Chủ đề này có 2 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho $ n$ là số dương có ít nhất 2 chữ số trong biểu diễn thập phân

Gọi $a_{1}, a_{2},...,a_{k}$ là các số nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $ n$

Giả sử $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=...=a_{k}-a_{k-1}$

Chứng minh $ n$ là số nguyên tố hoặc n là lũy thừa của 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 08-11-2013 - 15:47

[barcavodich]

Cho $ n$ là số dương có ít nhất 2 chữ số trong biểu diễn thập phân

Gọi $a_{1}, a_{2},...,a_{k}$ là các số nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $ n$

Giả sử $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=...=a_{k}-a_{k-1}$

Chứng minh $ n$ là số nguyên tố hoặc n là lũy thừa của 2

Ta có $a_1,a_2,...,a_k$ nguyên tố cùng nhau và nhỏ hơn $n$

Nên $a_1=1$

Gọi $p$ là số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn $(p,n)=1$

$\Rightarrow a_2=p\Rightarrow a_2-a_1=p-1\Rightarrow a_3=2p-1,...$

• Nếu $p=2$$\Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=...=1$

$\Rightarrow (a_1,a_2,...,a_k)=(1,2,...,k-1)$

$\Rightarrow k=\phi(n)=n-1\Rightarrow n$ là số nguyên tố

..............................................................................................

[perfectstrong]

Cho $ n$ là số dương có ít nhất 2 chữ số trong biểu diễn thập phân

Gọi $a_{1}, a_{2},...,a_{k}$ là các số nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $ n$

Giả sử $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=...=a_{k}-a_{k-1}$

Chứng minh $ n$ là số nguyên tố hoặc n là lũy thừa của 2

Lời giải: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_1<a_2<...<a_k$. Dễ thấy $a_1=n;a_k=n-1$ và $k=\phi(n)$

Đặt $a_2  - a_1  = a_3  - a_2  = ... = a_k  - a_{k - 1}  = d$.

Trường hợp 1: $d=1 \Rightarrow k=n-1=\phi(n) \Rightarrow n \in \mathbb{P}$

Trường hợp 2: $d \ge 2$. Suy ra $gcd(a_i+1;n)>1 \Rightarrow gcd(2;n)>1 \Rightarrow 2|n$. Đặt $n=2^t l$ với $t \ge 1$ và $l$ là số lẻ. Giả sử $l \ge 3 \Rightarrow n \ge 6$. Dễ thấy với $n=6$ thì không thỏa. Nên ta xét $n\ge 10$ (không xét $n=8$ vì $8$ không chia hết số nguyên tố nào ngoài $2$)

$l-1$ và $l+1$ chẵn nên $gcd(l+1;n)>1$ và $gcd(l-1;n)>1$.

Mặt khác, gọi $c=gcd(l-2;2^t l)$. Suy ra $c$ lẻ. Mà $c|2^t l \Rightarrow c|l \Rightarrow c|2 \Rightarrow c=1 \Rightarrow gcd(l-2;2^t l)=1$.

Tương tự, ta có $gcd(l+2;2^t l)=1$. Do đó $l-2;l+2$ là 2 số hạng liên tiếp trong dãy $(a_i) \Rightarrow d=4$.

Vì $a_1=1 \Rightarrow a_2=5 \Rightarrow a_3=9 \Rightarrow (9;n)=1$ (*)

Ta lại có $3 \not \in (a_i) \Rightarrow 3|n$: mâu thuẫn với (*).

Vì vậy $l=1 \Rightarrow n=2^t (t \ge 1)$. Ta có đpcm.