Chủ đề này có 742 trả lời

[Viet Hoang 99]

46) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3$

 

 

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}\leq$ $\frac{\sum a}{2abc}\leq \frac{\sum a^3+6abc}{2abc}$ $\leq \frac{\sum a^3}{2abc}+3."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

BĐT gì đây???
46)
$\sum \frac{1}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}+3\leq \sum \frac{a^2}{2bc}+3=\sum \frac{a^3}{2abc}+3$

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Viet Hoang 99]

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-02-2014 - 16:51

[lahantaithe99]

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

 

Ta có $2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

$\geq \frac{(\sum a\sqrt{b+c})^2}{3}\Rightarrow 6(a^3+b^3+c^3)\geq (\sum a\sqrt{b+c})^2$ $(1)$

Mà $a^3+b^3+c^3\geq 3abc=6\Rightarrow (a^3+b^3+c^3)^2\geq 6(a^3+b^3+c^3)$ $(2)$

$(1);(2)\Rightarrow \sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

[Hoang Tung 126]

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài 50:BDT $< = > \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}< = > (\sqrt{a}-\sqrt{b})^6\geq 0$(Luôn đúng)

[Hoang Tung 126]

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài 51:Theo AM-GM có:$4\sqrt{abc}=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}= > 4^6.(abc)^3\geq 3^6.(abc)^4< = > abc\leq \frac{4^6}{3^6}$

Mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{abc}< = > 3^6.(abc)^2\geq 2^6(abc)^3< = > abc\leq (\frac{3}{2})^6< (\frac{4}{3})^6$(Luôn đúng)

[Viet Hoang 99]

Bài 50:BDT $< = > \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}< = > (\sqrt{a}-\sqrt{b})^6\geq 0$(Luôn đúng)

Biến đổi tương đương là ra Tắt quá.

Cách 2:

$BDT\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ (*)

• Nếu $a=b$ thì (*) luôn đúng.
• Nếu $a\neq b$ $\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2>0$

$(*)\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(3a+b)(a+3b)}{4(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq 1\Rightarrow 4(a+b+2\sqrt{ab})[(a+b)^2+4ab]\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2[3(a+b)^2+4ab]$

Đến đây đặt $a+b=x; \sqrt{ab}=y$ biến đổi tương đương là ra điều luôn đúng.

[Viet Hoang 99]

Bài 51:Theo AM-GM có:$4\sqrt{abc}=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}= > 4^6.(abc)^3\geq 3^6.(abc)^4< = > abc\leq \frac{4^6}{3^6}$

Mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{abc}$ $< = > 3^6.(abc)^2\geq 2^6(abc)^3< = > abc\leq (\frac{3}{2})^6< (\frac{4}{3})^6$(Luôn đúng)

Tại sao?

Cách 2:

$\sum a^2.\sum a\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\Leftrightarrow 4\sqrt{abc}.\sum a\geq 9abc\Leftrightarrow \sum a\geq \frac{9}{4}.\sqrt{abc}>2\sqrt{abc}$

[Viet Hoang 99]

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

 

48) 

$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2=\frac{1-b}{a}+1+\frac{1-a}{b}+1=\frac{1-b+a}{a}+\frac{1-a+b}{b}$

Với $a;b>0; a^2+b^2=1$ thì $a;b\in (0;1)\Rightarrow 1-b+a>0;1-a+b>0$

$\Rightarrow A\geq 2\sqrt{\frac{1-(a-b)^2}{ab}}=2\sqrt{\frac{1-(a^2+b^2)+2ab}{ab}}=2\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi: $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

49)

Xét $C_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_n}+b_n+\frac{1}{b_n}$

$\Rightarrow C^2_{n+1}=(a_n+b_n)^2+2(a_n+b_n)(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n})+(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n})^2>C^2_n+2(a_n+b_n)(\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n})\geq C^2_n+8$

Cho $n$ chạy từ $2$ đến $24$ ta được:

$\left\{\begin{matrix}C^2_3>C^2_2+8 & & \\ ... & & \\ C^2_{25}>C^2_{24}+8 \end{matrix}\right.\Rightarrow C^2_{25}>C^2_{2}+8.23=C^2_2+184$

Có:$C_2=(a_n+\frac{1}{a_n})+(b_n+\frac{1}{b_n})\geq 2+2=4\Rightarrow C^2_2\geq 16$

Vậy $C^2_{25}> 200\Leftrightarrow C_{25}> 10\sqrt{2}$

[Viet Hoang 99]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-02-2014 - 19:42

