1 reply to this topic

[eatchuoi19999]

Chứng minh: Nếu $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$ thì $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

[Zaraki]

Chứng minh: Nếu $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=a$ thì $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$

Lời giải. Ta có $a^2=x^2+y^2+ \sqrt[3]{x^4y^2}+ \sqrt[3]{x^2y^4}+2 \sqrt{ \left( x^2+ \sqrt[3]{x^4y^2} \right) \left( y^2+ \sqrt[3]{x^2y^4} \right)}$.

Ta có $\left( \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2} \right)^3=x^2+y^2+3 \sqrt[3]{x^4y^2}+ 3\sqrt[3]{x^2y^4}$.

Ta cần chứng minh $\left( \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2} \right)^3 = a^2$, tức cần chứng minh $$\left(x^2+ \sqrt[3]{x^4y^2} \right) \left( y^2+ \sqrt[3]{x^2y^4} \right)= \left( \sqrt[3]{x^4y^2}+ \sqrt[3]{x^2y^4} \right)^2.$$

Ta có $$\left( x^2+ \sqrt[3]{x^4y^2} \right) \left( y^2+ \sqrt[3]{x^2y^4} \right)= 2x^2y^2+ \sqrt[3]{x^8y^4}+ \sqrt[3]{x^4y^8}= \left( \sqrt[3]{x^4y^2}+ \sqrt[3]{x^2y^4} \right)^2$$

Vậy đẳng thức được chứng minh.