Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-10-2013 - 09:03
Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-10-2013 - 09:03
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
Ta có $\sum\left ( \frac{a^{3}}{b^{2}} +a\right )\geq 2\sum \frac{a^{2}}{b}$( theo BĐT Cauchy)
Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau:$\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum a$
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức này bằng bất đẳng thức Cauchy:$\sum \left ( \frac{a^{2}}{b}+b \right )\geq 2\sum a$.
Kết hợp 2 BĐT ta có điều phải chứng minh
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có:
$\sum \frac{a^3}{b^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2}\geq \frac{(\sum a^2 )^2}{\sum ab^2}\geq \sum \frac{a^2}{ab^2}$
Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$
Áp dụng C-S ta thu được các BĐT sau
$\left ( \frac{a^{3}}{b^{2}} +\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\right )\left ( a+b+c \right )\geq \left ( \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c} +\frac{c^{2}}{2}\right )^{2}$
$\left ( \frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\right )\left ( b+c+a \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$
Nhân từng vế 2 BĐT ta có đpcm
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh