Chủ đề này có 2 trả lời

[zack]

$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^{2}$

Mod. Chú ý, công thức toán phải kẹp dấu đô la. Chẳng hạn $a^2$ thì ta gõ

$a^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 11-08-2013 - 06:04

[letankhang]

 

$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^{2}$

Mod. Chú ý, công thức toán phải kẹp dấu đô la. Chẳng hạn $a^2$ thì ta gõ

$a^2$

Biến đổi tương đương ta được :

$gt\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+4\sqrt{xyzt}-2xy-2xz-2xt-2yz-2yt-2zt\geq 0\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}-xy-yz-zt-xt)-2(xz-2\sqrt{xyzt}+yt)\geq 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-t)^{2}+(t-x)^{2}-2(\sqrt{xz}-\sqrt{yt})^{2}\geq 0$

Tới đây thì sao nữa nhỉ !?

[Love Is Math]

 

$3(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+4\sqrt{xyzt} \geq (x+y+z+t)^{2}$

 

Mình giải như sau:

Đổi $(x;y;z;t) \rightarrow (x^2;y^2;z^2;t^2)$

Biến đổi tương đương thì ta cần phải chứng minh:

$$x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt\geq \sum_{sym}x^2y^2$$

Không mất tính tổng quát,giả sử $x\geq y \geq z \geq t$

Đặt $f(x;y;z;t)=x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt - \sum_{sym}x^2y^2$

Ta có: $f(x;y;z;t)-f(\sqrt{xy};\sqrt{xy};z;t)=(x-y)^2[(x+y)^2-z^2-t^2] \geq 0$ do $x\geq y \geq z \geq t$ 

Sau khi rút gọn thì ta cần chứng minh rằng:

$$x^4+y^4+z^4 +2x^2yz \geq 2x^2y^2+2x^2z^2+y^2z^2$$

với $x \geq y \geq z$

Đặt $g(x;y;z)=x^4+y^4+z^4 +2x^2yz - (2x^2y^2+2x^2z^2+y^2z^2)$

Ta có:

$g(x;y;z)-g(x;y;0) =(y-z)(2x^2z-z^3-z^2y) \geq 0$

Từ đây thay vào,ta cần chứng minh rằng:

$$x^4+y^4 \geq 2x^2y^2$$

BĐT này luôn đúng. Vậy ta có đpcm.

Chú ý đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=t$ hoặc $x=y=z;t=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Is Math: 11-08-2013 - 20:01