Chủ đề này có 1 trả lời

[luffypro]

Cho x, y thỏa mãn x² + y²=1. 

 

Tìm min max của $\sqrt{1+2x} + \sqrt{1+2y}$

[Hoang Tung 126]

Đề bài thiếu đk :x,y $\geq$0Bình phương 2 vế của biểu thức A=$\left ( \sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y} \right )^2=2.(x+y)+2+2.\sqrt{(2x+1).(2y+1)}=2.(x+y+1)+2.\sqrt{4xy+2x+2y+1}$. Mặt khác , theo bđt bunhiacopxki ta có :$2.(x+y)\leq 2.\sqrt{2.(x^2+y^2)}=2.\sqrt{2},4xy+2x+2y+1 \leq 2.(x^2+y^2)+2.\sqrt{2.(x^2+y^2)}+1=3+2.\sqrt{2}$ nên A$^{2}$ $\leq$$2.\sqrt{2}+2+\sqrt{3+2.\sqrt{2}}$ hay A$\leq \sqrt{2.\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+1}=\sqrt{3.\sqrt{2}+3}.$. Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .Mà $x,y\geq 0$ nên $xy \geq 0$ .Do $x^{2}+y^{2}=1$ mà $x,y \geq 0$ nên $x+y \geq x^{2}+y^{2}=1$.Thay vào A suy ra A$^{2}$$\geq 4+2.\sqrt{3}=\left ( \sqrt{3}+1 \right )^2$ nên A $\geq \sqrt{3}+1$. Dấu = xảy ra khi $x=0,y=1$ và hoán vị