Chủ đề này có 6 trả lời

[Dinhxuanbaohung]

Cho x² +y² +z² = 3. Tìm min:

 

$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinhxuanbaohung: 18-07-2013 - 17:19

[ngoctruong236]

sao a,b,c lai tim min x,y,z the kia

[hoctrocuanewton]

sao a,b,c lai tim min x,y,z the kia

chắc bạn ấy nhầm đó mà  , với cả tìm max mà bạn    

[Dinhxuanbaohung]

ah xin lỗi 

bài đăng lần đầu

đó là tìm min = 5/3

[nguyencuong123]

ah xin lỗi 

bài đăng lần đầu

đó là tìm min = 5/3

Min=5 Bạn ạ:

 

Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.

Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong. 

Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

 

Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$

Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong

Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)

[vutuanhien]

Min=5 Bạn ạ:

 

Ta có:$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=\sum \frac{1}{2-x}+\sum \frac{2}{4-x^{2}}$

đối với $\sum \frac{2}{4-x^{2}}$ chỉ việc C-S là ra.

Chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3$ là xong. 

Ta có: $\sum \frac{1}{2-x}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}\geq 6\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-x}-3\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{x}{2-x}\geq 3$

 

Ta có: $\sum \frac{x}{2-x}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}=\frac{9}{2\sum x^{3}-\sum x^{4}}$

Ta chỉ cần chứng minh:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3$ là xong

Ta có:$2\sum x^{3}-\sum x^{4}\leq 3\Leftrightarrow 3+\sum x^{4}\geq 2\sum x^{3}\Leftrightarrow \sum x^{2}+\sum x^{4}\geq 2x^{3}$ (CM-GM là ra luôn bạn ạ)

Lời giải của bạn sai hoàn toàn

Bạn cứ thử cho $x=y=z=-1$ xem min có bằng $5$ nữa không

[Strygwyr]

Cho x² +y² +z² = 3. Tìm min:

 

$\frac{4+x}{4-x^{2}} + \frac{4+y}{4-y^{2}}+ \frac{4+z}{4-z^{2}}$

Bài này nhìn chung khá là lừa tình

Dễ thấy $x,y,z \in[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$ suy ra $4-x^{2}>0$, $4-y^{2}>0$, $4-z^{2}>0$ và $4-x>0$,$4-y>0$,$4-z>0$

Ta có nhận xét sau :

Nếu có ít nhất $1$ trong các số $x$,$y$,$z$ dương, không mất tính tổng quát giả sử $x>0$ thì

$\frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}>0$

$\Rightarrow\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}>\frac{4-x}{4-x^{2}}+\frac{4+y}{4-y^{2}}+\frac{4+z}{4-z^{2}}$

nên dễ thấy để $\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}$ đạt GTNN thì các số $x$,$y$,$z$ đều không dương.

Đặt $a=-x$,$b=-y$,$c=-z$. Dễ thấy $a,b,c\in [0;\sqrt{3}]$

Khi đó, xét biểu thức                                   $P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}$

$P=\sum \frac{4-a}{4-a^{2}}=\sum \frac{1}{2+a}+\sum \frac{2}{4-a^{2}}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\sum \frac{1}{2+a}\geq \frac{9}{6+a+b+c}\geq\frac{9}{6+\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=1$

$\sum \frac{2}{4-a^{2}}\geq \frac{18}{12-a^{2}-b^{2}-c^{2}}=2$

Suy ra $P\geq 3$

Vậy min$\sum \frac{4+x}{4-x^{2}}=3$ khi và chỉ khi $x=y=z=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 20-07-2013 - 06:03