Chủ đề này có 6 trả lời

[khonggiohan]

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 11-10-2013 - 18:18

[nguyentrungphuc26041999]

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

$\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+...+\frac{1}{x^{2}}}\geq \sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$( 9 số $\frac{1}{x^{2}}$)

$\sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$ cái này dùng AM-GM đánh giá thôi 

vì có $1\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$

dễ rồi

[Phuong Thu Quoc]

$\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+...+\frac{1}{x^{2}}}\geq \sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$( 9 số $\frac{1}{x^{2}}$)

$\sum \sqrt{10\sqrt[10]{\frac{1}{9^{9}x^{16}}}}$ cái này dùng AM-GM đánh giá thôi 

vì có $1\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$

dễ rồi

9 số $\frac{1}{9x^{2}}$ chứ nhỉ

[25 minutes]

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Cách khác:

Áp dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có

       $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}$

Áp dụng tiếp AM-GM ta có

       $\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geqslant \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

.Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[SOYA264]

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Cách khác: Dùng vecto. 

 

Xét các vecto  $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{x}) ; \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{y});\overrightarrow{c}(z;\frac{1}{z})$

 

Ta có BĐT:  $\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}  \right |$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ cùng phương.

 

Áp dụng vào, ta có: 

 

$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$

 

$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 11-10-2013 - 22:09

[trandaiduongbg]

  cho x, y, z là các số dương và  $x+y+z\leq 1$ . Cmr

 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Đây là đề thi đại học khối A 2003

Bạn có thể tham khảo thêm cách trên mạng

[Phuong Thu Quoc]

Cách khác: Dùng vecto. 

 

Xét các vecto  $\overrightarrow{a}(x;\frac{1}{x}) ; \overrightarrow{b}(y;\frac{1}{y});\overrightarrow{c}(z;\frac{1}{z})$

 

Ta có BĐT:  $\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |+\left | \overrightarrow{c} \right |\geq \left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}  \right |$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ cùng phương.

 

Áp dụng vào, ta có: 

 

$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$

 

$\geq \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}=\sqrt{(x+y+z)^2+\frac{1}{(x+y+z)^2}+\frac{80}{(x+y+z)^2}}\geq \sqrt{2+80}=\sqrt{82}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Đây thực chất cũng là BĐT Cauchy-Schwars