sqrt[4]{8}\ ;\ a^4=2\ ;\ a^6=a^4.a^2=2a^2$

 

Ta có:

$\bullet$ $A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}-1}=\frac{1}{a^2+a-1}=\frac{(a^2-1)-a}{(a^2-1)^2-a^2}=\\\\\\=\frac{a^2-a-1}{3(1-a^2)}=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)}{3(1-a^4)}=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)}{-3}$

 

$\bullet$ $B=\frac{1}{3+\sqrt{2}+2\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{(a^3+2a)+(a^2+3)}=\\\\\\=\frac{(a^3+2a)-(a^2+3)}{(a^3+2a)^2-(a^2+3)^2}=\frac{a^3-a^2+2a-3}{a^5+3a^4-2a^2-9}=\frac{a^3-a^2+2a-3}{-3}$

 

$\bullet$ $C=\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8}}=\frac{1}{a^3+a+1}=\frac{(a^3+a)-1}{(a^3+a)^2-1}=\frac{a^3+a-1}{a^6+2a^4+a^2-1}=\\\\\\=\frac{a^3+a-1}{3(1+a^2)}=\frac{(a^3+a-1)(1-a^2)}{3(1-a^4)}=\frac{(a^3+a-1)(1-a^2)}{-3}$

 

Do đó

$M=A+B+C=\\\\\\=\frac{(a^2-a-1)(a^2+1)+a^3-a^2+2a-3+(a^3+a-1)(1-a^2)}{-3}=\\\\\\=\frac{a^5-a^4-2a+5}{3}=\frac{a(a^4-2)+3}{3}=1$