Chủ đề này có 5 trả lời

[kevotinh2802]

Giải phương trình nghiệm nguyên $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

[letankhang]

Giải phương trình nghiệm nguyên $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

Ta có :

$PT\Leftrightarrow 12x^{2}+x(6y-28)+(3y^{2}-28y)=0\Rightarrow \Delta =(6y-28)^{2}-48(3y^{2}-28y)\geq 0\Rightarrow -108y^{2}+1008y+784\geq 0\Rightarrow 0\leq y\leq 10$

Đến đây bạn chỉ cần xét tất cả các trường hợp của $y$ rồi tìm $x$ nguyên thỏa đề bài. 

[trandaiduongbg]

Giải phương trình nghiệm nguyên $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

Lời giải:

Ta có:$9x^2=-3(x+y)^2+28(x+y)=\frac{14^2}{3}-3[(x+y)-\frac{14}{3}]^2 \leq \frac{196}{3}$

$\Rightarrow$ $x^2 \leq 7$

[Trang Luong]

$GT\Leftrightarrow 9x^2+6xy+y^2+2\left ( x^2-14x+49 \right )+2\left ( y^2+49-14y \right )+x^2=196\Leftrightarrow \left ( 3x+y \right )^2+2\left ( x-7 \right )^2+2\left ( y-7 \right )^2+x^2=196$

[Rias Gremory]

Giải phương trình nghiệm nguyên $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

$\Leftrightarrow 3y^{2}+2(3x-14)y+12x^{2}-28x=0$ (1)

Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn $y$ thì (1) có nghiệm nguyên khi $\Delta '$ là số chính phương

Ta có $\Delta '=(3x-14)^{2}-36x^{2}+84x=k^{2}\geq 0$

$\Rightarrow -27x^{2}+196=k^{2}\geq 0\Rightarrow 27x^{2}\leq 196\Rightarrow x^{2}\leq 7\Rightarrow x\in \left \{ 0;\pm 1;\pm 2 \right \}$

Đến đây thay vào 

[Trang Luong]

Giải phương trình nghiệm nguyên $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

Đặt $y=2y_{1}$

$\Rightarrow 6x^2+6xy_1+6y_{1}^{2}=14x+28y_{1}\Leftrightarrow \left ( x-7 \right )^2+\left ( 2y-7 \right )^2+5x^2+2y_{1}^{2}+6xy_{1}=98$

$\Rightarrow 5x^2< 98\Rightarrow x\leq 4$