Chủ đề này có 3 trả lời

[dhdhn]

Cho x, y thỏa mãn x²y²+xy+1=3y². Tìm Min, Max của

 $A=\frac{xy^{2}+x^{2}y^{3}+y}{(x^{2}y^{2}+1)^{2}}$

[dhdhn]

Cho x, y thỏa mãn x²y²+xy+1=3y². Tìm Min, Max của

 $A=\frac{xy^{2}+x^{2}y^{3}+y}{(x^{2}y^{2}+1)^{2}}$

Sorry các bạn đề sai, ở mẫu phải là $x.(x^{2}y^{2}+1)$

[vanhuongsky]

Đề sửa như vậy thì lộ liễu quá . Đồng thời chỉ tìm được GTNN của $|A|$ thôi nhé.

Đặt $xy=a ; y^{2}=b$

Suy ra : $a^{2}+a+1=3b ;A=\frac{y(xy+x^{2}y^{2}+1)}{x(x^{2}y^{2}+1)}=\frac{y.3y^{2}}{x(a^{2}+1)}=\frac{3b^{2}}{a(a^{2}+1)}$

$\Rightarrow 3|A|=\frac{(a^{2}+a+1)^2}{|a|(a^{2}+1)}=\frac{a^{2}+1}{|a|}+2+\frac{|a|}{a^{2}+1}=(\frac{a^{2}+1}{4|a|}+\frac{|a|}{a^{2}+1})+\frac{3(a^{2}+1)}{4|a|}+2$

Áp dụng bất đẳng thức cô si :

$3A\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}+1}{4|a|}\frac{|a|}{a^{2}+1}}+\frac{3.2\sqrt{a^{2}.1}}{4|a|}+2=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow |A|\geq \frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $|a|=1 \Rightarrow b=1 \Rightarrow (x;y)=(\pm 1;\pm 1)$

[dhdhn]

Ta có x²y²+xy+1=3y² nên y khác 0, chia 2 vế cho y ta được $x^{2}+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^{2}}=3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}(x+\frac{1}{y})^{2}=3+\frac{x}{y}\geq 0 & & \\ (x-\frac{1}{y})^{2}=3-3.\frac{x}{y}\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow -3 \leq \frac{x}{y}\leq 1$

Đặt $\frac{x}{y}=t, -3\leq t\leq 1$

Dễ thấy $A=\frac{3y^{3}}{x.(3y^{2}-xy)}=\frac{3}{3t-t^{2}}$ (chia cả tử và mẫu cho y³)

Đến đây dùng đạo hàm là xong!