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 52:Theo Bunhiacopxki có:$(\sum \sqrt{a+b})^2\leq 3(2\sum a)=6\sum a=6= > \sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta có:$a+b+c=4= > a+b< 4= > (a+b)(a+b-4)< 0= > \frac{(a+b)^2}{4}< a+b= > \frac{a+b}{2}< \sqrt{a+b}$

Tương tự $\frac{b+c}{2}< \sqrt{b+c},\frac{c+a}{2}< \sqrt{c+a}$

Cộng theo vế $= > \sum \sqrt{a+b}> \sum \frac{a+b}{2}=\sum a=4$

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 53:Theo Bunhiacopxki có:$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}\leq \sqrt{2(a+b-c+b+c-a)}=\sqrt{4b}=2\sqrt{b}$

                                             $\sqrt{a+b-c}+\sqrt{a+c-b}\leq 2\sqrt{a}$

                                             $\sqrt{b+c-a}+\sqrt{a+c-b}\leq 2\sqrt{b}$

Cộng theo vế các pt $= > 2\sum \sqrt{a+c-b}\leq 2\sum \sqrt{a}= > \sum \sqrt{a+c-b}\leq \sum \sqrt{a}$(ĐPCM)

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 54:Theo bdt Tam giác có:$1=a+b+c> a+a=2a= > 1-2a> 0$.Tương tự $1-2b> 0,1-2c> 0$

Nhân theo vế $= > (1-2a)(1-2b)(1-2c)> 0< = > 4(\sum ab)> 2\sum a+8abc-1=1+8abc= > 2(\sum a)^2> 2\sum a^2+8abc+1= > \sum a^2+4abc< 1$(DPCM)

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 55:Ta có:$\sum \frac{a}{1-2a}=\sum \frac{a^2}{a-2a^2}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a-2\sum a^2}=\frac{1}{1-2\sum a^2}\geq \frac{1}{1-2.\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 56:Theo Bunhia có:$\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum a^2b-\sum a^3}\geq \sum a^2=1$

(Do áp dụng AM-GM 3 số có:$\sum a^3\geq \sum a^2b$)

[Hoang Tung 126]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 57:Đặt $\sqrt[3]{b+c-a}=x,\sqrt[3]{a+c-b}=y,\sqrt[3]{a+b-c}=z= > a=\frac{y^3+z^3}{2},b=\frac{x^3+z^3}{2},c=\frac{x^3+y^3}{2}$

BĐT $< = > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum x$

Theo AM-GM có:$y^3+x^3\geq \frac{(y+x)^3}{4}= > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}=\sum x$

[Viet Hoang 99]

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

 

 

Bài 52:Theo Bunhiacopxki có:$(\sum \sqrt{a+b})^2\leq 3(2\sum a)=6\sum a=6= > \sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta có:$a+b+c=4= > a+b< 4= > (a+b)(a+b-4)< 0= > \frac{(a+b)^2}{4}< a+b= > \frac{a+b}{2}< \sqrt{a+b}$

Tương tự $\frac{b+c}{2}< \sqrt{b+c},\frac{c+a}{2}< \sqrt{c+a}$

Cộng theo vế $= > \sum \sqrt{a+b}> \sum \frac{a+b}{2}=\sum a=4$

 

Sai đề rồi ($a+b+c=4$ mà). Làm tương tự ra nha mọi người.

Bài 54:Theo bdt Tam giác có:$1=a+b+c> a+a=2a= > 1-2a> 0$.Tương tự $1-2b> 0,1-2c> 0$

Nhân theo vế $= > (1-2a)(1-2b)(1-2c)> 0< = > 4(\sum ab)> 2\sum a+8abc-1=1+8abc= > 2(\sum a)^2> 2\sum a^2+8abc+1= > \sum a^2+4abc< 1$(DPCM)

Sai đề rồi ($a+b+c=2$ mà). Làm tương tự ra nha mọi người. ($1-a>0;1-b>0;1-c>0$ sau đó nhân lại biến đổi tương đương là ra)

 

 

 

Bài 55:Ta có:$\sum \frac{a}{1-2a}=\sum \frac{a^2}{a-2a^2}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a-2\sum a^2}=\frac{1}{1-2\sum a^2}\geq \frac{1}{1-2.\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$

Phải CM mẫu dương mới áp dụng được BCS dạng cộng mẫu:
$1=a+b+c>a+a=2a\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1-2a>0 & & \\ 1-2b>0 & & \\ 1-2c>0 \end{matrix}\right.$

Dấu = xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.

