1 reply to this topic

[khonggiohan]

cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR

$\frac{1}{5-6bc}+\frac{1}{5-6ca}+\frac{1}{5-6ab}\leq 1$

[luuvanthai]

Ta viết lại bdt như sau:$(\frac{1}{2}-\frac{1}{5-6ab})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2-bc})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{5-6ac})\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1-2ab}{5-6ab}\geq \frac{1}{3}$

Hãy để ý rằng :$1-2ab=c^{2}+(a-b)^{2}$

Ta tách VT thành:$A=\sum \frac{c^{2}}{5-6ab}$

$B=\sum \frac{(a-b)^{2}}{5-6ab}$

AD C-S có $A\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{15-6(ab+bc+ac)}$

$B\geq \frac{4(a-c)^{2}}{15-6(ab+bc+ac)}$

Do đó ta chỉ cần cm:$4(a-c)^{2}+(a+b+c)^{2}\geq \frac{15-6(ab+bc+ac)}{3}$

$\Leftrightarrow 4(a-b)(b-c)\geq 0$ (vì ta thay $5=5(a^{2}+b^{2}+c^{2})$)

Luôn đúng vì ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$