3 replies to this topic

[eatchuoi19999]

Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^{2}}{4}.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

 Giải

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\left (\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} \right )^2 = (2 - \dfrac{x^2}{4})^2$

 

$\Leftrightarrow 2 + 2\sqrt{1 - x^2} = 4 - x^2 + \dfrac{x^4}{16}$ 

 

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{16} - x^2 + 2\left ( 1 - \sqrt{1 - x^2}\right ) = 0$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{16} - x^2 + \dfrac{2x^2}{1 + \sqrt{1 - x^2}} = 0$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{16} + x^2\left ( \dfrac{2}{1 + \sqrt{1 - x^2}} - 1\right ) = 0$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{x^2(1 - \sqrt{1 - x^2})}{1 + \sqrt{1 - x^2}} = 0$

 

$\Leftrightarrow x^4 \left ( \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{\left ( 1 + \sqrt{1 - x^2}\right )^2}\right ) = 0$

 

Ta thấy: $\forall$ $-1 \leq x \leq 1$ thì $\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{\left ( 1 + \sqrt{1 - x^2}\right )^2} > 0$

Do đó: $x = 0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

 

[mystery266]

Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^{2}}{4}.$

1 hướng khác

$PT\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}+2\sqrt{1-x}=4-\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1-2\sqrt{x+1}+1)+(1-x-2\sqrt{1-x}+1)=\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)^2+(1-\sqrt{1-x})^2=\frac{x^2}{2}$

nhân liên hợp

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{x^2}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{x^2}{2}$

x=0 là 1 nghiệm

$ \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}\geq \frac{4}{(\sqrt{x+1}+1)^2+(1+\sqrt{1-x})^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{4}{4+2(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{1}{2}$

dấu bằng xảy ra ta có x=0 là nghiệm duy nhất

[thien2221999]

1 hướng khác

$PT\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}+2\sqrt{1-x}=4-\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1-2\sqrt{x+1}+1)+(1-x-2\sqrt{1-x}+1)=\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)^2+(1-\sqrt{1-x})^2=\frac{x^2}{2}$

nhân liên hợp

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{x^2}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{x^2}{2}$

x=0 là 1 nghiệm

$ \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}\geq \frac{4}{(\sqrt{x+1}+1)^2+(1+\sqrt{1-x})^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{4}{4+2(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{1}{2}$

dấu bằng xảy ra ta có x=0 là nghiệm duy nhất