2 replies to this topic

[Juliel]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và một đường thẳng $d$ song song $BC$. $M$ là một điểm di động trên $d$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $P$, đường thẳng $CM$ cắt cạnh $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}=const$

Edited by Juliel, 04-09-2013 - 16:46.

[IloveMaths]

Cho tam giác $ABC$ cân và một đường thẳng $d$ song song $BC$. $M$ là một điểm di động trên $d$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $P$, đường thẳng $CM$ cắt cạnh $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}=const$

Tam giác ABC cân tại đâu vậy bạn   

Edited by IloveMaths, 04-09-2013 - 14:07.

[LNH]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và một đường thẳng $d$ song song $BC$. $M$ là một điểm di động trên $d$. Đường thẳng $BM$ cắt cạnh $AC$ tại $P$, đường thẳng $CM$ cắt cạnh $AB$ tại $Q$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}=const$

Vẽ $AH$ vuông góc với $BC$. Nhận thấy $\left ( AB,AH,AC,d \right )=-1$

$AB$, $AC$ cắt $d$ tại $K,L$. Vì $A,B,C,d$ cố định nên $K$ và $L$ cố định

$CM$ cắt $AH$ tại $T$, $BQ$ cắt $AC$ và $d$ tại $E$ và $F$

Ta có: 

$\left ( BQAK \right )=\left ( BTEF \right )=\left ( AB,AH,AC,d \right )=-1$

Theo hệ thức Decartes, $\frac{2}{\overline{BQ}}=\frac{1}{\overline{BA}}+\frac{1}{\overline{BK}}$

Tương tự, $\frac{2}{\overline{CP}}=\frac{1}{\overline{CA}}+\frac{1}{\overline{CL}}$

Dễ dàng thấy rằng $\frac{1}{\overline{BQ}}+\frac{1}{\overline{CP}}$ không đổi

Suy ra đpcm

Edited by lenhathoang1998, 08-09-2013 - 16:10.