 

 

 

Bài 57:Đặt $\sqrt[3]{b+c-a}=x,\sqrt[3]{a+c-b}=y,\sqrt[3]{a+b-c}=z= > a=\frac{y^3+z^3}{2},b=\frac{x^3+z^3}{2},c=\frac{x^3+y^3}{2}$

BĐT $< = > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum x$

Theo AM-GM có:$y^3+x^3\geq \frac{(y+x)^3}{4}= > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}=\sum x$

 

 

 

 

57)

 

Cách 2:

Ta sẽ CM: $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\leq 2\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}}\Leftrightarrow x+y+3\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\leq \frac{8(x+y)}{2}=4(x+y)\Leftrightarrow 3x+3y-3\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\geq 0\Leftrightarrow x+y-\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})\geq 0$

$\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{x}=m & & \\ \sqrt[3]{y}=n & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m^3+n^3\geq mn(m+n)$ (Luôn đúng)

Áp dụng:
$\sqrt[3]{a+b-c}+\sqrt[3]{b+c-a}\leq 2\sqrt[3]{\frac{2b}{2}}=2\sqrt[3]{b}\Rightarrow \sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-02-2014 - 19:39

[Viet Hoang 99]

58) Cho $x\in (0;1)$. Tìm Min $A=\frac{4x^2+1}{x^2(1-x)}$

 

59) Cho $x\in (0;3)$. Tìm Max $B=(5x^2-14x-3)(x-3)$

 

60) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}\geq \sum \sqrt{a}$

 

61) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $|\sum \frac{a-b}{a+b}|<\frac{1}{8}$

 

62) Cho $x\in [0;1]$. Cmr: $\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}\leq 3$

 

63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b$

 

64)

a) Cho $x\in [-1;1]$. Cmr: $|4x^3-3x|\leq 1$

b) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n\in [-1;1] & & \\ a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=0 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $a_1+a_2+...+a_n\leq \frac{n}{3}$

 

65) Cho $x;y>0$ thỏa $x^2+y^2=1$. Cmr: $xy+Max(x;y)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (Giải thích: Nếu $x>y$ thì $Max(x;y)=x$ và tương tự)

 

 

P/s: Anh Daicagiangho1998 học KHTN nên cứ từ từ mà làm thôi, chứ có đề phát đã ăn hết sạch luôn vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-02-2014 - 16:22

[hoctrocuanewton]

 

63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b$

 

 

 

áp dụng bđt cô si ra có

$\frac{1}{a^{3}}+1+1\geq \frac{3}{a}$

cmtt ta có

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b\Rightarrow \frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b-6(1)$

ta lại có

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\geq 3(2)$

từ (1)(2) suy ra  

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq 3(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})-2(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})=\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b}$

[Viet Hoang 99]

63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b$

 

 

 

áp dụng bđt cô si ra có

$\frac{1}{a^{3}}+1+1\geq \frac{3}{a}$

cmtt ta có

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b\Rightarrow \frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{b}+3b-6(1)$

ta lại có

$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b\geq 3(2)$

từ (1)(2) suy ra  

$\frac{1}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{b^{3}}+b^{3}\geq 3(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})-2(\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b})=\frac{1}{a}+b+\frac{a}{b}$

63)
Cách 2:

Đặt $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a}=x & & \\ \frac{a}{b}=y & & \\ b=z \end{matrix}\right.$

Cần CM: $\sum x^3\geq \sum x$

Áp dụng BĐT Holder có:
$(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (x+y+z)^3\Leftrightarrow 9\sum x^3\geq (\sum x)(\sum x)^2\geq (\sum x)(3\sqrt[3]{x^2y^2z^2})^2=3^2.\sum x=9\sum x$

$\Rightarrow \sum x^3\geq \sum x$
Dấu = xảy ra khi: $a=b=1$

[lahantaithe99]

 

60) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}\geq \sum \sqrt{a}$

 

 

 

P/s: Anh Daicagiangho1998 học KHTN nên cứ từ từ mà làm thôi, chứ có đề phát đã ăn hết sạch luôn vậy

Đặt $x^2=b+c-a;y^2=a+c-b;z^2=a+b-c$

$\Rightarrow a=\frac{y^2+z^2}{2};b=\frac{x^2+z^2}{2};c=\frac{x^2+y^2}{2}$

BĐT cần cm trở thành $\sum \frac{x^2+y^2}{2x}\geq \sum \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

Áp dụng bđt Cauchy-Shwarz có

$\sum \frac{x^2+y^2}{2x}\geq \frac{(\sum\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}})^2 }{x+y+z}$

Bằng $AM-GM$ ta dễ chứng minh $\sum x\leq \sum \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^2+y^2}{2x}\geq \sum\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$ (đpcm)