Chủ đề này có 3 trả lời

[zack]

 cho a,b,c la cac số thực không âm có tổng bằng 1. CMR:

$\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+2a}}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zack: 16-07-2013 - 09:55

[AM GM]

 cho a,b,c la cac số thực khôn âm có tổng bằng 1. CMR:

$\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+2a}}\geq 1$

đặt S=$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}$

P=$\sum a(a+2b)$

áp dung BDT holder cho 4cặp số $\Rightarrow S^{3}P\geq (a+b+c+d)^{4}\Rightarrow S^{3}\geq \frac{(a+b+c+d)^{4}}{\sum a(a+2b)}= (a+b+c+d)^{2}= 1\Rightarrow S\geq 1$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AM GM: 16-07-2013 - 09:59

[badboykmhd123456]

 cho a,b,c la cac số thực không âm có tổng bằng 1. CMR:

$\frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+2a}}\geq 1$

 

đặt S=$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}$

P=$\sum a(a+2b)$

áp dung BDT holder cho 4cặp số $\Rightarrow S^{3}P\geq (a+b+c+d)^{4}\Rightarrow S^{3}\geq \frac{(a+b+c+d)^{4}}{\sum a(a+2b)}= (a+b+c+d)^{2}= 1\Rightarrow S\geq 1$ (dpcm)

1 cách khác

$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq \frac{3a}{a+2b+2}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)+2(a+b+c)}=1$

[lequanghung98]

Ta có $\sqrt[3]{1.1.(a+2b)}\leq \frac{a+2b+2}{3}$

$VT=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq \sum \frac{3a^{2}}{a+2b+2}=3(\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab+2a})\geq 3\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}=3.\frac{1}{3}=1.$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$