cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
MOD: Chú ý tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 11-10-2013 - 18:18
cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
MOD: Chú ý tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 11-10-2013 - 18:18
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
$\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+...+\frac{1}{x^{2}}}\geq \sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$( 9 số $\frac{1}{x^{2}}$)
$\sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$ cái này dùng AM-GM đánh giá thôi
vì có $1\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$
dễ rồi
$\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+...+\frac{1}{x^{2}}}\geq \sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$( 9 số $\frac{1}{x^{2}}$)
$\sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$ cái này dùng AM-GM đánh giá thôi
vì có $1\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$
dễ rồi
9 số $\frac{1}{9x^{2}}$ chứ nhỉ
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
MOD: Chú ý tiêu đề
Cách khác:
Áp dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có
$\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}$
Áp dụng tiếp AM-GM ta có
$\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geqslant \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$
.Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
MOD: Chú ý tiêu đề
Cách khác: Dùng vecto.
Xét các vecto $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{x}) ; \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{y});\overrightarrow{c}(z;\frac{1}{z})$
Ta có BĐT: $\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right |$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ cùng phương.
Áp dụng vào, ta có:
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 11-10-2013 - 22:09
cho x, y, z là các số dương và $x+y+z\leq 1$ . Cmr
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$
MOD: Chú ý tiêu đề
Đây là đề thi đại học khối A 2003
Bạn có thể tham khảo thêm cách trên mạng
Cách khác: Dùng vecto.
Xét các vecto $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{x}) ; \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{y});\overrightarrow{c}(z;\frac{1}{z})$
Ta có BĐT: $\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right |$
Dấu $"="$ xảy ra khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ cùng phương.
Áp dụng vào, ta có:
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$
$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Đây thực chất cũng là BĐT Cauchy-Schwars
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh